Метод математической гипотезы

Одним из важнейших элементов естественно-научных и социально-гуманитарных научных теорий являются законы. Законы любой научной теории независимо от степени общности и фундаментальности закона всегда имеют характер математических зависимостей одной величины данной теории от других. Поэтому можно с полным правом утверждать не только методологическую сентенцию или афоризм «нет теории — нет науки», но и другие, столь же значимые и принципиальные в гносеологическом плане, как то: «Нет законов — нет теории», «Нет уравнений — нет научных законов». Научный закон — это не просто фиксация существенных, необходимых и всеобщих связей между различными явлениями и их свойствами, но обязательно фиксация количественного характера связей и зависимостей изучаемых объектов, а в научных теориях — описание количественных связей и отношений между идеальными объектами теории и их свойствами. Поэтому в научном познании проблема метода математической гипотезы по существу тождественна проблеме формы научного закона и особенно формы теоретического закона науки [21]. Приведем примеры известных теоретических законов физики: s = gt2/2 — закон Галилея; Fg-gm^mj/r2- закон тяготения Ньютона; F -та - второй закон механики Ньютона; v = HR — закон разбегания галактик Хаббла (где v — скорость разбегания галактик, Н — постоянная Хаббла, R — расстояние между галактиками); pV= NkT — соотношение между давлением, объемом, температурой и числом атомов идеального газа — термодинамическая константа); ifi-v|/d(r)/d/ = #опу (/) — уравнение Шрёдингера (где Ноп — оператор Гамильтона, Й — постоянная Планка, > — волновая функция, i — мнимая единица); S= k W — закон энтропии для изолированных термодинамических систем (W — элементарное состояние термодинамической системы); Е = тс2 знаменитый закон Эйнштейна о соотношении энергии и массы.

Все эти законы имеют форму уравнений, т.е. тождества левой и правой частей некоторого равенства. Любое уравнение описывает количественную взаимосвязь одной величины (записанной слева от знака «равно») и других величин (записанных справа от знака «равно»). По известному значению переменной величины в левой части уравнения можно с помощью уравнения однозначно определить соответствующее ему значение переменных величин из правой части уравнения и наоборот. С точки зрения математики любое физическое уравнение или закон есть не что иное, как математическая функция, описывающая характер количественной взаимосвязи между некоторыми величинами или значениями идеальных объектов теории. Функция в математике — это всегда определенный тип отношения между некоторыми переменными F(a, b,...). Таким образом, специфика теоретических законов состоит в том, что они всегда представляют собой утверждения о функциональной зависимости между переменными величинами, отражающими свойства или отношения изучаемых идеальных объектов. Теоретические законы являются функциональными законами или законами-функциями, и этим они отличаются от других видов законов — причинных, субстратных, субстанциональных, которые имеют место на эмпирическом уровне научного познания. Можно сказать, что все теоретические законы являются описательными, феноменологическими, а не причинными утверждениями, а именно: они утверждают, как одна величина количественно связана с другой и ничего более. Но и не менее.

Таким образом, научные теории являются принципиально количественным видом описания изучаемых ими объектов. Поэтому математический язык необходим для любой научной теории независимо от изучаемых ею объектов и сферы применения. Перефразируя известные слова, можно утверждать, что в каждой научной теории столько теории, сколько в ней математики. В современных научных теориях, особенно в физике, используемый язык математики является достаточно сложным. Это теория функций комплексного переменного, общая риманова геометрия, некоммутативная алгебра, теория категорий и т.д. [29]. Основные утверждения научных теорий, их исходные законы всегда являются математическими высказываниями — гипотезами о количественной взаимосвязи между определенными переменными.

Какое гносеологическое значение имеет представление законов научных теорий в виде математических гипотез? Главное — максимальная точность и однозначность описания исследуемой предметной области. На эту роль может претендовать только математика с ее языком, потому что именно для этого она и создается. Неизбежным гносеологическим следствием использования такого языка является то, что резко усиливается степень фальсифицируемости законов, сформулированных на языке математических уравнений, ибо чем точнее, чем определеннее некое утверждение (а при континуальной области значений переменных в уравнениях теории степень точности может быть задана какой угодно), тем больше оно подвержено риску быть опровергнутым на опыте. Но утверждение, выдержавшее проверку экспериментом на заявленную точность и определенность, начинает пользоваться у ученых почти безграничным доверием к своей истинности.

Ярким примером в этом отношении может быть судьба двух фундаментальных физических теорий — максвелловской электродинамики и квантовой механики В. Гейзенберга. В обеих теориях законы сформулированы в виде математических уравнений-гипо- тез. Сначала законы теоретической электродинамики Дж. Максвелл записал следующим образом:

где rot Н— напряженность магнитного поля, rot Е— напряженность электрического поля;у — ток проводимости; ЭЕ / Э/-ток смещения.

Главное (и великое!) теоретическое открытие Максвелла связано с введением в электродинамику и физику новой сущности — тока смещения, который он обозначил в первом уравнении в качестве самостоятельного члена dE/dt. Согласно гипотезе Максвелла, полный ток (протекающий по какому-либо телу) состоит из тока проводимости и тока смещения. В связи с этим Максвелл ввел новое понятие — «магнитное поле в окружающем тело пространстве». Магнитное поле вызывается только полным, или истинным, током (равным току проводимости + ток смещения). При этом ток смещения может возникать и в диэлектриках. Отсюда следуют два неожиданных для того времени теоретических предсказания:

• носителем электромагнитных волн может быть и пустое пространство, поэтому электродинамика не нуждается в допущении о существовании эфира как некой материальной среды для распространения в пространстве электромагнитных волн; скорость распространения света должна быть величиной постоянной и инвариантной во всех направлениях его распространения в пространстве, так как свет имеет электромагнитную природу.

Оба этих следствия, вытекающие из математических уравнений Максвелла, не получили экспериментальных подтверждений при его жизни. Поэтому многие физики — современники Максвелла считали его теорию не просто сомнительной, но и ложной, так как большинство из них верило в существование эфира как реальной и абсолютно необходимой физической субстанции [22]. Существование электромагнитных волн было экспериментально подтверждено Г. Герцем, а инвариантность света была доказана лишь в эксперименте Майкельсона—Морли. Окончательную, современную форму уравнениям Максвелла придал О. Хевисайд. Руководствуясь исключительно соображениями симметрии, он ввел в уравнения Максвелла еще один новый член — магнитную проводимость g или магнитный ток. После Хевисайда уравнения электродинамики приобрели абсолютно симметричный вид:

Физики сначала также не приняли уравнения Хевисайда, поскольку в них фигурировала бессмысленная с их точки зрения физическая сущность — магнитный ток. Поэтому долгое время физики пользовались только уравнениями электродинамики самого Максвелла.

Причина введения Максвеллом в уравнения электродинамики тока смещения (которого не было в теории электродинамики его предшественников — Фарадея, Био—Савара и Ампера) состояла в стремлении объединить электростатику и электродинамику в единую физическую теорию, а для этого нужно было объединить статическое электричество и текущее электричество. Связующим звеном между ними стало понятие «ток смещения». Дело в том, что из опытов было хорошо известно, что статическое электричество (притяжение или отталкивание электрических зарядов) осуществляется всегда через диэлектрик (воздух, стекло и др.). Диэлектрики, как и все тела вообще (а не только металлы), также проводят электричество, но просто их проводимость электрического тока очень мала по сравнению, скажем, с проводимостью металлов. В частности, хорошо известен опыт Фарадея с изоляторами: если на них подать электродвижущую силу, то на изоляторах образуются электрические заряды разного знака. Размышления над этим опытом привели Максвелла к необходимости введения тока особого вида — «тока смещения». Ток смещения тем больше, чем быстрее изменяется электродвижущая сила, приложенная к диэлектрику. Так Максвелл «превратил» изолятор (диэлектрик) в «проводник». Но проводник особого тока — тока смещения. В основе уравнений Максвелла лежала идея физической симметрии: перемены в магнитном поле вызывают электрический ток, изменения электрического тока рождают магнитное поле.

Современные математические уравнения классической электродинамики имеют следующий вид:

Как видим, математические гипотезы-уравнения не появляются сразу в окончательном виде, а имеют интенцию к совершенствованию [21, 22].

Ярким примером использования метода математической гипотезы при построении научной теории является создание В. Гейзенбергом в 1926 г. матричного варианта квантовой механики [6]. Он исходил из идеи, что всякий закон природы может быть и должен быть представлен в виде некоторого уравнения. Если есть объективный закон, то должно быть и уравнение, его выражающее. Поэтому главная задача ученого — сформулировать (найти) уравнения, выражающие математическую структуру законов действительности. Более того, Гейзенберг исходил из веры в то, что все законы природы имеют простую математическую структуру: «Трудно указать какое-нибудь прочное основание для этой надежды на простоту, помимо того факта, что до сих пор основные уравнения физики записывались простыми математическими формулами» [22. С. 178].

В 1927 г. Гейзенберг сформулировал знаменитое соотношение — принцип неопределенности квантовой механики:

где dx — неопределенность значения координаты х квантово-механического объекта; dp — неопределенность значения его импульса, fr = 1,056-10-34 Дж-с — приведенная постоянная Планка. Таким образом, согласно уравнению Гейзенберга, произведение dx на dp не может быть меньше постоянной Планка. От этой неопределенности в описании свойств микрообъекта нельзя избавиться в принципе, так как она никак не связана с точностью приборов или со статистической обработкой результатов наблюдения. Согласно соотношению Гейзенберга, эта неопределенность присуща элементарным частицам по самой их природе. Из принципа неопределенности следует, что если одна из сопряженных величин микрообъекта (координата или импульс) является определенной, то вторая будет обязательно неопределенной. Такое же отношение неопределенности имеет место и между другими сопряженными характеристиками микрообъекта, например между его энергией Е и временем существования данного энергетического состояния t

Из этого соотношения также следует, что любые попытки повысить точность измерения одного параметра микрообъекта, т.е. уменьшить его неопределенность, неизбежно приводят к потере точности определения значения другого параметра.

Одним из наиболее активных противников принципа неопределенности Гейзенберга был, как известно, Эйнштейн. Он считал, что эту неопределенность для системы из двух частиц можно обойти. Это доказывал мысленный эксперимент Эйнштейна- Подольского—Розена, суть которого заключается в следующем. Если точно измерить (или задать) один сопряженный параметр у первой частицы (другой параметр при этом может быть неизвестен), а после взаимодействия двух частиц точно измерить другой параметр у второй частицы (первый параметр при этом также может быть неизвестен), то для системы из этих двух частиц (при условии, что в ней выполняются законы сохранения энергии и импульса) неопределенность не должна иметь места [31]. Экспериментальное опровержение мысленного эксперимента Эйнштейна—Подольского—Розена было дано в 1982 г. в опытах группы французских физиков под руководством А. Аспека. Их эксперименты с взаимодействием двух фотонов показали, что квантовая механика с ее принципом неопределенности дает настолько адекватное (и полное!) описание микромира, насколько это возможно. Оказалось, что измерения, выполненные над первым фотоном, мгновенно влияют на результаты измерений над вторым фотоном [13. С. 386—387].

Кроме того, эвристичность соотношения неопределенности Гейзенберга обнаружилась при попытке объяснить в рамках космогонической теории происхождения Вселенной в результате Большого взрыва возможность спонтанных энергетических переходов в первичном квантовом вакууме, где законы общей теории относительности еще не действуют [8,9, 19, 27].

С алгебраической стороны обоснование принципа неопределенности квантовой механики дал М. Борн. Согласно Борну, в уравнениях квантовой механики выполняется закон коммутативности сложения (а + Ь = Ь + а), но не выполняется закон коммутативности умножения, т.е. в квантовой механике для сопряженных величин не действует правило А В = В А, здесь А В ф ВА. Для описания коммутативности умножения в квантовой механике Борн сформулировал знаменитое уравнение

где q — значение координаты элементарной частицы; р — значение ее импульса.

Обобщая рассмотренные выше примеры успешного использования метода математической гипотезы при построении таких фундаментальных физических теорий, как классическая электродинамики Максвелла и квантовая механика Гейзенберга, можно с полным основанием утверждать, что способ представления теоретических законов в виде математических уравнений-гипотез оказался весьма плодотворным при построении научных теорий и в физике, и во многих других областях науки.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >