Особенности модели «сигнал плюс шум»

Значительная часть прикладных задач статистической радиофизики и радиотехники, акустики, механики и общей теории колебаний приводит к необходимости анализа случайных процессов, представляющих собой смесь некоторого полезного (или информационного) сигнала и комплекса различных мешающих помех. В зависимости от конкретного содержания решаемой задачи структура, отдельные параметры, а в более общем случае, и физическая природа как сигналов, так и помех могут быть различными. Вместе с тем, если из всей совокупности задач, связанных с обработкой информации, выделять одну из наиболее характерных «типовых» задач, то, по-видимому, к ней должна быть отнесена задача анализа полезного гармонического сигнала в присутствии аддитивного флюктуационного гауссовского шума. Рассмотрим некоторые особенности вероятностного описания случайных процессов в подобных задачах.

Будем считать, что информационный сигнал s(t) представляет собой гармонический процесс со случайной начальной фазой и описывается моделью вида (3.7.2). На этот процесс s(t) = x(t) накладывается аддитивный флюктуационный гауссовский шум 4(0^:

для которого вероятностное распределение имеет вид: и, соответственно, параметры:

Плотность вероятностей для результирующего процесса г|(/) при статистической независимости слагаемых х(/) и 4(0 определяется сверткой распределений:

и с учетом выражений (3.7.3) и (2), может быть записана в виде [39, 41]

где 9 = о)₀/ + ф. Графики функции />_п(л) для нескольких значений отношения к = о_д./о, при нормированной переменной г| / а показаны на схеме 3.8.1. Из них, в частности, видно, что при уменьшении шума (а_? < а_у) процесс г|(0 приближается к гармоническому колебанию (3.7.2), а плотность вероятностей (3) приближается к плотности вероятностей (3.7.3).

Схема 3.8.1

Смесь гармонического колебания и флюктуационного шума

• • Типовое представление модели
• 4(0 = *(0 + ад = A cos(<0₀/ + ф„) + ад Параметры:

Д, —постоянная амплитуда сигнала x(t) т_х - M{x(i) } = О

<°о -частотаколебаний с²х = м{х² (t)}= А²/:2

Ф_п —случайная начальная фаза колебаний , А _/ _

TL - - щ=л/{ад}=о

q(/) — аддитивным гауссовский шум ^ъ ,

ч = М^(1)=ч

• Вероятностное описание мгновенных значений процесса г|(/)

Плотность вероятностей для нормированной случайной величины г|/а при различных

значениях отношения

• Если гармоническое колебание x(t) и флюктуационный шум ?(/) являются статистически независимыми процессами, то их аддитивная смесь ц(/) = x(t) + ?(/) характеризуется параметрами

Корреляционная функция R(x) процесса г|(/) определяется при этом суммой корреляционных функций слагаемых: R (х) = R (х) + R_e(х)

Л ^х S

С другой стороны, если шум возрастает (а, > a_v), то плотность вероятностей (3) нормализуется.

Обычно любая обработка информационных процессов выполняется в некотором заданном частотном диапазоне, а реальные системы обработки информации обладают свойством частотной избирательности. Это позволяет во многих практических задачах флюктуационную составляющую 4 (/) в смеси сигнала и шума (1) считать узкополосным случайным процессом с корреляционной функцией вида:

При этом по аналогии с выражениями (3.7.8)—(3.7.10) процесс г|(/) может быть представлен в векторной форме;

где

и, следовательно:

На схеме 3.8.2 показана геометрическая интерпретация представления (4) для смеси гармонического колебания и узкополосного шума.

Из приведенных выражений (4)—(7) можно заметить, что в отсутствие гармонического колебания (А₀ = 0) определения огибающей (6) и фазы (7) переходят в соответствующие определения (3.7.10) для узкополосного случайного процесса 4(0-

Вероятностное поведение огибающей V{t) и случайной фазы суммы гармонического колебания и узкополосного гауссовского шума (4)—(7) описывается одномерными плотностями вероятностей вида [39]:

Здесь а = AJ— характеризует отношение сигнал-шум; I_Q(z) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента;

Векторная форма модели сигнала и шума

• Векторная форма представления модели

Случайные функции V(t) и j/(/) характеризуют поведение огибающей и фазы для аддитивной смеси гармонического колебания х(/) и узкополосного шума ^(/) в модели вида

I

• Вероятностное описание огибающей V(t)

Плотность вероятностей огибающей соответствует здесь обобщенному закону Рэлея или распределению Райса

• Вероятностное описание случайной фазы j/(/)

Форма распределения случайной фазы |/(/), как и распределение огибающей V{t), существенно зависит от значений параметра

(V-Фо)

Плотность вероятностей огибающей (8) соответствует в данном случае обобщенному закону Рэлея или распределению Райса. Для нескольких значений параметра а = A_q/g, на схеме 3.8.2 приведены графики функций p_v(v) и р (у). Очевидно, что при отсутствии в смеси (1) гармонического колебания (А₀ = 0, а = 0) процесс г|(/) становится гауссовским, а его огибающая V(t) и фаза |/(/) характеризуются соответственно рэлеевским и равномерным распределениями. Функции (8) и (9) переходят при этом в функции (3.7.18) и (3.7.17) для плотностей вероятностей р_л{А) и />_ф(ф). В другой ситуации, при уменьшении флюктуационных шумов 4(0, когда А₀ > о,, случайные отклонения амплитуды и фазы становятся малыми и нормализуются. Наиболее вероятные значения огибающей v(/) группируются в окрестности значений v(/) ~ а , и функция (8) асимптотически приближается к функции:

которая с учетом (v/n)^{1/2 [1]} 1 может считаться приближенно нормальной. Флюктуации фазы также уменьшаются, плотность вероятностей /> (|/) при а > 1 заметно сужается, форма ее приближается к гауссовской:

а наиболее вероятные значения |/(/) группируются в окрестности |/(/) ~ ф₀. Все перечисленные особенности достаточно наглядно проявляются в поведении плотностей вероятностей p_v(v) и р_х (|/), представленных на схеме 3.8.2.

• • • Рассмотренные в данном разделе результаты относятся к описанию случайных процессов р(/) = х(/) + 4 (/), представляющих собой сумму полезного гармонического сигнала jc(/) и мешающего случайного воздействия 4(0 — аддитивного гауссовского шума. Процессы подобного типа встречаются в разнообразных прикладных задачах, и именно поэтому модели таких процессов относятся к одному из наиболее распространенных и практически важных классов вероятностных моделей.

• [1] ••Если помеховое воздействие 4(0 является узкополосным,то при вероятностном анализе процессов г|(/) полезно использоватьопределения огибающей (6) и фазы (7). Такое представление позволяет дать наглядное описание не только изменений мгновенных значений г|(/), но и показать характер изменений вероятностных распределений (8) и (9) для случайных функций V(t) и Т(/) в зависимости от величины а = А0/<з? отношения сигнал-шум.