Полная версия

Главная arrow Статистика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА ПРИ ПРОВЕРКЕ РАВНОМЕРНОСТИ

Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа х2 предусматривает группирование исходной выборки Хх, Х2,..., Хп объемом п . Область определения случайной величины разбивают на к непе- ресекающихся интервалов граничными точками

где х0 - нижняя грань области определения случайной величины; хк - верхняя грань. В соответствии с заданным разбиением подсчитывают количество наблюдений nj, попавших в i -й интервал, и вероятности попадания в интервал Pt(в)= J f(x,0)dx, соответствующие теоретическому

к к

закону с функцией плотности f(x, в). При этом п = , ^Р(О) = 1. В

/=1 (=1

основе статистик, используемых в критериях согласия типа ^2, лежит измерение отклонений ni In от Р(в).

Статистику критерия согласия х2 Пирсона вычисляют по формуле

При справедливости простой проверяемой гипотезы Н0 (когда известны все параметры теоретического закона) при п —» оо эта статистика подчиняется х] -распределению с r = k-1 степенями свободы. Плотность xl - распределения описывается соотношением

где Г(-) - гамма-функция Эйлера.

Проверяемая гипотеза Н0 не отклоняется, если достигнутый уровень значимости превышает заданный уровень а, то есть выполняется неравенство

где X2* - вычисленное в соответствии с формулой (4.1) значение статистики.

При проверке равномерности мы имеем дело с простой проверяемой гипотезой Н0. В случае проверки принадлежности выборки равномерному закону на интервале [0,1] л;0 = 0 , хк = 1, Р( = х -х,_,, при проверке равномерности на интервале [а,Ь имеем х0-а, хк=Ь, Pf = (xi-xi_i)/(b-a).

В общем случае с особенностями применения критерия х2 Пирсона при проверке простых и сложных гипотез можно подробно ознакомиться в [14, 62, 80], а с применением критерия при проверке гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону - в [78].

Следует иметь в виду, что статистика (4.1) представляет собой дискретную случайную величину, и её действительное распределение

G(A^|Н0) при справедливости проверяемой гипотезы Н0 может существенно отличаться от асимптотического xl -распределения. Например, на рис. 4.1 демонстрируется зависимость распределения статистики критерия (при справедливости Н0) от объёма выборок п при разбиении области определения на интервалы равной вероятности (при числе интервалов к = 4). При проверке равномерности использование равновероятного группирования представляется вполне логичным.

Так как действительное распределение статистики является дискретным, то оценка достигнутого уровня значимости, вычисляемая в соответствии с соотношением (4.2) по предельному xl -распределению, обладает определённой погрешностью. Справедливости ради отметим, что дискретность распределения статистики в большей степени проявляется, как правило, при равновероятном группировании.

С ростом числа интервалов дискретное распределение статистики быстрее сходится к соответствующему непрерывному xl -распределению. Но это не означает, что при этом будет увеличиваться мощность критерия. Мощность критерия х1 зависит от рассматриваемой альтернативы (от законов, соответствующих проверяемой и конкурирующей гипотезам), а также от способа разбиения на интервалы и от числа интервалов [60, 61,62, 65, 66, 67, 73, 80].

Распределения статистики X] в зависимости от п при к = 4

Рис. 4.1. Распределения статистики X] в зависимости от п при к = 4

Например, в таблице 4.1 представлены оценки мощности критерия относительно рассматриваемых в данном случае конкурирующих гипотез Я,, Я2 и Я3 при разбиении области определения на различное число к

равновероятных интервалов группирования. Результаты приведены для объёма выборок п - 100 и заданной вероятности ошибки 1-го рода (уровня значимости) а = 0.1. Относительно Я, мощность оказывается максимальной при к = 6, относительно Я2 - при к = 4, относительно Я3 - при к = 3 (см. рис. 4.2). В этой связи в таблицах 4.2 - 4.3 зависимость мощности от объема выборок п демонстрируется при оптимальном числе интервалов: в таблице 4.2 оценки мощности по отношению к конкурирующей гипотезе Я, приведены при к = 6 ; в таблице 4.3 оценки мощности

по отношению к Я2 - при к = 4; в таблице 4.4 оценки мощности относительно Я3 - при к = 3 .

При построении оценок мощности использовались не (1 - а )-квантили распределений , а квантили соответствующих асимптотических

^-распределений при значениях а = 0.15, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01. Благодаря этому сглажено влияние эффекта дискретности G(X„ho) на вычисление (1 - а )-квантили, что позволяет сравнивать полученные оценки мощности с соответствующими оценками для других критериев, используемых для проверки равномерности.

Мощность критерия Пирсона относительно//), Н и Нв зависимости от числа интервалов

Рис. 4.2. Мощность критерия Пирсона относительно//), Н2 и Н3 в зависимости от числа интервалов

Таблица 4.1

Зависимость мощности критерия Пирсона от числа интервалов ^

к

Относительно

Н

Относительно

н2

Относительно

Нг

3

0.436

0.444

0.374

4

0.549

0.448

0.358

5

0.584

0.438

0.339

6

0.593

0.427

0.321

7

0.588

0.414

0.306

8

0.575

0.401

0.291

9

0.573

0.400

0.288

10

0.554

0.386

0.275

Таблица 4.2

Мощность критерия Пирсона относительно гипотезы Н, (при к = 6)

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.148

0.111

0.063

0.029

0.025

20

0.268

0.185

0.104

0.060

0.025

30

0.298

0.218

0.139

0.074

0.039

40

0.368

0.275

0.174

0.103

0.055

50

0.424

0.346

0.219

0.142

0.072

100

0.684

0.593

0.457

0.336

0.216

150

0.840

0.778

0.665

0.549

0.408

200

0.926

0.890

0.815

0.723

0.596

300

0.988

0.979

0.954

0.918

0.852

Таблица 4.3

Мощность критерия ^ Пирсона относительно гипотезы Н2 (при

к = 4)

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.146

0.146

0.056

0.030

0.020

20

0.196

0.160

0.084

0.052

0.020

30

0.293

0.196

0.128

0.067

0.033

40

0.322

0.233

0.142

0.094

0.051

50

0.349

0.270

0.184

0.118

0.062

100

0.538

0.448

0.328

0.239

0.149

150

0.675

0.596

0.470

0.367

0.254

200

0.783

0.714

0.602

0.497

0.629

300

0.906

0.868

0.791

0.708

0.408

Таблица 4.4

Мощность критерия х2 Пирсона относительно гипотезы Н3 (при к = 3 )

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.214

0.119

0.079

0.033

0.016

20

0.203

0.157

0.095

0.044

0.017

30

0.294

0.175

0.104

0.070

0.030

40

0.290

0.205

0.132

0.078

0.034

50

0.318

0.237

0.151

0.089

0.045

100

0.473

0.374

0.275

0.174

0.106

150

0.587

0.504

0.378

0.275

0.172

200

0.690

0.622

0.495

0.379

0.264

300

0.837

0.774

0.681

0.566

0.439

Сравнивая мощность критерия ^ с мощностью непараметрических критериев согласия при проверке равномерности, относительно конкурирующей гипотезы Нх, критерий ^ Пирсона можно расположить в цепочке предпочтения после критерия ZK Жанга:

В цепочке предпочтения относительно конкурирующей гипотезы Н2 он оказывается впереди критериев Купера и Ватсона:

Аналогично, в цепочке предпочтения относительно конкурирующей гипотезы Нъ критерий х~ Пирсона находится на той же позиции:

В общем перечне критериев, включающем все специальные критерии и непараметрические критерии согласия, рейтинг (мощности) критерия X2 Пирсона относительно трёх рассматриваемых в настоящем руководстве гипотез составит достойный интервал позиций {14-16} в перечне из 32-х критериев (см. ниже таблицу 5.1).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>