АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗУБЦОВОМ ДЕЛЕНИИ МАССИВНОГО ЗУБЧАТОГО РОТОРА

ANALYTICAL MODELING OF ELECTROMAGNETIC FIELD DISTRIBUTION

ON THE PERFORATED DIVIDING THE MASSIVE ROTOR GEAR

Филонов C.A., к.т.н., доцент ФГБОУ ВО «Воронежский государственный аграрный университет

имени императора Петра I» г. Воронеж, Россия Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script DOI: 10Л2737/16246

Аннотация: Изложены базовые положения совмещённой методики расчёта теплового и электромагнитного полей вентиляционного и насосного оборудования, полученной на основе метода конечных элементов.

Summary: It sets out the basic principles of modern methods of calculation of heat and electromagnetic field of ventilation and pumping equipment produced by the finite element method.

Ключевые слова: массивный ротор, зубчатый массив, метод конечных элементов, расчет электромагнитного поля.

Keywords: massive rotor, gear massive, finite elements method, calculation of an electromagnetic field.

Совершенствование методик расчёта электрических машин возможно за счёт увеличения доли аналитической переработки данных. Нахождение аналитических решений распределения составляющих напряжённостей электрического Е_х и магнитного H_z поля на зубцовом делении массивного ротора позволят получить выражения для расчёта параметров эквивалентного стержня в случае использования аналога беличьей клетки на роторе и примыкающего к нему поверхностного слоя зубчатого ферромагнитного массива, которые будут использованы для нахождения рациональных интервалов изменения входных параметров различных конструктивных модификаций АД с массивным зубчатым ротором при конечно-элементных расчётах.

При расчете сопротивления эквивалентного стержня, находящегося в пазу ферромагнитного массивного магнитопровода ротора следует учитывать особенности электромагнитных процессов в массиве, связанные с эффектом вытеснения тока (поверхностный эффект), насыщением и гистерезисом.

В ходе дальнейшего анализа все электрические постоянные и геометрические размеры, входящие в расчет, определяем как известные величины. Задача решается в общем виде, никаких соотношений между конструктивными параметрами ротора не устанавливается. Произвольно заданными параметрами являются частота перемагничивания ротора /2 и абсолютное значение магнитной проницаемости на поверхности массива р_с,.

Рассмотрим магнитную цепь АД с массивным зубчатым ротором. Кроме общепринятых, введем следующие допущения:

• 1 Магнитная проницаемость на поверхности стенок паза л_е на зубцовом делении зубчатого ферромагнитного массива ротора tz2 постоянна.
• 2 Напряженность магнитного поля в каждой точке паза имеет направление, нормальное к стенке паза, и зависит только от координаты у.
• 3 Поверхностный эффект в ферромагнитном массиве является резко выраженным, то есть глубина проникновения Ас много меньше высоты паза ротора h.
• 4 Часть переменного магнитного потока, замыкающегося через поверхностный слой массива, ответвляется в паз.

На рисунке 1 показана модель распределения электромагнитного поля в роторе.

Рисунок 1 - Распределение электромагнитного поля в роторе

223

Выразим магнитное сопротивление стенок паза в направлении оси Y (вдоль эквивалентного стержня ?) в функции удельного магнитного сопротивления Z(i>:

^где Z(i) = A^/y_e/p_e;

Применив закон полного тока для контура ABCD (см. рисунок 1), получим

где нс =z(1) п Фу;

Ф_у - магнитный поток в стенке паза на расстоянии у от начала координат;

у - удельная электрическая проводимость материала эквивалентного стержня.

На основании второго уравнения Максвелла

В соответствии с законом электромагнитной индукции На основании (2) с учетом (4) получаем:

где b - ширина паза ротора.

Совместное решение уравнений (3) и (5) приводит к уравнению Гельмгольца для напряженности магнитного поля

где р² =n₀Z(_1)n -^/b +ja>

Общее решение однородного уравнения (6) имеет вид

На основании (5) с учетом (6), (7) получаем выражение для

напряженности электрического поля

ГДС Zb=jco0no/P-

Постоянные интегрирования Ci, С₂ определяются из граничных условий при у = 0.

На основании закона полного тока для контура mnpg (рисунок 1) справедливо следующее соотношение:

Для анализа физического смысла получаемых результатов рассмотрим некоторые предельные соотношения между конструктивными параметрами двигателя.

При глубоких и узких пазах (т. е. h » b) можно принять

На основании закона электромагнитной индукции (4) для контура mnpg (рисунок 1) с учетом (8) имеем

Из соотношений (10), (11) определим постоянные интегрирования Ci и

С₂:

С учетом (12), (13) для составляющих Е_х (8) и H_z (7) получаем следующие выражения:

Краткий анализ результатов сводится к следующему. Допущение, приводящее к соотношению (10), на основании которого отыскиваются постоянные интегрирования Ci и С₂, определяет, с другой стороны, следующее соотношение:

В предельном случае, т.е. при b —> 0 соотношение (16) не вызывает сомнений. В более широких интервалах изменения конструктивных параметров

ротора (16) автоматически определяет Ф^_у=0^=0. Только тогда при Ъф О

соотношение (12) является справедливым.

Физический смысл такого допущения состоит в том, что магнитный поток ввиду наличия узких высоких пазов замыкается фактически через зазор b

между боковыми стенками паза, то есть влиянием дна паза массива на Е_х, H_z пренебрегается.

Поперечным краевым эффектом в ходе анализа пренебрегалось, вводились идеальные торцевые короткозамыкающие кольца.

На основании теоремы Умова-Пойтинга комплексное электрическое сопротивление стержня, размещенного в насыщенном массиве в условиях резко выраженного поверхностного эффекта в стенках и дне паза, определяется следующим выражением:

где 1_С2 - действующее значение тока стержня.

На основании (17) с учетом (14), (15), а также соотношения между напряженностью магнитного поля и действующим значением тока стержня, для сопротивления стержня с учетом сопротивления стенок паза при произвольном соотношении h и b окончательно получаем

Следует отметить, что при подстановке в (21) выражений (14), (15) результат отличается от полученного в (22) наличием коэффициента К_п . Поправочный коэффициент К_п, имеющий размерность относительной единицы, определяет зависимость эквивалентного сопротивления стержня и поверхностного слоя массива, соответствующего стенкам паза от соотношения h и Ь.

Таким образом, магнитное сопротивление стержня токопроводящего слоя зубчатого ротора из ферромагнитного массива и поверхностного слоя самого массива, соответствующего стенкам паза, в котором размещен данный стержень, вводится одним параметром. Выражение для расчёта этого магнитного сопротивления определяется на основе (22) с учетом общего соотношения между электрическим и магнитным сопротивлением.

Для магнитного сопротивления стержня и стенок паза окончательно получаем

Магнитное сопротивление стержня и стенок паза связано с МДС от вторичных токов F_c и полным магнитным потоком Ф<:1 соотношением вида

В соответствии с принятыми допущениями, поверхностный эффект ярко выражен, то есть Ас « b, Ас « h . Напряженность магнитного поля от вихревых токов на участке шириной b связана с МДС выражением вида

Полный магнитный поток в рассматриваемой области магнитной цепи связан с напряженностью результирующего магнитного поля соотношением

На основании (20)-(22) для эквивалентной МДС участка поверхности массивного зубчатого ротора со стержнем беличьей клетки получаем

где K_h =b²-p/(ctn(a)).

В выражении (23) коэффициент Кь имеет размерность относительной единицы. Анализ физических явлений в массивном зубчатом роторе непосредственно на основании выражения (22) существенно затруднен, поэтому его целесообразно проводить, рассматривая данное выражение для предельных соотношений конструктивных или режимных параметров.

Список литературы

• 1. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц. - М.: ГИФМлит., 1967. - 780 с.
• 2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Пер. с англ. М. - Л. : Гостех-теориздат, 1951.- 476 с.

УДК: 625.144.5/7