Дифракция плоской волны на периодической структуре

Явление дифракции параллельных пучков света можно наблюдать не только на малых отверстиях, но и на специально изготовленных дифракционных решетках. В этом случае дифракционная картина также представляет собой чередующиеся светлые и темные пятна, но выглядит намного более яркой и наглядной, так как максимумы и минимумы располагаются на гораздо больших расстояниях друг от друга.

Дифракционная решётка - совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (канавок, щелей, выступов), нанесённых на плоскую или сферическую поверхность. Существуют различные виды дифракционных решеток. В большинстве случаев световые волны испытывают дифракцию при прохождении дифракционной решетки, но существуют и такие дифракционные решетки, в которых дифракционная картина наблюдается при отражении световых волн. Так, радужная окраска, возникающая при освещении белым светом компьютерного CD-диска, объясняется дифракцией отраженного от диска света. В качестве дифракционной решетки в этом случае следует рассматривать миниатюрные канавки на поверхности диска. Качество дифракционных решеток определяется числом штрихов (непрозрачных частей) на миллиметр длины решетки. Чем больше штрихов приходится на 1 мм длины решетки, тем качественнее будет дифракционная картина, полученная с ее помощью. Важной характеристикой дифракционной решетки является период дифракционной решетки.

Период дифракционной решётки - наименьшая часть решётки, перемещая которую, можно воспроизвести всю решётку. Для плоской одномерной дифракционной решётки длина периода равна

где b - ширина отверстия, h - ширина штриха (рис. 8). Величина периода дифракционной решётки связана с числом нанесённых на неё штрихов соотношением

где N - число штрихов, приходящихся на единицу длины решетки. На рис. 8 изображен фрагмент дифракционной решетки, с помощью которой можно наблюдать дифракцию проходящих световых волн.

Плоская волна падает на дифракционную решетку

Рис. 8. Плоская волна падает на дифракционную решетку

Сформулируем задачу, которую нам предстоит решить. На дифракционную решётку падает плоская монохроматическая световая волна (волновой фронт - плоскость). Известна длина волны X, размер отверстий Ь, период решётки d, расстояние до экрана L. Требуется определить, как распределена интенсивность излучения по направлениям или на экране.

Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо просуммировать вклады в интенсивность результирующей волны, исходящей из всех точечных источников, расположенных во всех щелях дифракционной решётки. Всю процедуру вывода формулы для интенсивности излучения в зависимости от направления можно разделить на четыре этапа. Во- первых, нам нужно будет записать уравнение волны, излучаемой одним точечным источником. Во-вторых, записать уравнение волны, излучаемой всеми точечными источниками одной щели. В-третьих, записать уравнение волны, излучаемой всеми щелями дифракционной решётки. И, наконец, в-четвертых, нам нужно будет получить и исследовать выражение для суммарной интенсивности излучения по заданному направлению.

На рис. 9 показана часть плоской дифракционной решетки, на которую падает плоская волна. Ось ОХ направлена вдоль решетки, dx - длина произвольного элементарного отрезка волнового фронта, лежащего внутри одного из отверстий решетки. Такой элементарный отрезок будем считать точечным источником волн. Рассмотрим волны, излучаемые всеми точечными источниками в произвольном направлении, составляющем угол с перпендикуляром к решетке. На рис. 9 b - ширина отверстия решетки; d - период решетки; А - разность хода между лучами, исходящими из двух соседних отверстий решетки в направлении, определяемом углом (р.

Разность хода между волнами, исходящими из различных точек плоского волнового фронта при дифракции на решетке

Рис. 9. Разность хода между волнами, исходящими из различных точек плоского волнового фронта при дифракции на решетке

Уравнение волны, излучаемой одним произвольным точечным источником. От элемента dx, расположенного в щели номер п в направлении, определяемом углом (р, распространяется волна. Волна, исходящая из элемента dx, расположенного в щели номер п, запаздывает по сравнению с волной, вышедшей из крайней левой щели, из точки с координатой х = 0. Запаздывание связано с тем, что волна из отверстия номер п должна пройти дополнительное расстояние по сравнению с волной, исходящей из крайнего левого отверстия. Разность хода между волнами, исходящими из крайней левой точки одного отверстия и произвольной точки в соседнем отверстии (рис. 9) равна

Разность хода между волнами, исходящими из крайней левой точки решетки и произвольной точки в отверстии номер п будет следующей:

Поэтому фаза волны, исходящей из элемента dx, расположенного в щели номер п, отличается от фазы волны, вышедшей из точки х = 0, на величину

х - координата элемента dx, относительно начала щели.

Пусть Е0 - амплитуда волны, испущенной из всего отверстия номер п в рассматриваемом направлении, тогда амплитуда волны, испущенной с участка dx, будет

Уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении можно записать так:

Уравнение волны, излучаемой всеми точечными источниками одной щели. Эта волна есть сумма волн, идущих от точечных источников, принадлежащих одной щели номер п. Интегрирование проведем в пределах от 0 до Ь, что соответствует суммированию волн, исходящих от источников, расположенных в одной щели.

Преобразуем полученное выражение к симметричной, а затем и к действительной форме записи, которая более удобна для анализа полученного результата.

где мы ввели обозначение (1.7), уже использовавшееся ранее,

Уравнение волны, излучаемой всеми точечными источниками одной щели, можно теперь записать так:

Формула (1.11) описывает напряженность электрического поля плоской волны, излученной всем отверстием номер п в направлении, определяемом углом ср.

Уравнение волны, излучаемой в заданном направлении всеми точечными источниками всех щелей. Такая волна представляет собой суперпозицию волн, идущих от всех щелей. Обозначим амплитуду такой волны Ег Здесь п - номер щели, N - полное число щелей дифракционной решётки.

Вычислим отдельно сумму, входящую в эту формулу.

Для этого сначала вспомним, что волновое число к можно выразить через длину волны Я:

Выражение, стоящее в показателе экспоненты, запишем теперь так:

Введём обозначение:

Тогда

Перепишем выражение для суммы в явном виде

Как видно из последней формулы, Sn - частичная сумма геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии

Частичная сумма геометрической прогрессии со знаменателем q вычисляется по формуле

Подставим в (1.14) выражение для знаменателя прогрессии (1.13) и получим

Таким образом, уравнение волны, излучаемой всеми точечными источниками всех щелей в направлении, определяемом углом

Отметим, что для вычисления напряженности электрического поля волны, исходящей из всех отверстий решетки, мы вычислили сумму напряженностей волн, исходящих из N щелей. Число N хотя и большое число, но конечное. Процедура вычисления этой суммы отличается от той, что мы применяли для суммирования вкладов от волн, исходящих из отдельных точек волнового фронта, принадлежащих одному отверстию. Точек-источников волн в отверстии бесконечно много, и применяя принцип Гюйгенса-Френеля, мы вычисляли интеграл по всей длине отверстия. В данном случае вместо интеграла пришлось вычислять частичную сумму геометрической прогрессии. Эти математические различия отражают важный факт: суммируя вклады от различных отверстий решетки, мы имеем дело не с явлением дифракции, а с явлением многолучевой интерференции волн, исходящих из различных щелей решетки.

Интенсивность излучения, испущенного из всей решётки в рассматриваемом направлении, определяется квадратом амплитуды

Вычислим квадрат модуля комплексного числа, входящего в формулу (1.15) для напряженности электрического поля волны, испускаемой всей решеткой в направлении, определяемом углом

Преобразуем числитель дроби

Знаменатель,

Теперь можно записать:

Теперь мы можем записать уравнение, определяющее распределение интенсивности излучения от решетки по направлениям:

где

sin2 U

В формуле (1.16) функция --— характеризует распределение ин-

U"

тенсивности излучения в результате дифракции на одной щели. Функция

sin2 (N?)

-——— характеризует распределение интенсивности излучения в

sin'(?)

результате интерференции пучков, исходящих из различных щелей. Рассмотрим поведение этих функций при различных значениях их аргументов и и S. В конечном счете величины этих аргументов, согласно формулам (1 .7) и (1.12), определяются значениями угла дифракции (р.

Начнем с первой функции в формуле (1.16):

Эта функция описывает распределение интенсивности излучения в результате дифракции света на одном отверстии. Поведение этой функции при различных значениях аргумента и было исследовано при рассмотрении вопроса о дифракции на отверстии (см. [1], подразд. 1.5). График функции приведен на рис. 7. Она имеет максимумы при

и минимумы при

Рассмотрим поведение функции, описывающей результаты интерференции пучков, исходящих из различных отверстий:

Из математического анализа известно, что

Величины sin(c>) и sin(N^) в формуле (1.19) стремятся к нулю при 8 = nvr, (ш - целое число). Эти значения являются максимумами функции 2(р. При

8 —>0 2<р = N2, где N - число щелей дифракционной решётки, которое обычно очень велико. График зависимости 2(р от аргумента 8 приведен на рис. 10. Определим значения углов дифракции , соответствующие этим значениям аргумента 8. Эти значения будут соответствовать максимумам освещенности при дифракции на решетке. Согласно принятому ранее обозначению (1.12)

где m - целое число. Отсюда

Максимумы интенсивности излучения, возникающие при выполнении условия (1.20), называются главными максимумами.

Остальные максимумы интенсивности излучения (см. рис. 10) называются побочными максимумами. Побочные максимумы возникают, когда

sin ( Nc>) 0, но, в то же время sin ^ 0.

Распределение интенсивности излучения по направлениям в результате многолучевой интерференции

Рис. 10. Распределение интенсивности излучения по направлениям в результате многолучевой интерференции

Перечислим условия наблюдения всех максимумов. Условия наблюдения главных максимумов выделены жирным шрифтом:

Nд = 0, лг, 2я, ..., (N-I)tt, Njt, (N+1 )тг, .... (2N-1)tc, 2Nn, (2N+ )к, ...

Результирующая интенсивность является произведением двух функций:

На рис. 11 показаны графики зависимостей функций 11?) и 2(р от аргумента 8 для соотношения между периодом дифракционной решетки и шириной щели d = 4Ь. Верхний график показывает зависимость результирующей интенсивности излучения после дифракции на дифракционной решетке, средний и нижний графики показывают, как изменяются Х(р и 2(р в формуле (1.16) в зависимости от 8 для случая d = 4Ь. Как видно из рисунка, положение главных максимумов определяется функцией 2q), которая описывает результат многолучевой интерференции пучков, исходящих из различных отверстий решетки. Интенсивность излучения в главных максимумах определяется функцией которая описывает процесс дифракции на одном отверстии. Положение главных дифракционных максимумов при дифракции света на решетке определяется формулой (1.20).

Распределение интенсивности излучения по направлениям при дифракции Фраунгофера на решетке

Рис. 11. Распределение интенсивности излучения по направлениям при дифракции Фраунгофера на решетке

Выводы

  • 1. Распределение интенсивности излучения при дифракции монохроматической волны на периодической структуре можно представить как результат двух процессов: 1) дифракции волны на отверстии, 2) интерференции пучков, исходящих из всех отверстий.
  • 2. Положение главных дифракционных максимумов определяется интерференцией пучков, исходящих из разных отверстий решётки. Условие наблюдения главных максимумов

d sin = тЛ.

3. Интенсивность главных максимумов определяется как процессом дифракции на отдельном отверстии, так и процессом интерференции волн, исходящих из всех отверстий.

Контрольные вопросы

  • 1. Запишите формулу, из которой можно найти, под каким углом наблюдается дифракционный минимум порядка m при дифракции Фраунгофера на отверстии? Диаметр отверстия равен Ь. Длина волны излучения X.
  • 2. Пусть N - число штрихов дифракционной решетки, приходящееся на 1 мм ее длины. Как найти период d этой дифракционной решетки?
  • 3. Какие физические процессы определяют распределение интенсивности, наблюдаемое в результате дифракции Фраунгофера на периодической структуре (решетке)?
  • 4. Какой физический процесс определяет положение главных максимумов освещенности, наблюдаемое в результате дифракции Фраунгофера на периодической структуре?
  • 5. Запишите формулу, из которой можно найти, под каким углом наблюдается главный дифракционный максимум порядка m при дифракции Фраунгофера на решетке. Период решетки равен d. Длина волны излучения X.
  • 6. Запишите формулу, из которой можно найти, под каким углом наблюдается главный дифракционный минимум порядка m при дифракции Фраунгофера на решетке. Период решетки равен d. Длина волны излучения X.
  • 7. Укажите порядки главных максимумов, которые не могут наблюдаться на дифракционной решетке с периодом 12 мкм и шириной одной щели 4 мкм.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >