Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Функции и отображения

Определение 2.18. Функцией из Л в В называется однозначное бинарное отношение /СИ х В, т. е. (а, 6)е/ и (а,с) ? f ob = c.

Поскольку любая функция является бинарным отношением, т. е. множеством, то, применяя интуитивный принцип объемности, получаем: две функции / и g равны (f — g), если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения и область значения функции обозначаются и определяются так же, как для бинарного отношения.

Определение 2.19. Если / - функция из X в У, то вместо (х. у ) 6 / привычно пишут y = f(x) и говорят, что у - значение, соответствующее аргументу х, или у - образ элемента х при отображении /. При этом х называют прообразом элемента у.

Определение 2.20. Функцию / из X в У (/СХ хУ) называют одноместной или функцией одной переменной.

Это понятие можно обобщить на случай функции нескольких переменных следующим образом.

Определение 2.21. Функция / из Хп в У (/CXnxF) называется п-местной функцией из X в Y или функцией п переменных (y = f(x 1,Ж2,

Определение 2.22. Функция / С Ах В, область определения которой /)(/) совпадает с множеством А называется отображением множества Л в множество В или всюду определенной функцией. Если при этом область значений E(f) совпадает с В, то / - отображение А на множество В или сюръекция.

Иногда говорят, что отображение / устанавливает однозначное соответствие между множествами А и В. Отображение обозначают:

f:A—*B или А^В.

Определение 2.23. Пусть / - отображение множества А в множество В. Совокупность всех элементов из А, образом которых является данный элемент be В, называется прообразом (или, точнее, полным прообразом) элемента b и обозначается /-1(6), т. е. f~1(b) = {аа е А и f(a) = = Ь}.

Определение 2.24. Отображение / множества А в множество В называется взаимно однозначным или инъекцией, если полный прообраз любого элемента be В содержит не более одного элемента аеА, т. е. f(a) = b и /(<22) = b=>a =(i2-

Определение 2.25. Отображение / множества А в множество В называется биекцией, если оно является сюръекцией и инъекцией одновременно, т. е. взаимно однозначным отображением множества А на множество В.

Например, функция f(x) = arctgir на множестве действительных чисел М является инъекцией, но не сюръекцией. Действительно, полный прообраз любого элемента у содержит не более одного элемента х, так как обратное отношение fi(y)—tgy является функцией. Следовательно, fi(x) - инъекция. Но f{x) не сюръекция, потому что ее область значений не равна множеству R. Функция jo(x)=xA — x - сюръекция, по не инъекция, так как например, /9-1(()) = { —1,0,1} содержит более одного элемента, a E(fo) = ^. Примером биекции на множестве М может служить функция фз(х) = х3.

Если М С А, то образом множества М при отображении /*: —> В

называется множество f(M) = {xxeB,x = f(m) для всех теМ}, т. е. совокупность образов всех элементов подмножества М. В свою очередь для каждого подмножества С из В множество f~l(C) = {аа = f~l (с) для всех се С} называется прообразом множества (7, т. е. f~l{C) - совокупность всех тех элементов из А, образы которых принадлежат С. Если ни один элемент с из С не имеет прообраза, то полный прообраз f~] (С) = 0.

Сформулируем основные самые общие свойства отображений.

Теорема 2.3. Прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов:

Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

Теорема 2.3 остается в силе для объединений и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств.

Теорема 2.4. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

Утверждение аналогичное теореме 2.4 для пересечений не имеет места, т. е. в общем случае образ пересечения двух множеств не совпадает с пересечением их образов.

Например, если отображение / - это проектирование плоскости на ось Ох, то множества А = {0 ^ 1, у = 0} и В = {() у = не пересекаются (ЛГШ = 0), а их образы, очевидно, совпадают (f(A) = f(B)).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>