Полная версия

Главная arrow Строительство

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ

Далее приведены примеры расчета статически неопределимых плоских рам по методу сил на различные воздействия: силовая нагрузка, температура, смещение опор.

Расчет статически неопределимой рамы на силовую нагрузку

Требуется рассчитать раму, представленную на рис. 4.8, при заданном соотношении изгибных жесткостей стоек и ригеля / = /ст.

Рис. 4.8

Подсчитаем степень статической неопределимости. В шарнирно-неподвижной опоре А возникают две неизвестные по величине составляющие опорной реакции, в шарнирно-подвижной опоре С — одна неизвестная по величине реакция, а в жесткой заделке О — три составляющие реакции: горизонтальная и вертикальная силы и реактивный момент. Таким образом, неизвестных усилий шесть, а для плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия.

Для определения неизвестных усилий недостает три уравнения, т.е. три реакции являются «лишними», поэтому степень статической неопределимости данной рамы равна 3. Этот же результат получим, если воспользуемся формулой (4.1):

Выбираем основную систему, убрав в заданной системе столько связей, какова степень статической неопределимости, т.е. три связи.

В рассматриваемой задаче возможны различные варианты основной системы, некоторые из них представлены на рис. 4.9.

Рис. 4.9

Эквивалентную систему получим из основной системы путем загружения последней всей внешней нагрузкой и неизвестными усилиями, приложенными по направлению отброшенных связей. Нумерация неизвестных усилий произвольная.

Эквивалентные системы для основных систем, представленных на рис. 4.9, показаны на рис. 4.10.

Значения неизвестных усилий, при которых НДС рамы в заданной системе ничем не отличается от НДС рамы в эквивалентной системе, и будут решениями задачи.

Так как в процессе решения задачи методом сил нужно строить в ОС эпюры изгибающих моментов от действия единичных усилий по направлению отброшенных связей и отдельно — от действия внешней нагрузки, то основные затраты времени зависят от того, насколько удачно выбрана ОС.

Рис. 4.10

Например, при построении эпюр изгибающих моментов в основной системе (см. рис. 4.9, а) реакции в жесткой заделке можно не определять, в то время как для ОС (см. рис. 4.9, б, в, г) опорные реакции нужно находить. С другой стороны, в последних ОС изгибающие моменты в шарнирах должны равняться нулю (или единице, если вблизи (возле) шарнира приложен внешний единичный момент).

Чтобы построить эпюры изгибающих моментов в ОС от действия единичных усилий и от внешней нагрузки, нужно фактически решить nst+1 раз (nst — степень статической неопределимости) задачу нахождения внутренних усилий в статически определимой раме.

Покажем порядок решения на примере схемы рис. 4.10, в.

Строим эпюры в единичных и грузовом состояниях ОС. Пояснения к нахождению изгибающих моментов от действия сосредоточенной силы Х = 1 представлены на рис. 4.11. Рама имеет четыре грузовых участка: АВ - I, ВС - II, BD - III, DO - IV. Для получения аналитических выражений изгибающих моментов на каждом участке определим опорные реакции Уы, Ую, Hw, Що-

Рис. 4.11

Н0 найдем из условия равенства нулю суммы проекций на горизонтальную ось всех сил, приложенных к ОС:

VA найдем из условия отсутствия изгибающего момента в шарнире D от действия всех сил, лежащих левее этого шарнира:

V о определим из условия равенства нулю проекций всех сил на вертикальную ось:

Рис. 4.12

Реактивный момент М10 находим из условия равновесия системы сил относительно точки О:

Изгибающие моменты на каждом грузовом участке будем находить при помощи метода сечений, рассматривая более простую отсеченную часть стержневой системы.

Проведем сечение 1-1 на первом грузовом участке (АВ) и рассмотрим нижнюю отсеченную часть (рис. 4.12). Пунктиром обозначим предполагаемую растянутую зону стержня от действия момента Мп.

Внутренние усилия Мп, Qu, N можно найти из условия равновесия участка рамы длиной Z. Поскольку нас интересует только эпюра изгибающих моментов, выкладки, касающиеся определения поперечной силы Q и продольной силы N, будем опускать.

I участок. О < Z < 6 м. Изгибающий момент Мп найдем из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно центра тяжести проведенного сечения (в этом случае неизвестные усилия Nu и Qw не входят в уравнение равновесия):

Значения момента получаются положительные — положение растянутой зоны стойки АВ определено верно.

График полученной линейной зависимости Ml 1 от Z1 строим на растянутой стороне стержня по точкам:

II участок. О < Z2 < 5 м. Для определения изгибающего момента на втором участке (СВ) проводим сечение 2-2. Поскольку на отсеченную часть основной системы (рис. 4.13) не действуют никакие внешние силы, то и внутренние усилия в ее сечениях возникать не будут, т.е.

Рис. 4.13

На III участке (BD) проведем сечение 3-3 и рассмотрим левую отсеченную часть основной системы (рис. 4.14). Условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно центра тяжести сечения дает

Рис. 4.14

На всем отрезке 0 < < Z3 < 12м растянутое волокно будет верхним, и для построения эпюры момента остается лишь по точкам М3](0,0 м) = 6 и Мъ 1 (12,0 м) = 0 провести прямую линию. Определим значение изгибающего момента посередине М31(6,0 м) = 3.

IV участок. 0 < Z4 < 6 м. Для определения изгибающего момента на последнем, четвертом, участке проводим на стойке DO сечение 4-4 и рассматриваем нижнюю отсеченную часть (рис. 4.15). Уравнение равновесия сводится к виду:

Рис. 4.15

На левой (растянутой) стороне стержня DO строим по найденным двум точкам эпюру моментов м, (рис. 4.16, а).

Для проверки правильности построенной эпюры рассмотрим равновесие узла В и шарнира D. Вырежем узел В и приложим к бесконечно малым отрезкам стержней BD, АВ и ВС действующие в них около узла В изгибающие моменты (рис. 4.16, б). На отрезок стержня АВ момент должен действовать против часовой стрелки, так как согласно эпюре растянутой зоной будет левая сторона стержня. На отрезок стержня ВС момент не действует, на отрезок стержня BD момент должен действовать по часовой стрелке, чтобы растянутым было верхнее волокно.

Рис. 4.16

В результате = -6 + 6 = 0 5 т.е. узел В находится в равновесии.

В шарнире D момент должен быть равен нулю, и это подтверждается полученной эпюрой (рис. 4.16, а).

Переходим к определению изгибающих моментов М2 от действия силыХ2 = 1 (рис. 4.17).

Рис. 4.17

Составляя уравнения равновесия, описывающие равенство нулю момента в шарнире D от сил, действующих на левую часть рамы, сумм проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси и суммарного момента всех сил относительно точки О, найдем опорные реакции:

Проводя рассуждения, аналогичные сделанным при построении эпюры м,, находим аналитические выражения для изгибающих моментов на четырех грузовых участках рамы, представленной на рис. 4.17 (на участке BD значения изгибающего момента нужно находить в трех точках).

I грузовой участок - ЛВ (рис. 4.18, а). Реакция V2a действует вдоль оси стержня, поэтому М2 = 0.

II грузовой участок - СВ (рис. 4.18, б).

Рис. 4.18

На эпюре Щ (рис. 4.19) полученный результат изобразится треугольником, отложенным слева от стойки ВС.

III грузовой участок - BD:

Так как М32 < 0, растянутые волокна неверно указаны пунктиром, и эпюра М32 будет представлять собой треугольник, расположенный на нижней стороне ВС (на растянутом волокне).

IV грузовой участок (рис. 4.18, г):

Рис. 4.19

Соответствующая часть эпюры моментов М2 будет треугольником, отложенным влево от стойки OD. Эпюра м2 изображена на рис. 4.19, а.

Для проверки полученной эпюры вырежем узел В (рис. 4.19, б). Сумма моментов, действующих в этом узле, 5 - 5 = = 0. Поэтому узел В находится в равновесии.

Для построения эпюры рассмотрим схему загружения, представленную на рис. 4.20, а. Определяем опорные реакции:

На I грузовом участке изгиба нет, так как единственная здесь действующая внешняя сила Уза центрально сжимает стойку АВ.

На II грузовой участок не передается действие никаких внешних сил, поэтому изгибающий момент здесь также равен нулю.

Рис. 4.20

Проведем сечение на III грузовом участке (отсеченная часть изображена на рис. 4.21, б).

Отрицательные значения изгибающего момента свидетельствуют о том, что растянутая зона будет не вверху, как предполагалось, а внизу ригеля BD. Эпюра М3 на этом участке изобразится треугольником, построенным снизу стержня BD.

Для составления аналитического выражения изгибающего момента на IV грузовом участке рассмотрим рис. 4.17, г (и соответствующие ему формулы), если мысленно заменить второй числовой индекс 2 у обозначений усилий на 3. Получим:

Этот участок эпюры изобразится прямоугольником, отложенным влево от стойки OD. Эпюра Мъ представлена на рис. 4.21, а.

Рис. 4.21

Так как в узле В нет изгибающего момента, остается проверить равновесие шарнира D (рис. 4.21, б):1 + 1-1-1=0.

Переходим к построению грузовой эпюры метода сил, т.е. эпюры изгибающих моментов, получаемых от загружения ОС только внешней нагрузкой (рис. 4.22, а).

Определяем опорные реакции:

На I и IV грузовых участках действуют только осевые сжимающие усилия VFA и VF0 соответственно, поэтому изгибающий момент на этих участках равен нулю. На II грузовой участок не передается действие никаких сил, следовательно, изгибающий момент здесь также равен нулю.

Проводим сечение на III грузовом участке (рис. 4.22, б)

Рис. 4.22

Слагаемое -q-z3z3j2 представляет собой изгибающий момент от распределенной нагрузки, равнодействующая которой на участке длиной z3 есть qz3, плечом равнодействующей до сечения является z3/2.

Изгибающий момент изображается кривой второго порядка. Определим значение момента М3/г в трех точках:

Эпюра будет построена на нижней стороне ригеля BD по полученным трем точкам (рис. 4.23). В узле В и шарнире D изгибающие моменты равны нулю.

Студенты, имеющие достаточные навыки в построении эпюр изгибающих моментов в статически определимых балках и рамах, могут довольно быстро построить эпюры изгибающих моментов для любой из приведенных на рис. 4.9 основных систем.

Определяем по формуле (4.4) перемещения в ОС в направлениях j = 1,2, ..., п от силД, = 1 (и =1, 2, ..., п).

Рис. 4.23

Вычисляем по формуле (4.3) перемещения в ОС в направлениях j от внешней нагрузки:

Определяем значения «лишних» неизвестных, подставив найденные значения перемещений в уравнения системы (4.2)

Эпюры от действия Х> Х2 и Хъ представлены на рис. 4.23. Результирующая эпюра изгибающих моментов, ординаты которой определяем из выражения М= М{ + М2 + М3 + MF, полученного на основании формулы (4.5), представлена на рис. 4.24.

Рис. 4.24

Кинематическая проверка решения задачи

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>