Полная версия

Главная arrow Статистика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОЩНОСТИ СПЕЦИАЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ РАВНОМЕРНОСТИ

Примеры не очень подробного анализа мощности критериев равномерности встречаются в ряде публикаций. Например, некоторый сравнительный анализ критериев равномерности проводился в [29]. В [50] энтропийный критерий сравнивался с непараметрическими критериями согласия. По-видимому, разрозненные оценки мощности можно найти и в других работах.

Рассмотренные специальные критерии проверки равномерности в таблице 2.90 упорядочены по убыванию мощности относительно соответствующих конкурирующих гипотез (по величине мощности 1 - /?, проявленной при я = 100 и уровне значимости а = 0.1).

Упорядоченность критериев равномерности по мощности относительно конкурирующих гипотез Я,, Я2 и Я3

Таблица 2.90

п/п

Относительно Я,

l-fi

Относительно Я2

1-/?

Относительно Я3

1-уЗ

1

Модификация энтропийного критерия 2

  • 0.88
  • 3

Хегази- Грина 7]

  • 0.61
  • 0

Хегази- Грина 7]

0.522

2

Неймана- Бартона N2

  • 0.83
  • 7

Фросини

  • 0.60
  • 3

Фросини

0.522

п/п

Относительно Я,

1-Д

Относительно Я2

1-Д

Относительно Я3

1-Д

3

Кресси 2

0.820

Хегази- Грина Т2

0.602

Хегази- Грина Т*

0.520

4

Дудевича- ван дер Мюлена

0.790

Неймана- Бартона N2

0.597

Хегази- Грина Т2

0.508

5

Модификация энтропийного критерия 1

0.789

Хегази- Грина Т*

0.595

Хегази- Грина Т*

0.506

6

Неймана- Бартона Я3

0.766

Хегази- Грина Т*

0.585

Неймана- Бартона N2

0.447

7

Неймана- Бартона N4

0.739

Неймана- Бартона Я3

0.577

Неймана- Бартона Я3

0.416

8

Ченга-

Спиринга

0.722

Неймана- Бартона N4

0.557

Неймана- Бартона N4

0.381

9

Шварца

0.583

Пардо

0.463

Пардо

0.291

10

Хегази- Грина Т*

0.443

Модификация энтропийного критерия 1

0,328

Дудевича- ван дер Мюлена

0.275

11

Хегази- Грина Т*

0.409

Дудевича- ван дер Мюлена

0.327

Модификация энтропийного критерия 1

0.275

12

Пардо

0.408

Кресси 1

0.314

Модификация энтропийного критерия 2

0.267

п/п

Относительно Я,

1-Д

Относительно Я2

1-Д

Относительно Я3

1-Д

13

Фросини

0.384

Модификация энтропийного критерия 2

0.266

Кресси 2

0.226

14

Хегази- Грина Тх

0.322

Гринвуда-

Кэсенберри-

Миллера

0.244

Кресси 1

0.218

15

Хегази- Грина Т2

0.308

Шварца

0.226

Шварца

0.206

16

Гринвуда-

Кэсенбер-

ри-

Миллера

0.290

Кресси 2

0.217

Гринвуда-

Кэсенберри-

Миллера

0.186

17

Кимбелла

0.279

Шермана

0.204

Кимбелла

0.165

18

Морана 1

0.279

Кимбелла

0.201

Морана 1

0.165

19

Гринвуда

0.279

Морана 1

0.201

Гринвуда

0.165

20

Шермана

0.215

Гринвуда

0.201

Шермана

0.154

21

Кресси 1

0.187

Морана 2

0.193

Морана 2

0.143

22

Морана 2

0.187

Ченга-

Спиринга

0.168

Ченга-

Спиринга

0.106

23

Янга

0.115

Янга

0.108

Янга

0.104

В столбце для Я, темным цветом выделены критерии, которые относительно гипотезы Я, при малых п обладают ярко выраженной смещённостью. В меньшей степени смещённость относительно Я, проявляется у критериев Неймана-Бартона со статистиками N2 и N3. Этот недостаток не отмечен только для некоторых критериев: для энтропийного критерия Дудевича-ван дер Мюлена и его модификаций, для критериев Ченга- Спиринга, Шварца и Пардо.

Все модификации критериев, использующие в качестве статистик различные оценки энтропии, показали высокую мощность относительно конкурирующей гипотезы Я,. В то же время относительно гипотез вида Я2 и Я3 оценки мощности этих критериев более скромные. И надо отметить, что только у этих критериев при малых п наблюдаются признаки смещённости относительно гипотезы Я2.

Критерий Неймана-Бартона со статистикой N2 показывает высокую мощность относительно Я, и сравнительно высокие результаты относительно Я2 и Я3.

Стабильно неплохую способность отличать конкурирующие гипотезы от равномерного закона демонстрируют критерии Хегази-Грина и Фроси- ни.

Низкую мощность демонстрируют критерии, в статистиках которых суммируются модули или квадраты разностей Ui - значений последовательных порядковых статистик (критерии Шермана, Кимбелла, Морана, Гринвуда, Гринвуда-Кэсенберри-Миллера).

Особенно низкую мощность относительно всех трёх рассматриваемых в руководстве гипотез показал критерий Янга [47], что свидетельствует о крайней неудачности попытки использования соответствующей статистики в критерии проверки гипотезы о равномерности. Можно предположить, что столь же неудачной идеей окажется применение такой статистики в любом критерии, предназначенном для проверки согласия наблюдаемой выборки с некоторым конкретным законом распределения.

В таблице 2.91 кратко перечислены достоинства и недостатки рассмотренных в разделе специальных критериев равномерности и даны некоторые вытекающие из этих особенностей рекомендации. В последнем столбце таблицы приводятся рейтинги соответствующих критериев, представляющие собой интервалы мест, занятых критериями в упорядоченном списке мощностей относительно рассмотренных гипотез Я,, Я2 и Я3.

Таблица 2.91

Рекомендации по применению специальных критериев проверки равномерности_

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

1

Шермана,

(2.1)

При малых п и а критерий является смещённым относительно Н].

Невысокая мощность критерия. Нормализованные статистики хорошо аппроксимируются нормальным законом. Рейтинг {17-20}.

2

Кимбелла,

(2.4)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек. При малых п и а критерий является смещённым относительно Н].

Мощность критерия не очень высокая, но выше критерия Шермана.

Рейтинг {17-20}.

3

Морана 1, (2.5)

Критерий по мощности эквивалентен критериям Кимбелла и Гринвуда.

Те же достоинства и недостатки.

Рейтинг {17-20}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

4

Морана 2, (2.6)

Имеющиеся аппроксимации модифицированных статистик х1 -распределением и нормальным законом заметно отличаются от действительных распределений статистик. Вследствие этого приходится ориентироваться на таблицу процентных точек.

Возможны проблемы с вычислением статистики при наличии в выборке повторяющихся значений.

Очень низкая мощность.

Рейтинг {21-22}.

5

Ченга-

Спиринга,

(2.9)

Двусторонний критерий.

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек. Имеет высокую мощность относительно конкурирующей гипотезы Н], но практически неспособен отличать гипотезы вида Нъ.

Применять совместно с другими.

Рейтинг {8-22}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

6

Янга,

(2.17)

Критерий двусторонний.

Нормализованная статистика хорошо аппрок- симруется стандартным нормальным законом. Показывает очень низкую мощность.

Не рекомендуется использовать.

Рейтинг {23}.

7

Гринвуда,

(2.21)

Приходится пользоваться таблицей процентных точек, так как распределения статистики медленно сходятся к упоминаемым нормальным законам.

При малых п и а критерий является смещённым относительно Н].

Невысокая мощность. По свойствам эквивалентен критериям Кимбелла и Морана 1. Рейтинг {17-20}.

8

Гринвуда-

Кэсенберри-

Миллера,

(2.22)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек. При малых п и а критерий является смещённым относительно Н].

Невысокая мощность.

Рейтинг {14-16}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

9

Шварца,

(2.31)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек.

Благодаря имеющимся отличиям от критерия Кимбелла, обладает преимуществом в мощности по сравнению с группой близких критериев (Шермана, Кимбелла, Морана, Гринвуда, Янга).

Рейтинг {9-15}.

10

Хегази-Грина

  • *1.
  • (2.12)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек.

При малых п и а критерий является смещённым относительно . Критерий обладает достаточно высокой мощностью относительно других конкурирующих гипотез.

Рейтинг {1-14}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

11

Хегази-Г рина Т*

(2.14)

Те же достоинства и недостатки, что и у критерия со статистикой 7}.

Модификация статистики 7j* по сравнению с 7} даёт некоторое преимущество в мощности только относительно Я,.

Рейтинг {3-10}.

12

Хегази-Г рина (2.13)

Те же недостатки и достоинства, что и у критерия со статистикой 7}.

Как правило, чуть уступает в мощности критерию со статистикой 7}. Рейтинг {3-15}.

13

Хегази-Г рина

Т*

(2.15)

Те же достоинства и недостатки, что и у критерия со статистикой 7}.

Модификация статистики Т* по сравнению с Т2 даёт некоторое преимущество в мощности только относительно Я,.

Рейтинг {5-11}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

14

Фросини,

(2.20)

Приходится пользоваться таблицей процентных точек.

При п > 50 можно использовать аппроксимацию в виде бета-распределения 3-го рода.

При малых п и а критерий является смещённым относительно //,.

Обладает достаточно высокой мощностью относительно других конкурирующих гипотез.

Рейтинг {2-13}.

15

Неймана-

Бартона,

n2,

С2.24)

При малых п и а наблюдается незначительное смещение критерия относительно

Н ?

При п > 20 распределения статистик хорошо аппроксимируется -распределением. Критерий со статистикой N2 демонстрируют хорошую мощность и является наиболее предпочтительным из критериев Неймана-Бартона.

Рейтинг {2-6}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

16

Неймана-

Бартона,

(2.24)

При малых п и а наблюдается некоторое смещение критерия относительно Н{.

При п> 20 распределения статистик хорошо аппроксимируется xl ~ распределением.

Критерий со статистикой N3 демонстрируют хорошую мощность и является следующим по предпочтительности критерием Неймана-Бартона.

Рейтинг {6-7}.

17

Неймана-

Бартона,

n4,

(2.24)

При малых п и а наблюдается смещение критерия относительно //,.

При п > 20 распределения статистик хорошо аппроксимируется xl ~ распределениями.

Критерий со статистикой N4 демонстрируют хорошую мощность, но несколько уступает другим критериям Неймана- Бартона.

Рейтинг {7-8}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

18

Дудевича-ван дер Мюлена, (2.25)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек.

Некоторая неопределенность при выборе т.

Обладает высокой мощностью относительно гипотезы Я, и неплохой мощностью относительно других гипотез.

Рейтинг {4-11}.

19

Модификация энтропийного критерия 1, (2.26)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек.

Некоторая неопределенность при выборе т.

По мощности эквивалентен критерию Дудевича-ван дер Мюлена. Рейтинг {4-11}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

20

Модификация энтропийного критерия 2, (2.27)

Имеет те же недостатки и достоинства, что и модификация 1. Превосходит в мощности модификацию 1 относительно гипотезы Н{,

но уступает - относительно Я2 и Я3.

Рейтинг {1-13}.

21

Пардо,

(2.30)

Зависимость распределения статистики от объема выборки п и необходимость использования таблицы процентных точек.

Неопределенность с выбором т, от которого зависят распределения статистики.

Отсутствует смещение относительно гипотез вида Я,.

В среднем неплохая мощность. Рейтинг {9-12}.

п/п

Критерий

Статистика

Недостатки, достоинства рекомендации, рейтинг

22

Кресси 1, (2.28)

Зависимость распределения статистики от л и необходимость использования таблиц процентных точек. При малых п и а наблюдается смещение критерия относительно Н{. Смещённость критерия зависит от размера окна т.

Неопределенность с выбором т. Зависимость распределений статистики и мощности от т .

Мощность критерия скорее ниже среднего.

Рейтинг {12-21}.

23

Кресси 2, (2.29)

Зависимость распределения статистики от л и необходимость использования таблицы процентных точек.

Возможны проблемы с вычислением статистики при наличии в выборке повторяющихся значений. С ростом т вероятность такой проблемы уменьшается. Неопределенность с выбором т. Зависимость распределений статистики и мощности от т .

Высокая мощность относительно гипотезы Нх и ниже среднего относительно Н2 и Н3.

Рейтинг {3-16}.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>