«Дерево событий»

Когда события непрерывно следуют одно за другим или в каком-то смысле взаимосвязаны, зачастую полезно описывать альтернативные варианты в виде «дерева». Примером служит рис. 6.7.

Заемщик обещал по возможности выплатить $15 через год и $8 через два года. По мнению аналитика, шансы на то, что первая выплата будет действительно произведена полностью, составляют только 40 к 60. В противном случае, полагает аналитик, заемщику удастся выплатить через год только $10.

Что же касается двухлетнего срока, то вероятность события, на взгляд аналитика, будет зависеть от результата за первый год. Если заемщик сумеет полностью выплатить $15 по истечении первого года, тогда, по мнению аналитика, шансы на то, что заемщику удастся выполнить свое обязательство и выплатить $8 по истечении двух лет, составят лишь 1 к 9. В противном случае заемщик выплатит меньше — $6. Однако если заемщик выплатит по истечении первого года $10 и при этом даже не предвидится никакой надежды на возмещение недостающих $5, то, по мнению аналитика, шансы на то, что через два года будут выплачены обещанные $8, окажутся приблизительно равными (50 на 50). Если же этого не произойдет, то, по мнению аналитика, вместо $8 будет выплачено $4.

Рисунок 6.7 показывает также вероятность каждой из четырех возможных последовательностей, или траекторий, на «дереве событий». Например, вероятность того, что обе выплаты будут произведены полностью, составляет только 0,04, так как шансы на осуществление первой выплаты составляют всего 40 из 100, а из этих 40 лишь 1 к 10 говорит за то, что окончательный расчет будет произведен полностью. Это дает нам 4 шанса из 100 для данного исхода, вероятность которого равна 0,04.

«Дерево событий

Рис. 6.7. «Дерево событий

Математическое ожидание

Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынужден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел — одно указывает основную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска {relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же часть данной главы посвящена первой характеристике.

Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризовать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажется удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно (например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они различаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.

По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать наиболее вероятное значение. Его называют модой {mode) распределения вероятностей (для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плотностью вероятности). Рис. 6.6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте, что на рис. 6.6(b) две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя использовать ни одно отдельно взятое число.

Вторая альтернатива — указать величину, которая с одинаковой вероятностью может оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой {median) распределения вероятностей. Как показано на рис. 6.6, она может существенно отличаться от моды (мод).

Третья альтернатива — использование математического ожидания {expected value), также известного как среднее {mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных результатов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь принимается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение перспектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.

В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если распределение симметрично (каждая половина — зеркальное отображение другой) и унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и математическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис. 6.6(a). Аналитик, таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое число — это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероятностей сильно асимметрично (см. рис. 6.6(6)), эта процедура усложняется.

В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Математическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных характеристик составляющих его ценных бумаг.

В табл. 6.2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявленное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявлений, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием решения относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпывающие (т.е. каждая возможная комбинация представлена отдельной строкой). После долгих раздумий и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и его конечное воздействие на цены обеих ценных бумаг. В конце концов, аналитик вычислил соответствующие параметры портфеля, включающего по одной акции каждого вида.

Таблица 6.2

Анализ влияния заявлений на две ценные бумаги и портфель из ценных бумаг

Заявление

Вероятность

Прогнозируемый курс ценной бумаги А

Прогнозируемый курс ценной бумаги В

Прогнозируемая стоимость портфеля из бумаг А и В

а

0,10

$40,00

$62,00

$102,00

b

0,20

42,00

65,00

107,00

с

0,10

40,50

60,00

100,50

d

0,25

41,00

61,00

102,00

е

0,15

38,00

65,00

103,00

f

0,10

40,50

59,00

99,50

9

0,05

45,00

58,00

103,00

h

0,05

40,50

58,00

98,50

Математические ожидания: $40,73

$61,90

$102,63

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >