РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ НЕРАЗРЕЗНОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ МЕТОДОМ СИЛ

Неразрезными называются балки, имеющие два или более пролетов и не имеющие промежуточных разрезов и шарниров. Такие балки широко применяются в различных конструкциях гидротехнических сооружений (рис. 5.1, а, б) и являются статически неопределимыми. В гидротехническом строительстве применяются неразрезные балки из железобетона, стали и дерева. Расчет их производится по упругой стадии и с учетом пластических деформаций. При расчете балочных мостовых переездов через реки и водотоки на действие неподвижных и подвижных нагрузок в некоторых случаях появляется необходимость учета упругих осадок опор [11, 18].

Рис. 5.1

Статически неопределимой называют балку, в которой для определения опорных реакций и внутренних усилий недостаточно только уравнений равновесия. Для расчета таких балок составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации конструкции.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Степень статической неопределимости балки п определяется как разность между числом связей и числом уравнений равновесия.

Основная система (рис. 5.2, б) — статически определимая, геометрически неизменяемая конструкция, полученная из заданной СНС (рис. 5.2, а) введением шарниров над всеми промежуточными опорами и в защемляющих опорах. «Лишние» неизвестные - изгибающие моменты в опорных сечениях балки.

Рис. 5.2

Эквивалентная система (рис. 5.2, в) представляет собой ряд однопролетных шарнирно-опертых балок, находящихся под действием заданной нагрузки и неизвестных изгибающих моментов Х,Х₂, ...,Х„, приложенных в сечениях, где установлены шарниры.

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА БАЛОК МЕТОДОМ СИЛ

Определение числа неизвестных при расчете статически неопределимых балочных конструкций методом сил

В общем случае для балки можно составить три уравнения равновесия: IX = 0; IY = 0; IM_t = 0. Обозначим число опорных связей С₀. Тогда степень статической неопределимости балочной конструкции определим из выражения n_st= С₀- 3.

Канонические уравнения для расчета статически неопределимых систем на действие внешних нагрузок методом сил

Для составления канонических уравнений рассмотрим эквивалентную систему (см. рис. 5.1, в) и применим принцип независимости действия сил. Запишем величину полного перемещения в направлении j как сумму перемещений в том же направлении от действия опорных изгибающих моментов Х, Х₂, ..., Х„ и внешней нагрузки, приложенной к конструкции:

Подберем моменты Х_и Х₂, ..., Х_п так, чтобы перемещения сечений ЭС в направлении опорных изгибающих моментов были такими же, как и в заданной конструкции, т.е. отсутствовали:

Представим каждое перемещение в виде

где 6,1, ..., b_jn — перемещения в направлении j от сил соответственно Х — 1, ..., Х_п = 1, приложенных в ОС. Тогда получим систему п линейных уравнений

Систему канонических уравнений (5.1) запишем в матричной форме:

Здесь обозначены:

5ц 5₁₂...5_1п б₂₁ 5₂₂...5₂„

И = ............... — матрица податливости конструкции;

5„, б_п2...5„„

X = colon [Х_], Х₂, • • •, Х_п ] — матрица-столбец неизвестных;

A_F = colon[A_1F, A_2F, •••, A„_f] — матрица-столбец свободных членов. Полученные результаты совершенно идентичны найденным в гл. 4.

Коэффициенты при неизвестных канонических уравнениях (5.1) 5_ju представляют собой перемещения, вычисляемые по

формуле Мора:

Напомним, что эпюра М: строится в ОС от изгибающего момента Xj= 1, а эпюра М_и — от изгибающего момента Х_и = 1. Заметим, что перемещения 5jj (главные перемещения) не могут

быть отрицательными числами, а также быть равными нулю, так как определяются из выражения

По теореме о взаимности перемещений

Свободные члены системы канонических уравнений (5.1) определяем по формуле

где M_F — эпюра изгибающих моментов, построенная в ОС от внешней нагрузки.

Для вычисления перемещений b_ju и A_jF разобьем схему балки на т участков так, чтобы на каждом из них функции М. и M_F были непрерывны, а жесткости — постоянны. Пронумеруем узлы конструкции цифрами 1, 2, 3таким образом, чтобы возрастание чисел было слева направо. За начало элемента принимаем узел с меньшим номером. Элементы конструкции нумеруем цифрами в кружках: Ф, ©,..., т .

Вычисление единичных и грузовых перемещений

Перемещения A_jF, 8_ju в неразрезных балках, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно вычислить по формулам:

которые ничем не отличаются от формул (4.3) и (4.4).

Напомним, что перед «перемножением» эпюр заданную балку нужно разбить на т участков (элементов), в пределах которых эпюры изгибающих моментов непрерывны, а поперечные сечения имеют постоянную по длине элемента жесткость.

Правило знаков. Если ординаты эпюр а, с, b и a_j,c_j,b_j,a_u,c_u,b_u (см. рис. 4.7) лежат по одну сторону от осей, то результат вычисления по формулам (5.2) и (5.3) положителен.

Подставим найденные значения перемещений b_ju и A_jF в систему уравнений (5.1) и определим «лишние» неизвестные Х,Х₂,

Построение результирующих эпюр изгибающих моментов и поперечных сил в заданной балке

Изгибающие моменты в поперечных сечениях статически неопределимой неразрезной многопролетной балки находим, суммируя ординаты грузовой эпюры M_F, построенной в ОС, с ординатами единичных эпюр М_j, умноженными на найденные значения неизвестных X/.

Для построения эпюры поперечных сил рассчитываем простые шарнирно опертые балки, находящиеся под действием заданной нагрузки и найденных опорных изгибающих моментов М, М₂ и М₃.

Проверку правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов (кинематическую проверку) выполним по выражению

т.е. проверим, выполняются ли для ЭС условия равенства нулю перемещений A,,A₂,...,A_m в направлении действия опорных изгибающих моментов. Кроме того, надо проверить равновесие заданной балки в целом (статическая проверка).