Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифракция плоской волны на отверстии. Количественная теория

Количественная теория

В предыдущем параграфе мы с помощью метода зон Френеля объяснили возникновение светлых и темных областей в дифракционной картине, полученной при падении параллельного пучка света на малое отверстие, и даже указали, в каких местах будут наблюдаться светлые полосы, а в каких - темные. Для получения более полной информации о распределении интенсивности света на экране нам потребуется просуммировать вклады от волн, исходящих из всех точек открытой части волнового фронта. Сформулируем решаемую задачу.

Пусть на отверстие падает плоская монохроматическая волна (волновой фронт - плоскость). Известна длина волны X, размер отверстия b и расстояние до экрана L. Требуется определить, как распределена интенсивность излучения на экране. Для этого достаточно определить распределение интенсивности излучения по направлениям после прохождения отверстия.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждая точка волнового фронта является источником сферических волн, колебания в которых происходят с той же частотой, что и исходные волны и распространяющихся с той же скоростью. В нашем случае источником сферических волн является открытая часть волнового фронта, попадающая в отверстие.

Рассмотрим участок отверстия длиной dx, расположенный на расстоянии х от его края (рис. 6). Ось ОХ на рисунке проходит по краю отверстия. Начало отсчета находится у левого края отверстия. Волны, излучённые с произвольного отрезка волнового фронта dx, распространяются по всем направлениям. Угол (р, образуемый направлением излучения волны (луч OZf на рисунке) с перпендикуляром к плоскости отверстия (ось OZ на рисунке), изменяется в пределах от -я/2 до +тг/2 (-ж/2 < ф < тг/2). Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль прямой, образующей угол с перпендикуляром к преграде. Вклад в излучение по этому направлению дают все элементарные отрезки волнового фронта. Суммарную амплитуду колебаний напряженности электрического поля в световой волне, распространяющейся по этому направлению, найдем, складывая напряженности электрического поля волн, исходящих из всех точек открытой части волнового фронта.

Волны, излучённые с отрезка dx, по сравнению с волнами, излученными из крайней точки отверстия, запаздывают по фазе на

1 со

где К =--волновое число (модуль волнового вектора).

V

Запишем уравнение волны, испущенной с произвольного участка dx в направлении луча QiZJ . Если Е0 - амплитуда волны, испущенной из всего отверстия в этом направлении, то амплитуда волны, испущенной с участка dx равна

Разность хода между волнами, исходящими из различных точек плоского волнового фронта

Рис. 6. Разность хода между волнами, исходящими из различных точек плоского волнового фронта

Уравнение волны, испущенной с участка dx в направлении, определяемом углом (р, запишем в комплексной форме

Волна Еv, испущенная из всего отверстия в рассматриваемом направлении является суммой волн, излученных всеми точками той части волнового фронта, которая попала в отверстие, поэтому

Так как интегрирование производится по переменной х, множитель, зависящий от времени, можно вынести из-под знака интеграла. Затем возьмем интеграл и подставим значения подынтегральной функции на верхнем и нижнем пределах:

Преобразуем полученное выражение к симметричной форме. Это позволит в дальнейшем перейти к действительной форме записи, более удобной для анализа и сравнения с тем, что наблюдается в эксперименте. Для этого преобразуем дробь в полученном выражении.

Для упрощения записи мы ввели обозначение

Величина и постоянна для направления, определяемого углом ср. Далее преобразуем (1.6) к действительной форме

Теперь уравнение волны, испущенной из всей щели в направлении, образующим угол с перпендикуляром к отверстию:

Интенсивность излучения, испущенного из всей щели в рассматриваемом направлении, определяется квадратом амплитуды этой волны

Так как частота колебаний световой волны очень велика, наблюдать можно только среднее значение интенсивности. Усреднение следует производить по времени, многократно превышающем период колебаний напряженности электрического поля в световой волне. От времени в (1.8) зависит только множитель

Он является гармонической функцией. Вопрос о среднем значении квадрата гармонической функции был подробно рассмотрен в связи с вычислением средней освещенности в первой части нашего пособия (см. [1], подразд. 1.5). Среднее значение освещенности равно средней мощности излучения, падающей на единицу площади освещаемой поверхности. Оно пропорционально квадрату амплитуды световой волны. Поэтому можно считать, что величину освещенности, наблюдаемой в направлении, определяемом углом ф, можно выразить как

где U =к — sinfi?.

2

Исследуем полученную зависимость. Когда и стремится к нулю,

Это — максимальное значение функции. При возрастании модуля и функция будет убывать. Это убывание не будет монотонным вследствие осцилляций числителя. Теперь можно определить, при каких значениях угла дифракции наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности излучения.

Распределение интенсивности по направлениям при дифракции Фраунгофера на отверстии

Рис. 7. Распределение интенсивности по направлениям при дифракции Фраунгофера на отверстии

Функция

имеет локальные минимумы при условии

sinu = 0.

Это возможно, если

Подставляя выражение для величины и, получим

откуда условие наблюдения минимума освещенности можно записать так:

Это условие совпадает с аналогичным условием (1.2), полученным с помощью метода зон Френеля.

Функция

имеет локальные максимумы (кроме центрального) при условии Это возможно, если

и подставляя выражение для величины и, получаем

Отсюда получаем условие наблюдения максимума освещенности при дифракции плоской волны на отверстии.

Это условие также совпадает с выражением (1.1), полученным с использованием метода зон Френеля.

Точный расчёт позволяет определить значения интенсивности для произвольного угла дифракции. Для этого нужно использовать формулу (1.7).

Выводы

  • 1. Суммирование вкладов от всех источников излучения, попадающих в открытую часть волнового фронта, дает такие же условия наблюдения дифракционных максимумов при дифракции плоской волны на отверстии, что и применение метода зон Френеля.
  • 2. При дифракции плоской волны на отверстии дифракционные максимумы освещенности можно обнаружить при наблюдении под углами т, определяемыми выражением

где b - размер отверстия, Я - длина волны света, ш - целое число.

3. При дифракции плоской волны на отверстии дифракционные минимумы освещенности видны при наблюдении под углами т. определяемыми выражением

где b - размер отверстия, Я - длина волны света, m - целое число.

Контрольные вопросы

  • 1. Какие фундаментальные физические принципы и какие свойства электромагнитных волн использовались при расчете распределения интенсивности излучения, возникающего в случае дифракции плоской волны на отверстии?
  • 2. Имеется круглое отверстие в непрозрачной преграде, на которую падает монохроматическая световая волна от удаленного точечного источника. За отверстием расположен экран. Что будет происходить с интенсивностью в центре наблюдаемой на экране дифракционной картины, если экран удалять от преграды?
  • 3. Свет от удаленного монохроматического точечного источника падает на круглый небольшой непрозрачный диск или шарик. На расстоянии Z от него находится экран. Расстояние Z велико по сравнению с диаметром диска или шарика, так что последний закрывает лишь несколько зон Френеля. Возможно ли, чтобы в таких условиях в центре геометрической тени, полученной на экране, наблюдалось светлое пятно?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>