Полная версия

Главная arrow Философия arrow Методы научного познания

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод формализации

Главным и абсолютно необходимым средством решения перечисленных в § 7.1 задач является метод формализации той конкретной математической теории, которая является предметом метатеоретического анализа.

Формализация некоторой содержательной теории означает построение для нее формальной модели, т.е. отображение теории в некоторую чисто синтаксическую языковую конструкцию, состоящую только из терминов и символов, не имеющих никакой интерпретации, никакого внешнего значения. Все собственные термины, а также логические и нелогические символы формальной системы обозначают только самих себя и ничего более.

Первым идею формализации всех математических теорий для установления их реальной логической структуры и решения проблем их непротиворечивости, полноты и эффективности выдвинул Д. Гильберт. Для решения этих задач он сформулировал программу обоснования математики, которая получила название «формалистская программа обоснования» или просто «формализм». Гильбертовская программа обоснования математики была альтернативой другим программам обоснования математики, выдвинутым в начале XX в., прежде всего логицизму (Б. Рассел, А. Уайтхед и др.) и интуиционизму (Л.Э. Брауэр, А. Гейтинг, А. Пуанкаре, Г. Вейль и др.). В § 6.2, рассматривая дедуктивно-аксиоматический метод построения научных теорий, мы уже частично раскрыли подход Гильберта к формализации евклидовой геометрии. Неожиданным результатом этого процесса стало установление того факта, что известная в течение многих веков система аксиом геометрии Евклида оказалась явно неполной. Гильберт доказал, что для строго аксиоматического построения геометрии Евклида требуются 20 независимых аксиом, а не пять, как у Евклида, что считалось чем-то очевидным для всех математиков в течение многих столетий. Тем самым Гильберт одновременно доказал неполноту систем аксиом неевклидовых геометрий, построенных Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и Б. Риманом. В построенной Гильбертом формализованной системе евклидовой геометрии термины «точка», «прямая», «плоскость» обозначали только самих себя и с ними не нужно было связывать никаких других значений. Правда, Гильберт не формализовал логические правила вывода в своей системе евклидовой геометрии, поэтому его построение в целом носило полуформализованный характер. При построении формализованной системы арифметики Гильберту удалось устранить этот недостаток и формализовать не только аксиомы арифметики, но и правила вывода, т.е. логику, используемую при доказательстве теорем арифметики.

Рассмотрим, как строится формальная теоретическая система, или просто формальная система. Для ее построения необходимо осуществить такую последовательность действий:

  • 1) вводится набор знаков формальной системы — некоторое множество символов, как правило, множество букв некоторого алфавита, например заглавных и прописных букв латинского алфавита (А, В, С, ... а, Ь, с ...); запятые, разделяющие отдельные символы или строчки символов; логические символы: («если, то»), &,
  • («и»), v («или») ] («не»), (х) («все»), (Ех) («существует»); () — скобки для отделения одних групп символов от других;
  • 2) вводится понятие формулы как обозначение любой строчки или последовательности исходных символов данного языка;
  • 3) вводится понятие правильно построенной формулы для данного формального языка. Обычно это делается индуктивным способом, путем демонстрации отдельных случаев как правильно построенных формул, так и неправильно построенных. Например, правильно построены формулы: a&.b (a&b)&c за&(6&с); awb (х) Л(х) з В(х); неправильно построены формулы: А, В, Е (х)А; (а),Ь; эх;Аэ; Ь, з. ит.д.;
  • 4) из всего множества правильно построенных формул выбирается некоторое небольшое подмножество, которое должно стать основанием, фундаментом формальной теории. Это подмножество исходных формул формальной теории называется ее аксиомами;
  • 5) вводятся правила преобразования одних правильно построенных формул (строчек символов) в другие, называемые также правилами формального вывода. В принципе число таких правил может быть бесконечно, поэтому среди них выбирают небольшое множество так называемых основных, к которым должны быть сводимы все остальные правила преобразования, разрешенные в данной формальной системе или «законные» правила вывода. Пусть заглавные буквы латинского алфавита (.А, В, С...) обозначают любые правильно построенные формулы нашего формального языка. Разобьем вслед за Гильбертом все основные правила преобразования одних правильно построенных формул в другие на три группы [10. С. 367-369]:

I. Логические аксиомы следования: 1) А-> (В А); 2) (А -> ^(А^В))->(А^>В);3)(А->(В->С))->(В->(А->С));4) (?->Q-> -> ((А В) -> -> С)).

II. Логические аксиомы, касающиеся конъюнкции и дизъюнкции: 5) А-В А; 6) А-ВВ 7) А (В(А-В)); 8) АAvB; 9) В ^ Aw В; 10) {(А^С]{В^> О) -> (C4vB Q).

III. Логические аксиомы отрицания: 11) (А -^>(В&В)) —> А (закон противоречия); 12) Л —> А (закон двойного отрицания).

Эти 12 аксиом образуют полную систему аксиом такой формально-логической теории, как исчисление высказываний. Из этих аксиом можно вывести неосновные логические правила вывода — правила преобразования одних правильно построенных формул исчисления высказываний в другие. Например, из аксиом 11 и 12 вытекают в качестве теорем следующие правила преобразования: (А-~А)В, а также логический принцип ((А -> В)(А ->-» В))В.

К 12 аксиомам исчисления высказываний Гильберт добавляет еще одну аксиому, чтобы превратить (достроить) исчисление высказываний в более широкую формально-логическую систему — исчисление предикатов. Последнее позволяет формализовать любые высказывания (в том числе высказывания арифметики) с кванторами (логическими функциями), такими, как «все» («любой»), обозначаемый символом (х), «тот, который», обозначаемый символом А(а) (дословно «тот я, который имеет признак Л») и «существует», обозначаемый символом Е(х) (читается: «существует некоторый объект х»).

Аксиома 13 выглядит так: A{d) -> А(г(А))ь или более точно А(о) —> 8д^4(х), где с —трансфинитная логическая функция выбора.

Она читается так: «высказывание А(а) верно по крайней мере для одной вещи х».

Аксиома 13 образует IV группу аксиом. На основании аксиомы 13 вводятся такие формулы:

  • (х) А(х) -> А(а) — аксиома Аристотеля;
  • (1х)у4(х) -» (?(х)~Ы(х)) — закон исключенного третьего.

К логическим аксиомам исчисления предикатов Гильберт добавляет собственно арифметические аксиомы, образующие V и VI группы аксиом формализованной арифметики:

V. Аксиомы равенства, определяющие отношение «равно»: 14) а = а- 15) (а = Ь) -> (А(а) -> А(Ь)).

VI. Аксиомы числа: 16) а' * 0, где а' — «число, следующее за а»; 17) (Л(0)-(х)(Л(х) -> Л(х')) -> А(а) — принцип полной индукции для последовательностей.

Целые числа 1, 2, 3,... в системе формализованной арифметики натуральных чисел Гильберта записываются с помощью символов 0', 0", 0'",...

Гильберт так представляет сущность построенной им системы формализованной арифметики натуральных чисел: «В моей теории содержательные выводы заменены внешними действиями, подчиняющимися определенным правилам; тем самым аксиоматический метод получает ту надежность и законченность, которая для него доступна и в которой он нуждается для того, чтобы служить основным средством теоретических изысканий» [ 10. С. 369].

Главное и принципиальное отличие формализованной (или формальной) научной теории от неформализованной состоит в том, что в формализованной теории доказательство является: а) предметом чувственного (наглядного) созерцания и б) оно полностью обозримо от начала до конца (или, по словам Гильберта, оно «полностью сообщаемо»). Таким образом, основным критерием надежности, строгости и эффективности того или иного доказательства в формализованной теории является его контролируемость чувственным созерцанием, его прозрачность и очевидность для последнего. В этом отношении (формальная) математика сближается с естествознанием и его стандартами и критериями существования, истинности, обоснованности и определенности знания. При таком подходе интуитивные аспекты математического и естественно-научного мышления рассматриваются как играющие лишь эвристическую функцию в научном познании, но отнюдь не критериальную, как, например, в эпистемологии Р. Декарта. При этом интеллектуальная интуиция попадает под двойной контроль. С одной стороны, под контроль логики, а с другой — под контроль чувственного созерцания и его разрешающей способности как средства познания.

Однако в 1930-е гг. один из учеников Гильберта К. Гёдель получил принципиальные результаты, показавшие познавательные границы возможностей формализации содержательных теорий и лежащей в основе метода формализации предпосылки об исключительной надежности метода чувственного созерцания знаков и символов как материальных объектов элементарного (простейшего) характера. Правда, при этом метод формализации оказался абсолютно надежным средством построения таких теорий формальной (математической) логики, как исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка. Полноту и абсолютную непротиворечивость исчисления высказываний впервые доказал Г. Фреге в конце XIX в. Затем аналогичный результат получили другие известные логики и математики (Б. Рассел, А. Уайтхед, Д. Гильберт, П. Бернайс, В. Аккерман, Я. Лукасевич) для различных систем исчислений высказываний, основанием которых выступали разные системы аксиом. В 1939 г. Гёдель доказал теорему о полноте исчисления предикатов, используемого в качестве формальной логической системы при формализации математики. Согласно этой теореме, множество всех логических утверждений математики совпадает (равно) с множеством всех формул исчисления предикатов. Позже полноту и абсолютную непротиворечивость исчисления предикатов первого порядка доказали другие выдающиеся логики XX в. (Р. Карнап, А. Чёрч, С. Клини и др.).

Таким образом, в науке возможны полностью формализованные теории, но, к сожалению, таких теорий оказалось только две, притом обе чисто логические — исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка (термины, обозначающие только свойства объектов, но не отношения между ними; термины, обозначающие отношения, — это по меньшей мере двухместные предикаты, или предикаты второго порядка). Любая простейшая содержательная теория в науке, начиная с арифметики натуральных чисел, описывает не только свойства некоторых объектов, но и отношения между ними, т.е. включает в свой язык двухместные (и более местные) предикаты или термины, обозначающие отношения между объектами. Таких теорий подавляющее большинство даже в математике и логике, не говоря о естествознании и социально-гуманитарных науках. Занимаясь проблемами полноты формализованной арифметики натуральных чисел и ее непротиворечивости, Гёдель в 1931 г. получил результаты, радикально отвергающие первоначальный оптимизм сторонников программы обоснования математики Гильберта и довольно драматичные по философскому значению, но при этом абсолютно формально строгие в плане их доказательности.

Первая теорема Гёделя гласит, что нельзя полностью формализовать такую теорию, как арифметика натуральных чисел, а значит, и все другие научные теории, включающие эту теорию в качестве своей части, — практически все математические и физические теории — геометрию, алгебру, математический анализ, теорию вероятностей, теорию функций действительного и комплексного переменного, механику и все прочие физические и социальные теории, где применяется количественное описание действительности.

Теорема Гёделя с чисто технической стороны утверждала, что в любой формализованной системе арифметики всегда можно сформулировать на ее языке некую правильно построенную формулу (возможно, имеющую содержательный исторический эквивалент), которую нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть средствами этой системы. При этом данная теорема не запрещает сколь угодно полную формализацию любой содержательной теории. Она утверждает лишь принципиальную невозможность абсолютно полной формализации реальных содержательных теорий.

Втораятеорема Гёделя имела еще более пессимистическое эпистемологическое звучание. Гёдель доказал строгим, финитным образом, что непротиворечивость любой достаточно богатой формализованной системы (и, в частности, формализованной системы арифметики натуральных чисел) нельзя доказать средствами самой этой системы. Это означало, что для любой формализованной теории, например арифметики натуральных чисел, в принципе невозможно получить доказательство ее абсолютной (или синтаксической) непротиворечивости, т.е. доказать невозможность получения в ней формулы А&А в качестве одного из ее следствий.

Вера в возможность доказательства абсолютной непротиворечивости всех формализованных математических теорий, в том числе содержательно простейшей из них — арифметики натуральных чисел, была главным движителем программы обоснования математики Гильберта, имевшей целью обоснование надежности, строгости и непротиворечивости математики. Программа Гильберта была альтернативной по отношению к программам, развиваемым сторонниками логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) и интуиционизма (Л.Э. Брауэр, А. Гейтинг и др.). Поскольку при реализации логицистской программы обоснования математики обнаружились значительные трудности уже в 1920-х гг. (после попытки ее реализации Б. Расселом и А. Уайтхедом в «Principia Mathematica»), постольку единственной серьезной альтернативой программе Гильберта была лишь программа интуиционизма (конструктивизма). Но это была уже другая метаматематика, на анализе которой мы пока останавливаться не будем. Подчеркнем лишь, что, также как и формалисты, интуиционисты не отрицали огромной роли формального построения математических теорий, правда, уже «вмонтированных» в другую философию математики, не ту, которую разделял и развивал Д. Гильберт. Например, в 1930-х гг. А. Гейтинг построил формальную систему интуиционистской логики, а в 1950-х гг. С. Клини — формальную систему интуиционистского математического анализа [14]. Обратное влияние интуиционизма на формалистскую программу обоснования арифметики проявилось, например, в том, что Гёдель показал возможность доказательства непротиворечивости формализованной арифметики интуиционистскими методами, т.е. с помощью средств некоей метатеории, которые выходят за рамки языка логически формализованной системы арифметики.

Однако теперь стало окончательно ясно, что любое обоснование арифметики и доказательство ее непротиворечивости с помощью и в рамках любой другой теории всегда будут относительными. Оно будет верным только по отношению к той метаматематической теории, средствами которой оно было осуществлено. Разумеется, если принято допущение (гипотеза), что сама последняя теория непротиворечива. Но доказательство ее непротиворечивости может потребовать новой метатеории и т.д. Поскольку непротиворечивость последней метатеории всегда будет только условной, предположительной, постольку и все остальные теории, которые использовали данную метатеорию для доказательства своей непротиворечивости, будут также непротиворечивыми лишь условно. В любом случае очевидно, что при таком способе обоснования арифметики, как и любой другой теории, не удастся избежать регресса в бесконечность (метаматематическую).

Здесь возникает законный вопрос о ценности и необходимости использования метода формализации в науке. Ведь сама по себе формализация математических теорий была не целью, а только средством решения метатеоретических проблем математики, средством обоснования содержательных математических теорий и решения проблем их полноты, непротиворечивости и доказательности. Но если эти проблемы, как оказалось, не могут быть решены с помощью формализации научных теорий, тогда нужна ли формализация научных теорий вообще? С нашей точки зрения, ответ на этот вопрос должен быть положительным.

Во-первых, лишь с помощью формализации можно строго определить, достаточна ли аксиоматическая база тех или иных теорий как основание их логической доказательности. Только при формализации геометрии, арифметики, логических теорий, анализа, теории структур и т.д. удалось выявить действительно необходимую аксиоматическую базу этих теорий. Как правило, оказывалось, что она должна быть значительно мощнее, чем прокламировалось ранее в конкретных содержательных теориях. Это значит, что практически все реальные содержательные (даже математические) теории были логически доказательными лишь частично, хотя при этом считались строго доказательными. Яркий пример — традиционная геометрия Евклида. Если мы хотим показать, что научные теории являются действительно строго логически доказательными, для этого существует только один путь — их формализация. Разумеется, это не достаточное, но абсолютно необходимое условие обоснования логической доказательности теорий.

Во-вторых, с гносеологической точки зрения формализация научных теорий полезна тем, что позволяет минимизировать решение проблемы их истинности, так как проблема истинности теории при ее формально-аксиоматическом построении сводится только к проблеме доказательства истинности ее аксиом.

В-третьих, формализация научных теорий расширяет (практически неограниченно) область их применения, не ограничиваясь только первоначальной областью объектов, с которой исторически было связано их возникновение. Безусловно, максимально точное, строгое и доказательное описание как можно большего числа объектов является одним из идеалов и главных целей научного познания действительности.

В-четвертых, формализация научных теорий позволяет в значительной степени задействовать возможности чувственного познания при построении и обосновании научных теорий и тем самым гармонично дополнить и осуществить взаимодействие в рамках теоретического моделирования действительности рационального, чувственного и интуитивного познания как компонентов, одинаково необходимых при построении научных теорий.

В-пятых, только формализованное научное знание может быть передано компьютерам, поскольку последние могут работать и совершать операции лишь с материальными объектами (в данном случае с символами, строчками символов и формулами).

Конечно, вычислительная математика требует особых способов формализации эмпирического и теоретического научного знания, подчиняя их задачам составления соответствующих программ на языке, распознаваемом компьютером и «понятном» для него. Но в любом случае здесь не обойтись без формализации реального научного знания и реальных содержательных теорий. В связи с этим важно подчеркнуть следующее обстоятельство: известная теорема Гёделя о неполноте, о которой говорилось выше, не налагает никаких принципиальных ограничений на возможность сколь угодно полной формализации научных теорий. Единственное ограничение — только то, что невозможна абсолютно полная (100%-ная) формализация содержания теории. Но она не запрещает возможность формализации любой теории, например, на 99,999 %. Да, 99,999 % это, конечно не 100 %. Но с точки зрения практики это почти полная формализация. По крайней мере она вполне достаточна и даже избыточна для решения многих задач, связанных с практическим использованием научного знания.

В-шестых, только при формализации научного знания удается максимально точно и однозначно определить многие понятия, что также является одним из идеалов научного познания. Например, именно на этом пути удалось получить строгое определение понятия алгоритма, которое на интуитивном уровне всегда широко использовалось не только в математике, но и в науке в целом. Так, А. Чёрч в 1936 г. доказал, что широко применяемое в математике понятие рекурсивной функции может быть определено как функция, вычислимая с помощью некоторого алгоритма. Только после уточнения понятия алгоритма удалось обнаружить существование в реальной математике ряда реальных алгоритмически неразрешимых проблем. Разработка точного понятия алгоритма позволила в свою очередь уточнить понятие эффективной деятельности, в том числе на уровне теоретического познания [11. С. 15]. Как известно, сегодня большинство современных метаматематических и металогических теорий строят именно конструктивистским образом, сознательно опираясь на понятие алгоритма на уровне построения метатеорий. Однако метатеоретический уровень научного познания не исчерпывается построением специальных метатеорий как в математике, так и в логике.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>