Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона. Руководство по применению

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КРИТЕРИЙ ЯНГА

Критерий предназначен для проверки равномерности выборок, распределенных на отрезке длиной / с началом в нуле.

Статистика Янга [47] в общем виде описывается формулой

где/),=?/,, A =t/,.-t/M, Dn+l = l-Un.

Очевидно, что О < М < —— . При проверке равномерности на интер- п +1

вале [ОД] имеем 1 = 1. Характер изменения распределения статистки (2.17) при справедливости проверяемой гипотезы Н0 в зависимости от п показан на рис. 2.11.

При неизвестном / (при проверке сложной гипотезы) используется статистика вида

Распределение статистики (2.18) при справедливости проверяемой гипотезы и объеме выборки п совпадает с распределением статистики (2.17) при объеме выборки п - 2.

Критерий двусторонний. Гипотеза о равномерности не отклоняется, если вычисленное значение статистики (2.17) удовлетворяет неравенству Мх(а)<М <М2{ос).

Полученные с использованием статистического моделирования критические значения представлены в таблице 2.32, которая несколько расширяет таблицу, приведенную в [47, 63].

Математическое ожидание и дисперсия статистики (2.17) определяются выражениями:

В качестве распределения нормализованной статистики, которую можно представить в виде

при я >15 [47, 63] можно использовать стандартный нормальный закон

ЛГ(ОД).

Распределения статистики (2.17) критерия Янга в зависимости от п

Рис. 2.11. Распределения статистики (2.17) критерия Янга в зависимости от п

Таблица 2.32

Критические значения статистики (2.17) критерия Янга

п

1

0.8

0.85

0.9

0.95

0.99

К

м2

М.

м2

К

м2

М.

М2

К

м2

2

0.090

0.545

0.069

0.561

0.047

0.581

0.024

0.606

0.005

0.639

3

0.151

0.589

0.130

0.607

0.105

0.627

0.073

0.654

0.032

0.694

4

0.192

0.603

0.169

0.622

0.142

0.646

0.105

0.677

0.051

0.722

5

0.221

0.605

0.199

0.625

0.172

0.649

0.134

0.683

0.077

0.735

10

0.303

0.602

0.284

0.618

0.261

0.638

0.226

0.668

0.166

0.721

15

0.341

0.593

0.325

0.607

0.305

0.625

0.275

0.652

0.219

0.700

20

0.364

0.586

0.345

0.599

0.332

0.615

0.305

0.639

0.254

0.682

30

0.391

0.575

0.379

0.586

0.364

0.600

0.341

0.620

0.297

0.659

40

0.406

0.568

0.396

0.577

0.383

0.589

0.363

0.607

0.324

0.642

50

0.417

0.562

0.408

0.571

0.396

0.582

0.378

0.598

0.343

0.630

100

0.443

0.547

0.436

0.553

0.428

0.561

0.415

0.573

0.390

0.596

150

0.454

0.539

0.449

0.544

0.442

0.551

0.431

0.561

0.410

0.580

200

0.461

0.534

0.456

0.539

0.450

0.544

0.441

0.553

0.423

0.570

300

0.468

0.523

0.464

0.532

0.459

0.537

0.452

0.544

0.437

0.558

На рис. 2.12 демонстрируется близость распределения статистики

(2.19) к стандартному нормальному закону при п = 20. В то же время заметим, что различие между распределением статистики (2.19) и N(0,1) прослеживается и при п = 50, но практического значения при использовании критерия такое расхождение не имеет.

В [63, стр. 329] утверждается, что более точно распределение статистики (2.17) аппроксимируется бета-распределением 1-го рода (см. соот-

3 п2 1

ношение (1.6) при в2 = 1, в3 = 0 ) с параметрами в0 = <9, =---.

2(2л-1) 2

Однако на самом деле нормальная аппроксимация всегда лучше данной. В то же время бета-распределение 1-го рода действительно оказывается хорошей моделью для распределения статистики (2.17), но при значениях параметров формы в0Ф в], отличающихся от значения,

задаваемого вышеприведенным соотношением.

Оценки мощности критерия Янга со статистикой (2.17) относительно конкурирующей гипотезы Я, представлены в таблице 2.33, а относительно конкурирующих гипотез Н2 и Я3 - в таблицах 2.34 и 2.35.

Как можно видеть, при малых п я а относительно гипотезы Я, критерий оказывается смещённым и обладает очень невысокой мощностью. А гипотезы Я, и Я3 от Я0, как показывают приведенные оценки мощности, практически не может отличать.

Всё это характеризует критерий Янга как не очень удачный критерий, способный в какой то мере отличать от равномерного лишь более далёкие (по сравнению с рассматриваемыми в данном руководстве) конкурирующие законы.

Функция распределения стандартного нормального закона и распределение статистики (2.19) критерия Янга при п = 20

Рис. 2.12. Функция распределения стандартного нормального закона и распределение статистики (2.19) критерия Янга при п = 20

То, что нормализованная статистика (2.19) хорошо аппроксимируется стандартным нормальным законом, который может использоваться для оценки достигнутого уровня значимости, в данном случае оказывается слабым утешением.

Таблица 2.33

Мощность критерия Янга относительно гипотезы Нх

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.138

0.090

0.043

0.021

0.008

20

0.146

0.097

0.048

0.024

0.009

30

0.151

0.101

0.051

0.026

0.010

40

0.156

0.105

0.053

0.027

0.011

50

0.159

0.108

0.055

0.028

0.012

100

0.167

0.115

0.060

0.031

0.013

150

0.172

0.118

0.063

0.033

0.014

200

0.174

0.120

0.064

0.034

0.015

300

0.177

0.123

0.066

0.036

0.016

Таблица 2.34

Мощность критерия Янга относительно гипотезы Н2

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.160

0.108

0.055

0.028

0.012

20

0.160

0.108

0.056

0.028

0.012

30

0.160

0.108

0.056

0.029

0.012

40

0.160

0.108

0.056

0.029

0.012

50

0.160

0.108

0.055

0.029

0.012

100

0.159

0.108

0.055

0.028

0.012

150

0.159

0.108

0.055

0.028

0.012

200

0.159

0.108

0.055

0.028

0.012

300

0.159

0.108

0.055

0.028

0.012

Таблица 2.35

Мощность критерия Янга относительно гипотезы Н}

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.153

0.102

0.052

0.026

0.0105

20

0.154

0.103

0.052

0.026

0.011

30

0.154

0.104

0.052

0.027

0.011

40

0.155

0.104

0.052

0.027

0.011

50

0.155

0.104

0.053

0.027

0.011

100

0.155

0.104

0.053

0.027

0.011

150

0.156

0.105

0.053

0.027

0.011

200

0.156

0.105

0.053

0.027

0.011

300

0.156

0.105

0.054

0.027

0.011

Вследствие низкой мощности критерий Янга способен отличать от Н0

лишь очень далёкие конкурирующие гипотезы. Это не позволяет рекомендовать его для применения.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>