Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Уравнение колебаний электрона под воздействием электромагнитной волны

Пусть N - число атомов вещества. Все атомы эквивалентны. В каждом атоме находится один оптический электрон, т. е. электрон, который может взаимодействовать с электромагнитной волной. Заряд электрона q, масса ш. На электрон действуют следующие силы: электрическая сила Fem со стороны поля волны, квазиупругая сила FKy, сила сопротивления движению Fc. Взаимодействие оптического электрона с электронами данного атома включено в квазиупругую силу, взаимодействием оптических электронов соседних атомов пренебрежём. Это возможно, если считать, что плотность газа мала и расстояния между атомами достаточно велики. Векторы сил, действующих на оптический электрон в атоме, показаны на рис. 23. На рисунке напряженность электрического поля волны Е направлена влево, скорость электрона и - вправо.

Силы, действующие на оптический электрон в атоме

Рис. 23. Силы, действующие на оптический электрон в атоме

Здесь г - радиус-вектор электрона; к - квазиупругий коэффициент; g - коэффициент сопротивления движению.

Запишем динамическое уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) в проекции на ось ОХ (рис. 23):

Далее будем считать, что Е = Ех. Разделим правую и левую части уравнения на массу электрона т:

Напряжённость электрического поля волны изменяется по гармоническому закону,

После подстановки этого выражения в уравнение (2.1) получаем уравнение вынужденных колебаний в системе с затуханием:

- I*

Введём следующие обозначения: С0{) —,/— - частота собственных

V ш

колебаний электрона в атоме (считаем, что затухание колебаний мало), ст

у =-- коэффициент затухания колебаний электрона в атоме.

С учетом этих обозначений уравнение движения электрона примет вид:

Уравнение (2.3) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение есть сумма общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения. Линейное однородное дифференциальное уравнение в данном случае является уравнением затухающих колебаний.

В случае слабого затухания решение этого уравнения имеет вид:

где С| и Ci - произвольные константы, которые можно определить из начальных условий. Решение можно также записать в действительной форме

где

со - циклическая частота затухающих колебаний; ooq - циклическая частота собственных колебаний электрона в атоме.

Величины А и |)0 в (2.5) также являются произвольными константами, определяемыми из начальных условий.

Это решение приближенно можно рассматривать, как гармонические колебания, происходящие с частотой со, амплитуда которых убывает по экспоненциальному закону. Частота со связана с собственной частотой колебаний электрона формулой (2.6). В случае, когда коэффициент зату-

хания мал, т. е. когда СО{) » у , Частота со близка к собственной частотой колебаний электрона в атоме. График затухающих колебаний приведен на рис. 24, однако в случае слабого затухания амплитуда колебаний убывает гораздо медленнее.

График затухающих колебаний

Рис. 24. График затухающих колебаний

Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.3) будем искать в виде

где О. - частота колебаний напряженности электрического поля в электромагнитной волне. Найдем первую и вторую производные этой функции по времени:

Подставим в дифференциальное уравнение (2.3) полученные выражения для производных:

Это уравнение обращается в тождество для любого t, если выполняется условие

Из уравнения (2.7) найдем величину Хо:

Теперь частное решение линейного неоднородного уравнения можно записать так

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения линейного однородного уравнения (2.4) и частного решения линейного неоднородного уравнения (2.8):

Это решение представляет собой сумму двух функций. Первая описывает затухающие колебания, происходящие с частотой со, а вторая — незатухающие вынужденные гармонические колебания, происходящие с частотой Q, равной частоте колебаний в электромагнитной волне. Для случая, когда частоты со и Q сильно различаются, график этого решения представлен на рис. 25. Из рисунка видно, что в процессе уменьшения амплитуды затухающих колебаний остаются только вынужденные колебания электрона с частотой <Э, равной частоте колебаний в электромагнитной волне. Период колебаний в световых электромагнитных волнах составляет примерно от 110'15 до 2,3-10’15 с. Поэтому время установления колебаний заведомо будет меньше времени наблюдения. Главную роль в описании взаимодействия оптического электрона со световой волной в случае, когда собственная частота колебаний электрона значительно отличается от частоты колебаний в электромагнитной волне, играют вынужденные колебания (второе слагаемое в общем решении (2.9) дифференциального уравнения).

График вынужденных колебаний при наличии затухания вдали от резонанса

Рис. 25. График вынужденных колебаний при наличии затухания вдали от резонанса

Рассмотренный выше случай соответствует взаимодействию оптического электрона с полем электромагнитной волны вдали от полосы поглощения. При таких условиях наблюдается нормальная дисперсия света в газах. При совпадении частоты колебаний поля в электромагнитной волне с собственной частотой колебаний оптического электрона в атоме наблюдается явление, называемое в теории колебаний резонансом. Резонанс - это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, происходящее при совпадении частоты собственных колебаний с частотой периодической вынуждающей силы. Резкий рост амплитуды вынужденных колебаний приводит к интенсивному поглощению энергии колебательной системой. В нашем случае это означает интенсивное поглощение энергии электромагнитных световых волн. Как было отмечено ранее, в такой ситуации наблюдается явление аномальной дисперсии.

Амплитуда вынужденных колебаний оптического электрона в зависимости от частоты электромагнитных колебаний Q, согласно (2.9), изменяется по закону

На рис. 26 показано, как возрастает амплитуда вынужденных колебаний при приближении частоты колебаний в волне к частоте собственных колебаний электрона в атоме. Из рисунка видно, что с уменьшением коэффициента затухания у амплитуда резонансных колебаний возрастает. Мы считаем, что затухание колебаний электрона в атоме незначительно, следовательно, амплитуда резонансных колебаний будет велика.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частоты колебаний поля в волне /2 и частоты собственных колебаний электрона со

Рис. 26. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частоты колебаний поля в волне /2 и частоты собственных колебаний электрона соа

При совпадении частоты внешней электромагнитной волны Q с частотой собственных колебаний электрона амплитуда резко возрастает, то есть имеет место резонанс. Возрастание амплитуды колебаний электрона приводит к увеличению индуцированного электрического дипольного момента атома. Это приводит к резкому росту вектора поляризации вещества и его диэлектрической проницаемости.

Выводы

  • 1. В рамках классической электронной модели дисперсии при длинах волн оптического излучения, далеких от линий интенсивного поглощения света веществом величина диэлектрической проницаемости вещества и коэффициента преломления определяется амплитудой вынужденных колебаний оптических электронов и при изменении длины волны излучения изменяется незначительно.
  • 2. Если длина волны света близка к линии поглощения, то зависимость диэлектрической проницаемости и показателя преломления вблизи длины волны, равной длине волны линии поглощения имеет резонансный характер.

Контрольные вопросы

  • 1. Запишите динамическое уравнение движения оптического электрона под воздействием электромагнитной волны. Объясните физический смысл отдельных слагаемых в этом уравнении.
  • 2. Запишите решение динамического уравнения движения оптического электрона. Какое движение совершает оптический электрон?
  • 3. Как зависит амплитуда колебаний оптических электронов от частоты колебаний в электромагнитной волне?
  • 4. При выполнении каких условий происходит резкое увеличение амплитуды колебаний оптических электронов?
  • 2.4. Дисперсия вдали от линии поглощения (нормальная дисперсия)

Определим, как зависит показатель преломления газа от длины волны или частоты излучения. Для этого сначала найдем величину электрического дипольного момента атома, возникающего под воздействием электромагнитной волны, затем найдем величину вектора поляризации газа, а потом - величину диэлектрической проницаемости и показателя преломления.

Величина электрического дипольного момента одного атома с одним оптическим электроном

где q - заряд электрона, х - смещение оптического электрона из положения равновесия. Величина дипольного момента N атомов с одним оптическим электроном каждый

Величина вектора поляризации равна электрическому дипольному моменту единицы объёма вещества

?7 = (N/V) - концентрация оптических электронов. Максимального значения поляризация достигает, когда смещение оптического электрона из положения равновесия равно амплитуде его колебаний. Амплитуда колебаний электрона из (2.9) равна

Если Хо является амплитудным смещением, то величина вектора поляризации

Величина вектора электрического смещения Отсюда диэлектрическая проницаемость среды

Если длина волны электромагнитной волны значительно отличается от длины волны, при которой наблюдается резонансное поглощение света, то можно пренебречь поглощением электромагнитных волн и квадрат показателя преломления среды будет равен

В последней формуле учтено, что заряд электрона равен элементарному заряду, q = е ~ 1,6 10"|9Кл.

Для большинства прозрачных тел частота с% лежит в ультрафиолетовой области и поэтому длина волны света чаще всего значительно отличается от той длины волны, на которой наблюдается резонансное поглощение. Всюду за исключением точки Q = с% функция n2(Q) возрастает с ростом частоты Q. Следовательно, она убывает с ростом длины волны Я, - 2;гс

так как А —-,где с - скорость света в вакууме. На рис. 27 показан

График зависимости квадрата показателя преломления от частоты электромагнитной волны

Рис. 27. График зависимости квадрата показателя преломления от частоты электромагнитной волны

график типичной

зависимости квадрата показателя преломления от частоты колебаний

электрического поля в электромагнитной волне. Стрелками показаны

направления возрастания частоты колебаний

напряженности электрического поля Q и длины волны А.

Символами кр и щ обозначены значения

частоты, соответствующие границам видимой части спектра — излучению красного и фиолетового света, с% - частота, на которой происходит резонансное поглощение света. Из рисунка видно, что с ростом длины волны показатель преломления уменьшается, т. е.

Для фиолетофого цвета показатель преломления больше, чем для красного, пфиоя > пкрасн, что соответствует результатам многочисленных экспе-риментов.

Считая, что Я « аь, можно разложить выражение (2.10) в ряд по степеням (Я/со^) и ограничиться в этом разложении двумя членами, тогда

. 2лс

Длина волны света А — , длига волны, соответствующая

разонансному поглощению энергии, равна =--. Перейдем в

2 7гс 2лс

формуле (2.11) от частот к длигам волн, ?2 =-, б)0 =-.

А. Яу

Введем следующие обозначения

Теперь формулу (2.11) можно переписать в виде

Эту формулу легко сравнить с экспериментальными данными, а также с формулой Френеля-Коши. Полученный результат совпадает с эмпирической формулой Френеля-Коши. Расхождение с экспериментом составляет 10-20%.

Отметим, что формула (2.12) имеет ограниченную область применения. Она справедлива только для разреженных газов, в которых можно пренебречь взаимодействием между излучающими электронами соседних атомов. Для жидкостей и твердых тел следует учитывать взаимодействие электронов различных атомов, расстояния между которыми в жидкостях и твердых телах значительно меньше. Кроме того, поглощение электромагнитных волн атомами следует описывать в терминах квантовой механики, учитывая не только энергии переходов электронов в атоме, но и вероятности различных переходов. Это также приведет к изменению количественных закономерностей дисперсии света. Однако эти вопросы выходят далеко за рамки нашего курса и они рассматриваются в курсах физики конденсированного состояния вещества.

Мы рассмотрели, как изменяется показатель преломления разреженных газов вдали от линии поглощения, если длина волны излучения много больше длины волны, для которой наблюдается резонансное поглощение света. Правая часть кривой на графике на рис. 27 соответствует длинам волн жесткого ультрафиолетового или рентгеновского излучения.

Интересно, что в этом случае получается, что показатель преломления меньше единицы. Это подтверждается тем, что в эксперименте наблюдается полное внутреннее отражение рентгеновских лучей при переходе их из воздуха в стекло. Как известно, полное внутреннее отражение наблюдается при переходе излучения из оптически более плотной в оптически менее плотную среду. Так, световые волны испытывают полное внутренее отражение при переходе из стекла в воздух. Но физический смысл показателя преломления состоит в том, что он показывает, во сколько раз скорость света в данной среде менын скорости света в вакууме. Таким образом, из того, что показатель преломления рентгеновских лучей в каком-то случае меньше единицы, означает, что фазовая скорость рентгеновских лучей больше скорости света. Но противоречия со специальной теорией относительности здесь нет, так как речь идет именно о фазовой скорости. Скорость, с которой электромагнитная волна переносит энергию и импульс, называется групповой скоростью, и она отличается от фазовой скорости. Она остается меньше скорости света в вакууме.

Выводы

1. В рамках классической электронной модели дисперсии для разреженных газов при длинах волн оптического излучения, далеких от линий интенсивного поглощения света веществом величина показателя преломления определяется формулой

А >7еЛ? л 2

где А =--— ; В = л,, ; — концентрация излучающих «оптических»

Апm

электронов; А,о - длина волны, соответствующая линии поглощения; е - элементарный заряд; ш - масса электрона.

2. В случае, когда длина волны излучения много больше длины волны, соответствующей линии поглощения, в разреженных газах наблюдается нормальная дисперсия, при которой показатель преломления уменьшается с ростом длины волны.

Контрольные вопросы

  • 1. Нарисуйте график зависимости показателя преломления от частоты падающей на вещество электромагнитной волны согласно теории Лоренца. Какими особенностями обладает эта зависимость?
  • 2. Укажите на графике области частот электромагнитной волны, соответствующие нормальной и аномальной дисперсии.
  • 3. Каков физический смысл частоты, на которую приходится разрыв функции, описывающей зависимость показателя преломления от частоты колебаний в электромагнитной волне.

2.5. Аномальная дисперсия

Как было показано выше, для разреженных газов диэлектрическая проницаемость в зависимости от частоты Q. электромагнитной волны, воздействующей на газ, может быть выражена так:

Здесь <»о - частота, на которой происходит резонансное поглощение энергии электромагнитной волны газом; 1) - концентрация «оптических» электронов в газе; е - элементарный заряд; ш - масса электрона.

Вблизи линии поглощения, т. е. когда не выполняется условие О. « ©о, уже нельзя пренебрегать поглощением электромагнитной волны. В этом случае показатель преломления становится комплексной функцией. Выясним, какой физический смысл имеет действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости. Как известно из электродинамики, диэлектрическая проницаемость вещества показывает, во сколько раз напряженность электрического поля в веществе меньше, чем в вакууме. Пусть Е() - амплитуда колебаний электрического поля в волне, распространяющейся в вакууме; Е - амплитуда колебаний напряженности электрического поля в веществе. Тогда в = Eq/E, а Е = Е Js. Пусть теперь диэлектрическая проницаемость является комплексным числом,

Амплитуда колебаний напряженности электрического поля волны при распространении ее в веществе

Согласно правилам выполнения арифметических операций с комплексными числами, частное от деления комплексных чисел а + ib и с + id

В нашем случае делимое - действительное число, поэтому а = Е0, b = 0, с = s, d = 5. Подставляя эти значения, получим для амплитуды электромагнитной волны в веществе

Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды колебаний напряженности электрического поля в волне.

Из последней формулы видно, что амплитуда колебаний напряженности электрического поля (действительная часть) уменьшается. На это влияет не только величина действительной части диэлектрической проницаемости s, но и ее мнимая часть 8.

Убывание интенсивности излучения, связанное с мнимой частью диэлектрической проницаемости, обусловлено поглощением электромагнитных волн веществом.

Г рафики зависимостей действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемостей для случая разреженного газа представлены на рис. 28 и рис. 29.

График зависимости действительной части диэлектрической проницаемости от частоты в основном описывает зависимость показателя преломления от частоты. Частоты (Щ и сеь соответствуют максимуму и минимуму диэлектрической проницаемости. При наличии поглощения функция Re(e), передающая в основных чертах поведение показателя преломления из кривой с разрывом (рис. 27) превратилась в непрерывную кривую ABCD. Участки АВ и CD соответствуют случаю нормальной дисперсии, когда

Для разных цветов показатели преломления соответствуют соотношению

Участок ВС (рис. 28) соответствует случаю аномальной дисперсии, когда

Для показателей преломления лучей различных цветов в этой области частот справедливо соотношение

При со > соо показатель преломления n < 1. Это означает, что в таких условиях фазовая скорость волны больше скорости света в вакууме. Это не противоречит теории относительности, так как запрет и < с распространяется только на скорость переноса энергии, а фазовая скорость не является скоростью переноса энергии.

Зависимость действительной части диэлектрической проницаемости от частоты колебаний в волне

Рис. 28. Зависимость действительной части диэлектрической проницаемости от частоты колебаний в волне

Зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости от частоты колебаний в волне

Рис. 29. Зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости от частоты колебаний в волне

Изменение мнимой части с изменением частоты подобно изменению коэффициента поглощения веществом электромагнитных волн. Максимум поглощения наблюдается при резонансе частот. Это хорошо согласуется с теорией электронного строения атома. Поглощение электромагнитной волны веществом минимально в случае, когда частота колебаний напряженности электрического поля в волне сильно отличается от частоты собственных колебаний электрона в атоме (точки А и D на рис. 29).

Экспериментально зависимость показателя преломления от длины волны ддя паров натрия была исследована Кнудтом, а затем опыт был усовершенствован Вудом. Натрий имеет линию поглощения, соответствующую длине волны около 0,590 нм, что соответствует желтому цвету. В этих экспериментах была получена зависимость показателя преломления, качественно совпадающая с тем, что получается в рамках электронной теории дисперсии (рис. 30).

Разрыв спектра на экране в опыте Кнудта-Вуда. Частота, при которой происходит разрыв, соответствует линии поглощения натрия. Рисунок из книги [3]

Рис. 30. Разрыв спектра на экране в опыте Кнудта-Вуда. Частота, при которой происходит разрыв, соответствует линии поглощения натрия. Рисунок из книги [3]

Выводы

  • 1. Классическая электронная теория дисперсии хорошо описывает зависимость показателя преломления для разреженных газов и паров металлов.
  • 2. Нормальная дисперсия соответствует областям длин волн, далеко отстоящим от линий поглощения электромагнитных волн веществом.
  • 3. В областях длин волн вблизи линий поглощения наблюдается аномальная дисперсия и сильное поглощение электромагнитных волн веществом.
  • 4. Классическая электронная теория дисперсии является хорошей основой для объяснения процессов преломления света в твердых телах и жидкостях. Для получения более точных результатов следует более точно учитывать взаимодействие заряженных частиц и квантово-механические закономерности процессов поглощения света.

Контрольные вопросы

  • 1. Насколько хорошо описывает теория Лоренца зависимость показателя преломления от частоты колебаний в электромагнитной волне, наблюдаемую в эксперименте?
  • 2. В чем состоит физический смысл действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости?
  • 3. В какой области частот электромагнитной волны поглощение света максимально? Какая дисперсия наблюдается в этом интервале частот световых волн?
  • 4. Возможно ли значение показателя преломления n < 1? Не противоречит ли это постулатам специальной теории относительности?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основополагающие принципы волновой оптики были заложены X. Гюйгенсом, И. Ньютоном и О. Френелем, но только после построения Дж. К. Максвеллом в конце XIX в. теории электромагнитного поля и открытия Г. Герцем электромагнитных волн оптика заняла достойное место в электродинамической картине мира. С другой стороны, явления, хорошо известные в оптике, характерны и для других диапазонов электромагнитных волн. Интерференция, дифракция наблюдаются и в рентгеновском диапазоне, где широко используются для изучения структуры кристаллов, и в диапазоне радиоволн, где они используются для конструирования приемных и передающих антенн, а также еще в большом числе практических приложений. В этом смысле изучение принципов волновой оптики имеет для будущих инженеров не только теоретическое, но и практическое значение. Мы надеемся, что наше учебное пособие также поможет в изучении курса физики и подготовке к экзаменам.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>