Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Отношения

Понятие отношения

Пусть даны два множества Л и В. Рассмотрим множество всевозможных пар вида (а. 6), таких, что a? Л, Ь^В. Мы получили новое множество, элементы которого имеют иную, чем элементы множеств Л и В, природу. Например, так устроены обозначения клеток шахматной доски, декартовы координаты точек плоскости.

Определение 2.1. Множество А х В = {(а, &)|аЕ A, be В} - всех упорядоченных пар элементов множеств А и В называется прямым или декартовым, произведением множеств А и В.

Отметим, что в определении рассматриваются упорядоченные пары, т. е. (а, Ь)^(Ь, а), следовательно, Ах В ф В х А при А^В. В случае когда А = В, прямое произведение обозначается А х А = А2 и называется декартовым, квадратом, множества А.

Этот способ построения множеств можно распространить на любое конечное число множеств.

Определение 2,2, Прямым (декартовым) произведением мпо- жеств Ai, Л;2, Ап называется множество А] х Л2 х ... х Ап =

= {(а, а,о,..., ап) |a,i е А, г = 1,2,..., гг} - всех упорядоченных n-ок вида (аьа2те).

Если А = А2 =... = Ап = А, то пишут Л х Л х... х А = Ап и называют п-й декартовой степенью множества Л.

Декартово произведение конечных множеств само является конечным множеством, мощность которого равна произведению мощностей сомножителей

Определение 2.3. Отношением на упорядоченной системе множеств называется любое подмножество их прямого произведения, взятого в том же порядке.

Если ЯСЛ1хЛ2х...х Лп, то по определению R - отношение на системе множеств А, Л2,..., Ап. Для того чтобы зафиксировать число элементов в системе множеств, отношение R называют n-арным или п- местным. В случае п = 1, отношение называется унарным; а при п = 2 бинарным. Любое унарное отношение множества Л является просто подмножеством множества Л.

Например, отношение Я - «быть четным числом» на множестве натуральных чисел N является унарным. Множество R совпадает с подмножеством N2 = {2,4,2п,...} множества N.

Если А - множество всех женщин, В - множество всех мужчин, то отношение «быть мужем и женой» - это бинарное отношение на А и В.

Отношение «быть семьей из трех человек» - это трехместное (тернарное) отношение на Л, В и Су, где С - множество всех детей. Элементами этого отношения являются упорядоченные тройки: (а, 6, с), где а жена, Ь - муж, с - ребенок.

Список студенческой группы можно рассматривать как четырехместное отношение на семействе множеств: Mi, Ао, Лз, Л4, где А это множество натуральных чисел, А2 - множество фамилий, Л3 - множество имен, А4 - множество отчеств.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>