Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Бинарные отношения

Определение 2.4? Пусть А и В - некоторые множества. Любое подмножество R декартова произведения Ах В (ЯС Л х Я) называется бинарным, отношением. Если А = В, то бинарное отношение R является подмножеством декартова квадрата множества A (ЯСЛх Л = Л2) и называется бинарным, отношением, на множестве А.

В общем случае число различных отношений на множестве А зависит от его мощности |Л|. Не все из них представляют практический интерес. Приведем три отношения, которые полезны при рассмотрении множеств.

Для любого множества А отношение Уд = {(а, а,)а ? А} называется тождественным, отношением, отношение (Уд = {(о,Ь)аeA.be А} называется универсальным, отношением,. Ясно, что (7д = Л2. Так как 0 С А2, то 0 является отношением на А и называется пустым отношением.

Отношение R между множествами А и В выделяет в каждом из них подмножества, элементы которых участвуют в образовании Я, они имеют специальные названия.

Определение 2.5. Областью определения бинарного отношения Я называется множество D(R) = {а(a, b) G Я}, т. е. множество УДЯ) составляют первые компоненты (координаты) всех пар, входящих в Я

(D(R)CA).

Определение 2.6. Областью значений бинарного отношения Я называется множество E(R) = {6|(a, b) ? R}, т. е. множество E(R) составляют вторые компоненты (координаты) всех пар, входящих в R (E(R)CB).

Каждое отношение - это множество и может быть обозначено прописной буквой (что мы и делали до сих пор). Но часто, используя строчные греческие буквы, например р, а и т, пишут:

  • 1) (а,6)Ер (пара (а,Ь) находится в отношении р)
  • 2) apb (элемент а связан с Ь отношением р).

Первое из обозначений естественно для теории множеств, а второе связано с общепринятыми обозначениями известных в математике отношений, например, равенства (а = Ь) или порядка (а<Ъ).

Для любых бинарных отношений между множествами А и В обычным образом определены теоретико-множественные операции объединения, пересечения и т. д. Новыми для бинарных отношений будут следующие понятия.

Определение 2.7. Пусть R! - бинарное отношение (.RCAxB). Тогда обратным отношением называется отношение R~l С В х А, заданное равенством R~l {(6, а) {a, b) ? R}.

Ясно, что D(R~l) = E(R) и E(R~l) = D{R).

Определение 2.8. Композицией или произведением, двух бинарных отношений R С А х В и Я2 СВ хС называется отношение, которое обозначается RoR2 и состоит из пар (а, с) таких, что а ? А, с ? С и существует b ? В с условием (а, Ь) ? /Д и (6, с) ? /?,2.

Очевидно, что Hi о Я2 является бинарным отношением на А х С.

Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

  • 1. (R~l)~l = R-
  • 2.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>