Расчет параметров модели с фиксированным размером заказа в условиях неопределенности

Как видно из рис. 9.2, параметром, определяющим стабильность функционирования модели с фиксированным размером заказа в условиях нестабильного потребления и изменчивого времени выполнения заказа, является пороговый уровень запаса. Он рассчитывается как сумма страхового запаса и ожидаемого уровня потребления за время выполнения заказа (см. формулу (9.7)).

В уровне страхового запаса учитывается возможность фиксированного отклонения времени выполнения заказа от заданного интервала с ожидаемым потреблением за время выполнения заказа — возможность отклонения потребности в запасе от заданного среднего значения (см. позиции 4 и 5 табл. 9.1). Пороговый уровень запаса должен быть рассчитан таким образом, чтобы обеспечить поддержание запаса при заданном уровне обеспечения потребности, который в общем случае является величиной менее 100%.

В модели с фиксированным объемом заказа непрерывно контролируется текущий уровень запаса. Выдача заказа происходит в момент, когда запас снижается до порогового уровня. Таким образом, риск дефицита запаса в этой модели возникает только в период выполнения заказа.

При постоянных потребности и времени выполнения заказа ожидаемое потребление за время выполнения заказа рассчитывается как произведение среднего дневного потребления и времени выполнения заказа (см. формулу (9.6)). Варианты расчета страхового запаса были приведены выше (см. формулы (1.7)—(1.10), (9.2) и (9.3)). При наличии отклонений потребности в запасе от среднего дневного потребления, а также времени выполнения заказа от зафиксированного требуется учесть эти отклонения в уровне страхового запаса. Рассмотрим, каким образом при расчете порогового уровня запаса может быть использован аппарат теории вероятностей.

Ситуация 1. Известны ожидаемый объем потребности в запасе в период выполнения заказа и его стандартное отклонение. В этом случае страховой запас может быть рассчитан следующим образом:

где Z — объем страхового запаса, единиц; z — число стандартных отклонений; ол7 — стандартное отклонение потребности в период выполнения заказа, единиц.

Так как стандартное отклонение потребности связано с единичным периодом времени, если время выполнения заказа больше единичного учетного периода, то стандартное отклонение потребности может быть определено как квадратный корень из суммы дисперсий:

где — стандартное отклонение потребности в период выполнения заказа, единиц; п — число дней в периоде выполнения заказа;ау — стандартное отклонение потребности, единиц/ день.

Пример 10.9. Расчет страхового запаса в условиях неопределенности

Пусть потребность в запасе может быть описана нормальным законом распределения. Известно стандартное отклонение потребности в запасе, равное 10 изделиям в день. Пусть время выполнения заказа составляет 5 дней. Требуется определить необходимый уровень страхового запаса для обеспечения обслуживания заявок клиентов на 98%. Для решения задачи воспользуемся формулой (10.15). Стандартное отклонение потребности за время выполнения заказа будет равно (см. формулу (10.16))

Число стандартных отклонений, соответствующее 98% обслуживания, определяется по табл. 10.5: z = 2,05 (для 0,9798). Тогда страховой запас должен быть равен

Пороговый уровень запаса может быть рассчитан с учетом формул (9.7) и (10.15) следующим образом:

где ПУ — пороговый уровень запаса, единиц; ОП — ожидаемое потребление за время выполнения заказа; z — число стандартных отклонений; ast стандартное отклонение спроса в период выполнения заказа, единиц.

Пример 10.10. Расчет параметров модели с фиксированным размером заказа в условиях неопределенности

Рассмотрим численные данные примера 9.1, представленные в табл. 9.2 и 9.5. Предположим, что рассматривается вариационный ряд генеральной совокупности статистики отгрузок, описываемой нормальным законом распределения, с математическим ожиданием (средней потребностью) 5 единиц и стандартным отклонением 4,14 единицы в день. Ожидаемое потребление за время выполнения заказа составляет 16 единиц. Время выполнения заказа — 4 дня. Оптимальный размер заказа — 36 единиц. Требуется определить основные параметры модели с фиксированным размером заказа (страховой запас, пороговый уровень запаса и максимальный желательный запас) для обеспечения обслуживания 95% заявок клиентов на отгрузку товара.

  • 1. Расчет размера страхового запаса (см. формулу (10.15)):
    • а) число стандартных отклонений z при значении площади по кривой нормального распределения 0,95 = 0,9505 равно 1,65 (см. табл. 10.5).
    • б) стандартное отклонение потребности за время выполнения заказа будет равно (см. формулу (10.16))

в) размер страхового запаса:

2. Расчет порогового уровня запаса (см. формулу (10.17)):

3. Расчет максимального желательного уровня запаса (см. формулу (9.1)):

МЖЗ — 14 + 36 = 50 единиц.

Таким образом, получены параметры модели с фиксированным размером заказа, представленные в табл. 10.6. Учет вероятности изменения потребности в запасе привел к повышению уровня всех параметров по сравнению с результатами расчета, приведенными в табл. 9.2, где потребность в запасе рассматривалась как постоянная величина, равная среднедневной потребности (см. позицию 5 в табл. 9.2). Воспользовавшись данными об изменении спроса из табл. 9.5, проведем расчет модели по новым параметрам (табл. 10.7). Иллюстрация движения запаса приведена на рис. 10.2. Дефицит запаса значительно снижен по сравнению с результатом расчета по табл. 9.5 и рис. 9.5. Он появляется только на 36-й день после второй подряд задержки поставки в объеме 2 единиц и сохраняется в течение дня прихода новой поставки.

Таблица 10.6

Параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа к примеру 10.10

п/п

Показатель

Значение

1

Размер потребности, единиц

1440

2

Оптимальный размер заказа, единиц

36

3

Время выполнения заказа, дни

4

4

Возможная задержка поставки, дни

1

5

Ожидаемое дневное потребление, единиц/день

4

6

Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц

16

7

Страховой запас, единиц

14

8

Пороговый уровень запаса, единиц

30

9

Максимальный желательный запас, единиц

50

10

Срок расходования запаса до порогового уровня, дни

5

Таблица 10.7

Расчет уровней запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.10

Дни

Запас

Расход

Приход

День 1

50

4

День 2

46

4

День 3

42

4

Окончание табл. 10.7

Дни

Запас

Расход

Приход

День 4

38

4

День 5

34

4

День 6

30

4

0

День 7

26

4

День 8

22

4

День 9

18

4

День 10

50

4

36

День 11

46

9

День 12

37

6

День 13

31

7

День 14

24

4

0

День 15

20

3

День 16

17

9

День 17

8

9

День 18

35

8

36

День 19

27

7

0

День 20

20

3

День 21

17

7

День 22

10

9

День 23

37

4

36

День 24

33

5

День 25

28

6

0

День 26

22

3

День 27

19

8

День 28

11

9

День 29

2

2

День 30

36

9

36

День 31

27

4

0

День 32

23

5

День 33

18

3

День 34

15

9

День 35

6

8

День 36

34

4

36

День 37

30

6

0

День 38

24

10

День 39

14

7

День 40

7

6

Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.10

Рис. 10.2. Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.10

Ситуация 2. Обычно установить среднюю потребность и ее стандартное отклонение в период выполнения заказа довольно сложно. Чаще известны данные о ежедневном или еженедельном спросе и о времени выполнения заказа. Если известно, что изменчив спрос, а время выполнения заказа остается постоянным, то страховой запас должен быть рассчитан по следующей формуле:

где Z — объем страхового запаса, единиц; z — число стандартных отклонений; а — стандартное отклонение потребности, еди- ниц/день; t — время выполнения заказа, дни.

Пороговый уровень запаса в этом случае рассчитывается с учетом формул (9.7) и (10.18) следующим образом:

где ПУ — пороговый уровень запаса, единиц; S — среднее потребление, единиц/день; t — время выполнения заказа, дни; z — число стандартных отклонений; ау — стандартное отклонение потребности, единиц/день.

Пример 10.11. Расчет параметров модели с фиксированным размером заказа в условиях неопределенности

Уточним данные примера 10.10. Потребность в запасе описывается нормальным законом распределения с математическим ожиданием 5 единиц и стандартным отклонением 4,14 единицы. Время выполнения заказа — 4 дня. Оптимальный размер заказа —

  • 36 единиц. Требуется определить основные параметры модели с фиксированным размером заказа (страховой запас, пороговый уровень запаса и максимальный желательный запас) для обеспечения обслуживания 95% заявок клиентов на отгрузку товара.
  • 1. Расчет размера страхового запаса (см. формулу (10.18)):
    • а) число стандартных отклонений z при значении площади по кривой нормального распределения 0,95 ~ 0,9505 равно 1,65 (табл. 10.5);
    • б) размер страхового запаса (см. формулу (10.18)):

Z = 1,65 *4,14-2= 13,662 ~ 14 единиц.

2. Расчет порогового уровня запаса (см. формулу (10.19)):

ПУ = 5 • 4 + 14 = 34 единицы.

  • 3. Расчет максимального желательного запаса (см. формулу
  • (9.1)):

МЖЗ = 14 + 36 = 50 единиц.

Таким образом, получены параметры модели с фиксированным размером заказа, представленные в табл. 10.8. Учет вероятности изменения ежедневной потребности в запасе привел к повышению порогового уровня запаса по сравнению с результатами расчета, приведенными в табл. 10.6. Воспользовавшись данными об изменении спроса из табл. 9.5, проведем расчет модели по новым параметрам (табл. 10.9). Иллюстрация движения запаса приведена на

Таблица 10.8

Параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа к примеру 10.11

п/п

Показатель

Значение

1

Объем потребности, единиц

1440

2

Оптимальный размер заказа, единиц

36

3

Время выполнения заказа, дни

4

4

Возможная задержка поставки, дни

1

5

Ожидаемое дневное потребление, единиц/день

4

6

Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц

16

7

Страховой запас, единиц

14

8

Пороговый уровень запаса, единиц

34

9

Максимальный желательный запас, единиц

50

10

Срок расходования запаса до порогового уровня, дни

4

рис. 10.3. Дефицит запаса незначительно снижен по сравнению с результатом расчета по табл. 10.6. Он также появляется на 36-й день после второй подряд задержки поставки в объеме 2 единиц и имеется в течение дня прихода новой поставки. В то же время следует отметить, что рис. 10.3 в целом отражает более надежное функционирование системы, чем рис. 10.2.

Расчет уровней запаса при колебании потребности в запасе и наличии задержек поставок к примеру 10.11

Таблица 10.9

Дни

Запас

Расход

Приход

День 1

50

4

День 2

46

4

День 3

42

4

День 4

38

4

День 5

34

4

0

День 6

30

4

День 7

26

4

День 8

22

4

День 9

54

4

36

День 10

50

4

День 11

46

9

День 12

37

6

День 13

31

7

0

День 14

24

4

День 15

20

3

День 16

17

9

День 17

44

9

36

День 18

35

8

День 19

27

7

0

День 20

20

3

День 21

17

7

День 22

10

9

День 23

37

4

36

День 24

33

5

0

День 25

28

6

День 26

22

3

День 27

19

8

День 28

11

9

Дни

Запас

Расход

Приход

День 29

38

2

36

День 30

36

9

День 31

27

4

0

День 32

23

5

День 33

18

3

День 34

15

9

День 35

6

8

День 36

34

4

36

День 37

30

6

0

День 38

24

10

День 39

14

7

День 40

7

6

Ситуация 3. Если известно, что потребность в запасе — постоянная величина, а время выполнения заказа меняется в соответствии с тем или иным законом распределения вероятностей, то страховой запас должен быть рассчитан по следующей формуле:

где Z. объем страхового запаса, единиц; г — число стандартных отклонений; S— объем потребления, единиц/день; а( стан-

Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.11

Рис. 10.3. Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.11

дартное отклонение времени выполнения заказа, единиц/ день.

Пороговый уровень с учетом формул (9.7) и (10.20) рассчитывается по формуле

где ПУ — пороговый уровень запаса, единиц; S — объем потребления, единиц/день; / — время выполнения заказа, дни; z — число стандартных отклонений; а, — стандартное отклонение времени выполнения заказа, единиц/день.

Пример 10.12. Расчет параметров модели с фиксированным размером заказа в условиях неопределенности

Уточним данные примера 10.10 по вероятности отклонения времени выполнения заказа. Пусть математическое ожидание времени выполнения заказа равно 4 дням, стандартное отклонение времени выполнения заказа — 1 день. Потребность в запасе — постоянная и равна ожидаемому дневному потреблению. Оптимальный размер заказа — 36 единиц. Требуется определить основные параметры модели с фиксированным размером заказа (страховой запас, пороговый уровень запаса и максимальный желательный запас) для обеспечения обслуживания 95% заявок клиентов на отгрузку товара.

  • 1. Расчет размера страхового запаса (см. формулу (10.20)):
    • а) число стандартных отклонений z при значении площади по кривой нормального распределения 0,95 ~ 0,9505 равно 1,65 (табл. 10.5);
    • б) размер страхового запаса (см. формулу (10.20)):

Z. = 1,65 • 4 • 1 = 6,6 * 7 единиц.

2. Расчет порогового уровня запаса (см. формулу (10.21)):

ПУ = 4 • 4 + 7 = 23 единицы.

3. Расчет максимального желательного запаса (см. формулу (9.1)):

МЖЗ = 7 + 36 = 43 единицы.

Результаты расчетов параметров сведены в табл. 10.10. По сравнению с результатами расчета в табл. 9.2, в котором и потребность в запасе, и время выполнения заказа являются постоянными величинами, в табл. 10.10 страховой запас, пороговый уровень и максимальный желательный запас имеют более высокий уровень. Это позволяет обеспечить удовлетворение потребности при отклоне-

зоз

ниях времени выполнения заказа от ожидаемого (табл. 10.11). Несмотря на то что время выполнения заказа составляло от 4 до 6 дней, дефицит наблюдается только на 21 -й день работы модели. Иллюстрация движения запаса при этом представлена на рис. 10.4.

Таблица 10.10

Параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа к примеру 10.12

л/л

Показатель

Значение

1

Объем потребности, единиц

120

2

Оптимальный размер заказа, единиц

36

3

Математическое ожидание времени выполнения заказа, дни

4

4

Стандартное отклонение времени поставки, дни

1

5

Ожидаемое дневное потребление, единиц/день

4

6

Максимальное потребление за время выполнения заказа, единиц

20

7

Страховой запас, единиц

7

8

Пороговый уровень запаса, единиц

23

9

Максимальный желательный запас, единиц

43

10

Срок расходования запаса до порогового уровня, дни

5

Таблица 10.11

Расчет уровней запаса при колебании времени выполнения заказа

к примеру 10.12

Дни

Запас

Расход

Приход

День 1

43

4

День 2

39

4

День 3

35

4

День 4

31

4

День 5

27

4

День 6

23

4

0

День 7

19

4

День 8

15

4

День 9

11

4

День 10

7

4

День 11

39

4

36

День 12

35

4

День 13

31

4

Дни

Запас

Расход

Приход

День 14

27

4

День 15

23

4

0

День 16

19

4

День 17

15

4

День 18

11

4

День 19

7

4

День 20

3

4

День 21

35

4

36

День 22

31

4

День 23

27

4

День 24

23

4

0

День 25

19

4

День 26

15

4

День 27

11

4

День 28

7

4

День 29

39

4

36

День 30

35

4

Иллюстрация движения запаса при колебании времени выполнения

Рис. 10.4. Иллюстрация движения запаса при колебании времени выполнения

заказа к примеру 10.12

Ситуация 4. Если и потребность, и время выполнения заказа подчиняются тому или иному закону распределения вероятностей, то страховой запас может быть рассчитан следующим образом:

где Zs — объем страхового запаса, единиц; z — число стандартных отклонений; Тп — среднее время выполнения заказа, дни; asстандартное отклонение потребности, единиц/день; S — среднее потребление, единиц/день; а( стандартное отклонение времени выполнения заказа, дни.

Если и потребность, и время выполнения заказа подчиняются тому или иному закону распределения вероятностей, то пороговый уровень запаса может быть рассчитан с учетом формул (9.7) и (10.22) следующим образом:

где ПУ — пороговый уровень запаса, единиц; S — среднее потребление, единиц/день; Тп — среднее время выполнения заказа, дни; z — число стандартных отклонений; а, — стандартное отклонение времени выполнения заказа, единиц/день; а — стандартное отклонение потребности, единиц/день.

Пример 10.13. Расчет параметров модели с фиксированным размером заказа в условиях неопределенности

Уточним данные примеров 10.10 и 10.12. Пусть и потребность в запасе, и время выполнения заказа описываются нормальным законом распределения. Математическое ожидание потребности в запасе — 5 единиц, ее стандартное отклонение — 4,14 единицы. Математическое ожидание времени выполнения заказа — 4 дня, стандартное отклонение времени выполнения заказа — 1 день. Оптимальный размер заказа — 36 единиц. Требуется определить основные параметры модели с фиксированным размером заказа (страховой запас, пороговый уровень запаса и максимальный желательный запас) для обеспечения обслуживания 95% заявок клиентов на отгрузку товара.

  • 1. Расчет размера страхового запаса (см. формулу (10.22)):
    • а) число стандартных отклонений z при значении площади по кривой нормального распределения 0,95 ~ 0,9505 равно 1,65 (табл. 10.5);
    • б) размер страхового запаса (см. формулу (10.22)):

Zs =1,65-л/4-4,142 +52 l2 =15,96 ~ 16 единиц.

2. Расчет порогового уровня запаса (см. формулу (10.23)):

ПУ = 5 • 4 + 16 = 36 единиц.

3. Расчет максимального желательного запаса (см. формулу (9.1)):

МЖЗ = 16 + 36 = 52 единицы.

Результаты расчетов представлены в табл. 10.12. Иллюстрация движения запаса при колебании потребности по данным табл. 9.5, рассмотренным также в примерах 10.10 и 10.11, и при колебании времени выполнения заказа, рассмотренного в примере 10.12, приведены в табл. 10.13 и на рис. 10.5. Дефицит обслуживания возникает на 19-й день в размере 7 единиц и сохраняется в течение дня поставки. В дальнейшем дефицит не наблюдается. Заказы возобновляются каждый раз, когда запас снижается ниже порогового уровня, равного 36 единицам. Поэтому в 19-й и на 36-й день заказы делаются в день поступления заказа, так как при поставке в эти дни запас пополняется до порогового уровня (на 36-й день) или ниже порогового уровня (на 19-й день текущий запас после поставки равен 29 единицам).

Таблица 10.12

Параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа к примеру 10.13

п/п

Показатель

Значение

1

Объем потребности, единиц

1440

2

Оптимальный размер заказа, единиц

36

3

Математическое ожидание времени выполнения заказа, дни

4

4

Стандартное отклонение времени поставки, дни

1

5

Ожидаемое дневное потребление, единиц/день

4

6

Ожидаемое потребление за время поставки, единиц

16

7

Страховой запас, единиц

16

8

Пороговый уровень запаса, единиц

36

9

Максимальный желательный запас, единиц

52

10

Срок расходования запаса до порогового уровня, дни

4

Расчет уровней запаса при колебании потребности в запасе и задержках поставок к примеру 10.13

Дни

Запас

Расход

Приход

День 1

52

4

День 2

48

4

День 3

44

4

День 4

40

4

День 5

36

4

День 6

32

4

0

День 7

28

4

День 8

24

4

День 9

20

4

День 10

16

4

День 11

48

9

36

День 12

39

6

День 13

33

7

0

День 14

26

4

День 15

22

3

День 16

19

9

День 17

10

9

День 18

1

8

День 19

29

7

36

День 20

22

3

День 21

19

7

День 22

12

9

День 23

39

4

36

День 24

35

5

0

День 25

30

6

День 26

24

3

День 27

21

8

День 28

49

9

36

День 29

40

2

День 30

38

9

День 31

29

4

0

День 32

25

5

День 33

20

3

День 34

17

9

День 35

8

8

Дни

Запас

Расход

Приход

День 36

36

4

36

День 37

32

6

День 38

26

10

День 39

16

7

День 40

45

6

36

Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и времени выполнения заказа к примеру 10.13

Рис. 10.5. Иллюстрация движения запаса при колебании потребности в запасе и времени выполнения заказа к примеру 10.13

В каждой из рассмотренных ситуаций 1—4 предполагается, что потребность в запасе и время выполнения заказа являются независимыми величинами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >