Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Волновая оптика : дифракция и дисперсия света

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Определение амплитуды колебаний напряженности электрического поля при дифракции сферической волны на отверстии

Суммарная напряжённость электрического поля в волне, исходящей из всех точечных источников на поверхности а (или её участка ах)

Интенсивность излучения в точке наблюдения Р пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля:

Для того чтобы вычислить этот интеграл, мы вслед за Френелем разделили волновой фронт на зоны, из которых волны в точку наблюдения приходят с разностью хода в А?2.

Приступаем к вычислению интеграла (1.25). Определим элемент поверхности da. В рассматриваемом случае (рис. 14)

Из треугольника SNP (рис. 14) по теореме косинусов:

где г - расстояние от волнового фронта до точки наблюдения. Для точек волнового фронта, принадлежащих зоне Френеля номер m, г = rm - расстояние от зоны Френеля номер ш до точки наблюдения. Продифференцируем полученное выражение по г и по в:

Отсюда получим

Подставим полученное выражение в (1.26). После этого

Подставим полученное выражение в интеграл (1.25), проведем элементарные алгебраические преобразования и выполним интегрирование по переменной ср:

Интегрирование по переменной г провести нельзя, потому что неизвестно, как изменяются коэффициенты К(р) в зависимости от г. Напряженность электрического поля волны, созданной всеми источниками отверстия

Теперь воспользуемся разбиением волнового фронта на зоны Френеля и сначала подсчитаем вклад в напряжённость поля от одной зоны Френеля, зоны номер ш. Будем считать, что коэффициент К(у/) в пределах одной кольцевой зоны Френеля постоянен. Для каждой зоны К(у/) имеет своё определённое значение.

При переходе от одной зоны к другой значение коэффициента изменяется.

Вклад в напряжённость электрического поля волны от одной зоны Френеля номер m найдем, если в (1.27) интегрирование проведем только по одной зоне Френеля, т. е. от гп>1 до rm. Символами rm_, и rm обозначены расстояния от зон Френеля с соответствующими номерами до точки наблюдения. При этом rin_x = а2 + (m - 1 )Л/2, a rm = а2 + хА12. Коэффициент К,„ в пределах одной зоны остается постоянным и его можно вынести за знак интеграла.

Вычислим интеграл в формуле (1.28).

Я

Подставим вместо rm и rm_i выражения Гп = а0 + ГП—, и

Учтем также, что волновое число связано с длиной волны соотношением к = Г^~ и подставим это соотношение в последнюю формулу.

Я

Подставим в формулу (1.28) полученное выражение для интеграла, и получим

Напряжённость поля в точке наблюдения, создаваемая волнами, исходящими из всех зон Френеля, равна сумме вкладов от волн, исходящих из каждой зоны.

Обратим ваше внимание на множитель (-l)m+1 в формуле (1.29) для напряженности поля волны, излучаемой одной зоной Френеля. Для нечетных степеней m он равен +1, а для четных он равен —1. С учетом этого, а также формулы (1.29) выражение (1.30) можно переписать так:

Рассмотрим сумму в скобках в (1.31). Коэффициенты К,п для соседних зон незначительно отличаются друг от друга, поэтому с достаточно высокой степенью точности можно считать, что

Сумму в скобках в выражении (1.31) теперь можно переписать так:

Если принять во внимание (1.32), то выражения в квадратных скобках будут равны нулю. Таким образом, если в отверстии помещается ш зон Френеля, то в сумме остаются только первое и последнее слагаемые, соответствующие первой зоне Френеля и зоне с номером ш.

В формуле (1.33) знак «+» соответствует нечетным числам ш, а знак «—» соответствует нечетным. При полностью открытом волновом фронте можно считать, что в этой формуле ш —> со. В этом случае Ет(Р)=0, потому что входящий в выражение (1.29) коэффициент К(]/) для угла / = тс/2 равен нулю и в этом случае

Интенсивность излучения пропорциональна квадрату напряжённости поля в волне

Знак «минус», как и в (1.33), соответствует четным числам ш, а плюс - нечетным. При полностью открытом волновом фронте интенсивность излучения в точке Р

где I!(Р) - интенсивность, создаваемая только одной центральной зоной Френеля. В результате наложения волн излучение, исходящее из всех зон, кроме первой в точке наблюдения не дает вклада в суммарную освещенность.

Выводы

1. В случае дифракции сферической световой волны на отверстии освещенность в точке наблюдения зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии, и определяется по формуле:

где Е[(Р) и Ет(Р) - амплитуды волн, излучаемых зонами Френеля под номерами один и ш. Зона с номером ш - последняя из укладывающихся в отверстии. Знак «+» соответствует четному номеру ш, знак «—» — нечетному.

2. В случае дифракции сферической световой волны на отверстии освещенность в точке наблюдения при одной открытой зоне Френеля в 4 раза больше, чем при полностью открытом волновом фронте.

Контрольные вопросы

  • 1. При дифракции сферической волны на отверстии открыты ш зон Френеля. Сравните освещенность в центре дифракционной картины с освещенностью при полностью открытом волновом фронте (при отсутствии преграды). Ответ дайте для значений m = 2. m = 3, m~4 и m = 5.
  • 2. Какой будет освещенность центра дифракционной картины, если при дифракции сферической волны на пути волны поставить сложную преграду, закрывающую зоны Френеля с нечетными номерами и оставляющую открытыми зоны с четными номерами?
  • 3. Какой будет освещенность центра дифракционной картины, если при дифракции сферической волны на пути волны поставить сложную преграду, закрывающую зоны Френеля с четными номерами и оставляющую открытыми зоны с нечетными номерами?
  • 4. Для чего можно использовать сложные преграды, описанные во втором и третьем вопросах?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>