Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Операции над множествами

Рассмотрим операции над множествами, которые представляют собой ряд правил, позволяющих получать новые множества из уже заданных.

Определение 1.1. Объединением (суммой) двух множеств Л и В называется множество Ли Л, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются либо элементами множества Л, либо элементами множества В:

Другими словами, в объединение Ли Л входят все элементы как множества Л, так и множества В, и других элементов нет. При этом всегда: АС Ли В, Л С Ли Л.

Под объединением любой совокупности множеств будем понимать новое множество, каждый элемент которого является элементом некоторого множества из данной совокупности, при этом любой элемент каждого множества совокупности есть элемент объединения. В частности, для совокупности множеств: Лх, Ао, ..., Лп, ... имеем

Определение 1.2. Пересечением множеств Л и В называется множество ЛП Л, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются как элементами множества Л, так и элементами В.

Другими словами, в пересечение АО В входят те и только те элементы множества Л, которые входят в В. Если пи один элемент множества Л не является элементом множества Л, то ЛПЛ = 0. В этом случае говорят, что множества А и Я не пересекаются. Ясно, что всегда справедливы включения: Л П Я С Л, АП В С В.

Если множества А и В состоят из конечного числа элементов, то справедливо следующее равенство

Равенство |ЛиЯ| = |Л| + |Я| выполняется только в случае, когда множества Л и В не пересекаются (ЛпЯ = 0).

Для произвольной совокупности множеств под пересечением будем понимать новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят во все множества данной совокупности. В частности, для совокупности множеств: Л1, Л2, Лга, ... имеем

Определение 1.3. Разностью двух множеств Л и В называется множество ЛЯ, элементами которого являются те и только те элементы множества Л, которые не принадлежат множеству В:

Очевидно, что Л В С Л.

Определение 1.4Симметрической разностью множеств Л и В называется множество ЛДЯ = (ЛЯ)и(ЯЛ). Другими словами, это множество состоит из тех и только тех элементов Л и В, которые не входят в пересечение этих множеств.

Упражнение 1. Доказать, что ААВ = (A иЯ) (АПВ).

П р и м е р 1.2. Пусть Л = {1, 2,3, а, 6}, В = {а, 6, с, 0,1,5}. Найти: Лия, ЛПЯ, ЛЯ, ЯЛ, ЛАЯ.

Согласно определениям 1.1 - 1.4: ЛиЯ — {(), 1,2,3,5, а, 6, с}, ЛПЯ = = {1,а,Ь}, Л Я = {2,3}, ЯЛ = {с,0,5}, ЛАЯ = {0,2,3,5,с}.

Определение 1.5. Дополнением множества Л называется множество Л всех тех элементов, которые не принадлежат Л:

Если U - универсальное множество, то A = UA.

Разность ХА = {ххеХ, .х^Л}, т. е. множество всех элементов А, которые не принадлежат Л, иногда называют относительным дополнением множества Л до множества X. Отметим, что ХА = X ПЛ.

Для наглядного представления отношений между подмножествами универсального множества используют диаграммы Эйлера - Венна. Само универсальное множество U изображают в виде прямоугольника, а его подмножества - в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника.

На рис. 1 представлены диаграммы Эйлера - Веина, иллюстрирующие операции над множествами.

Рис. 1

Сформулируем основные свойства операций объединения, пересечения и дополнения множеств.

Для любых подмножеств А, В, С и универсального множества IJ выполняются; следующие тождества:

В качестве примера приведем доказательства тождеств 3 и 7.

Доказательство тождества 3. Аи (ВГС) = (АиВ)П(АиС).

Введем обозначения: Л/ = Аи(ВГС) и N=(AuB)n(AuC). Тогда М = N<=>M С N, NCM.

Сначала докажем, что М С N. Пусть х ? А / = Аи(ВГС). Это означает, что а) х? А или б) хеВПС. В случае а) из того, что х? А, следует х ? A UВ и .те Л UС т. е. х? (Л UВ) П (Л UС) = N. Если же хеВГ)6У, то это означает, что х ? В и х ? 6 Следовательно, .х? Ли В и х ? /1U 6У, т. е. и в случае б) х? (AUB) П (Л U6y) = N. Первое включение доказано.

Покажем, что N С М. Пусть х ? А' = (Л U В) П (Л U В), тогда х ? /1 U /i и хG Ли6У. Следовательно, либо тG Л, и тогда очевидно, что т G Л U (/i П Су), либо х ^ Л, тогда х ? В и т G 6У, т. е. ж ? В П 6У, а значит хеАи{ВГ)С) = М.

Доказательство тождества 1. Л U /i = Л П В.

Пусть х^АиВ. Тогда хДАУдВ. Следовательно, хДА и хДВ. Это означает, что хеА и х G В. т. е. х ? Л П /Т Итак, AU В САП В. Пусть теперь х ? Л П В. Тогда х ? Л и ж ? /3, следовательно, ж 0 Л, В. Значит, т^ЛиВ, т. е. т?Ли/3. Итак, АП В CAU В. Тождество 7 доказано.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>