Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Таблицы истинности

Рассмотрим высказывания с точки зрения их истинностных значений. В содержательной логике под высказыванием подразумевается повествовательное предложение, о котором можно определенно сказать истинно оно или ложно. Например, предложение «квадрат является ромбом» - высказывание, причем истинное, а предложение «рассмотрим множество всех функций» высказыванием не является, так как нельзя с определенностью утверждать, истинно оно или ложно. Таким образом, в нашей математической модели каждое элементарное высказывание нужно рассматривать как переменную величину (пропозициональную переменную), которая принимает только два значения «истина» и «ложь». Значение «истина» принято обозначать через единицу 1, а «ложь» - через ноль 0. Итак, всякое элементарное высказывание (пропозициональная переменная) формально может принимать одно из значений: 1 или 0.

Формулы логики высказываний, которые мы определили выше, являются высказываниями, следовательно, тоже должны принимать одно из истинностных значений. Для формул, которые являются таковыми по условию 1 определения 3.1 (элементарные высказывания), мы уже приняли соглашения. Чтобы определить истинностное значение любой формулы, которая не является элементарным высказыванием, нужно прежде всего определить значения формул -нЛ, Л&?>, Л V В. А —> /i, А = В в зависимости от значений входящих в них элементарных высказываний. Это делается с помощью так называемых таблиц истинности. В табл. 1 приведены значения истинности для логических формул, перечисленных выше.

Таблица, 1

А

В

АкВ

А/В

А^В

А = В

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

Из определения формулы следует, что с помощью таблицы истинности можно определить истинностные значения любой формулы. Ясно, что, если формула содержит п элементарных высказываний, то она имеет 2п значений, т. е. таблица истинности этой формулы содержит 2" строк. П р и м е р 3.2. Найти истинностные значения формулы

Убедимся, что F формула. По определению 3.1 (условие 2) -нД А = В являются формулами. Тогда в силу этого же условия формулами являются —iA&zT3 и F = {А= В) —>(—lA&B). Рассмотренные нами выше составные части формулы F. которые сами являются формулами, называются подформулами формулы F.

Для нахождения всех истинностных значений формулы F последовательно найдем значения всех подформул. Представим эти вычисления в виде общей таблицы истинности.

Таблица 2

А

В

Ы)

(А = В)

((-1 А)кВ)

(A = B)->((-iA)kB)

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

Логические связки: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность можно рассматривать как функции, которые определены на двухэлементном множестве /? = {0,1} со значениями в этом же множестве. Их называют логическими (булевыми) функциями или операциями. Операция отрицания - унарная, а все остальные - бинарные. Таблицу истинности для каждой из операций можно рассматривать как определение этой операции.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>