Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона. Руководство по применению

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КРИТЕРИИ, ОРИЕНТИРОВАННЫЕ НА ПРОВЕРКУ ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ВЫБОРКИ РАВНОМЕРНОМУ ЗАКОНУ

КРИТЕРИЙ ШЕРМАНА

Критерий Шермана [38, 39, 63] относится к первой группе специальных критериев, использующей разности элементов вариационного ряда. Статистика критерия имеет вид

где Ui - элементы вариационного ряда, построенного по выборке Хх2,...,Хп объёмом п , U0 = 0, Un+l = 1.

Критерий правосторонний: гипотеза Н0 отклоняется при больших значениях статистики соп. Критические значения статистики (2.1), полученные в результате статистического моделирования и расширяющие таблицу процентных точек, приведенную в [38, 39, 63], представлены в таблице 2.1.

Критические значения статистики (2.1) критерия Шермана

Таблица 2.1

п

1

0.8

0.85

0.9

0.95

0.99

4

0.416

0.440

0.468

0.509

0.589

5

0.416

0.436

0.462

0.502

0.574

6

0.415

0.434

0.458

0.494

0.563

7

0.415

0.432

0.454

0.488

0.551

8

0.414

0.430

0.451

0.482

0.542

9

0.412

0.428

0.448

0.478

0.535

10

0.411

0.426

0.445

0.474

0.528

11

0.410

0.424

0.443

0.470

0.521

12

0.409

0.423

0.440

0.466

0.516

13

0.408

0.422

0.438

0.463

0.510

Окончание таблицы 2.1

п

1

0.8

0.85

0.9

0.95

0.99

14

0.407

0.420

0.436

0.460

0.506

15

0.407

0.419

0.434

0.458

0.502

16

0.406

0.418

0.433

0.456

0.498

17

0.405

0.417

0.431

0.453

0.495

18

0.404

0.416

0.430

0.451

0.492

19

0.404

0.415

0.429

0.449

0.489

20

0.403

0.414

0.427

0.448

0.486

30

0.398

0.407

0.418

0.435

0.466

40

0.395

0.403

0.412

0.427

0.454

50

0.393

0.400

0.408

0.421

0.445

100

0.386

0.391

0.397

0.406

0.423

150

0.383

0.387

0.392

0.399

0.413

200

0.381

0.385

0.389

0.395

0.407

300

0.379

0.382

0.385

0.390

0.400

При справедливости Н0 и больших объёмах выборок п статистика соп приближенно подчиняется нормальному распределению. Зависимость

распределений статистики (2.1) от объёма выборки иллюстрирует рис. 2.1. Нормализованная статистика

где математическое ожидание и дисперсия статистики (2.1) определяются выражениями

при п —> оо сходится к стандартному нормальному закону [38, 39, 63].

Отметим, что оценки математического ожидания и дисперсии распределений статистики (2.1), получаемые при статистическом моделировании, совпадают со значениями, вычисляемыми по приведенным формулам для Е[соп ] и D[con], с точностью до 3-го знака.

Зависимость распределения статистики (2.1) Шермана от п

Рис. 2.1. Зависимость распределения статистики (2.1) Шермана от п

Отличием распределения статистики (2.2) от стандартного нормального закона можно пренебрегать при п > 20.

В тех же источниках приводится ещё одна модификация статистики, задаваемая выражением

(О, -0,367911- — I „ * I 2 п)

ГДб 0,2431Л 0,605") '

4~п I п )

Распределение модифицированной статистики (2.3) ещё быстрее сходится к стандартному нормальному закону (см. рис. 2.2).

Если объём выборки позволяет использовать нормальную аппроксимацию, то оценка достигнутого уровня значимости (p-value), задаваемая соотношением (1.2), определяется выражением

где S* - значение используемой статистики (2.2 или 2.3), вычисленное по анализируемой выборке. Проверяемая гипотеза Н0 не отклоняется, если для заданной вероятности а ошибки 1-го рода P{S > S*} > а.

Сходимость распределения статистики (2.3) Шермана к стандартному нормальному закону N(0,1)

Рис. 2.2. Сходимость распределения статистики (2.3) Шермана к стандартному нормальному закону N(0,1)

Оценки мощности критерия равномерности Шермана для значений вероятностей ошибок 1-го рода « = 0.15, 0.1,0.05, 0.025, 0.01, полученные в результате статистического моделирования, по отношению к конкурирующей гипотезе Я, приведены в таблице 2.2, оценки мощности по отношению к гипотезам Я2иЯ3-в таблицах 2.3 и 2.4 соответственно.

По отношению к конкурирующей гипотезе Я, при малых п и «отмечена смещённость критерия Шермана (мощность 1-/3 оказывается меньше заданной вероятности ошибки 1-го рода «). Чтобы подчеркнуть это, в таблице 2.2 соответствующие оценки мощности выделены серым цветом.

Для иллюстрации факта смещённости на рис. 2.3 показаны распределения С{(ОпН{) статистики (2.1) Шермана, соответствующие справедливости Я0 и Я,, при объёмах выборок п = 10 и п = 50 .

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.104

0.065

0.029

0.013

0.005

20

0.138

0.091

0.045

0.022

0.009

30

0.166

0.112

0.057

0.029

0.012

40

0.189

0.130

0.068

0.036

0.015

50

0.210

0.147

0.079

0.043

0.018

100

0.292

0.215

0.126

0.073

0.035

150

0.358

0.272

0.167

0.102

0.051

200

0.415

0.325

0.208

0.131

0.069

300

0.510

0.415

0.283

0.188

0.107

Таблица 2.3

Мощность критерия Шермана относительно гипотезы Нг

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.207

0.147

0.081

0.044

0.020

20

0.219

0.156

0.087

0.048

0.022

30

0.229

0.164

0.092

0.051

0.024

40

0.237

0.171

0.096

0.054

0.025

50

0.245

0.177

0.101

0.057

0.027

100

0.277

0.204

0.119

0.069

0.033

150

0.304

0.226

0.135

0.080

0.039

200

0.328

0.248

0.150

0.090

0.045

300

0.370

0.285

0.178

0.110

0.057

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.171

0.117

0.061

0.032

0.013

20

0.179

0.123

0.065

0.034

0.015

30

0.186

0.129

0.068

0.036

0.016

40

0.192

0.134

0.071

0.038

0.016

50

0.197

0.137

0.074

0.039

0.017

100

0.218

0.154

0.084

0.046

0.020

150

0.234

0.167

0.093

0.051

0.023

200

0.249

0.180

0.101

0.056

0.026

300

0.274

0.201

0.115

0.065

0.031

Распределения G(co 1Я.) статистики (2.1) Шермана

Рис. 2.3. Распределения G(cot(.) статистики (2.1) Шермана

Критерий правосторонний, и проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Как можно видеть, распределение статистики G(cow |Я,), имеющее место при справедливости Я,, сдвинуто относительно G(cow0) не вправо, а влево. Следовательно, мощность 1-у5 оказывается меньше соответствующего а. С ростом п смещённость исчезает (см. G(co50H0) и Gico^lH^ на рис. 2.3).

В качестве недостатка критерия Шермана, наряду с возможной смещённостью, можно указать, как правило, невысокую мощность.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>