Полная версия

Главная arrow Философия arrow Методы научного познания

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дедуктивно-аксиоматический метод

Данный метод является основным при построении теорий классической математики (евклидова и неевклидовы геометрии, арифметика натуральных чисел, математический анализ, теория множеств, теория вероятностей, теория структур и т.д.), а также классической логики (исчисление высказываний, исчисление предикатов, вероятностная логика, модальная логика, деонтическая логика и др.). Первой научной теорией, построенной этим методом, стала геометрия Евклида.

Главный смысл дедуктивно-аксиоматического метода в том, что между некоторыми высказываниями теории, принятыми за исходные, базовые, основные (аксиомы теории), и всеми остальными имеющимися или возможными (производными) высказываниями теории устанавливается отношение логической выводимости всех производных высказываний из основных и в конечном счете только из них. Отношение формально-логической выводимости одних высказываний из других часто называют также дедукцией. Соответственно высказывания, логически не выводимые из аксиом при построении теории дедуктивно-аксиоматическим методом, не могут считаться принадлежащими данной теории, даже если они являются истинными и относятся к предмету данной области науки.

Построить теорию дедуктивно-аксиоматическим методом означает установить между всеми ее истинными высказываниями отношение их логического замыкания друг на друга. При установлении такого замыкания научная теория становится: а) логически доказательной системой знания, б) относительно замкнутой и самодостаточной по отношению ко всему остальному знанию, в) способной развиваться на собственной основе. Построение теории дедуктивно-аксиоматическим методом означает не что иное, как логическую редукцию всех ее истинных высказываний, всего истинного содержания только к содержанию ее аксиом.

Между дедуктивным методом и дедуктивно-аксиоматическим методом соотношение таково: всякий дедуктивно-аксиоматический метод является дедуктивным, но отнюдь не всякий дедуктивный метод является аксиоматическим, поскольку отнюдь не обязательно, чтобы посылки любого дедуктивного вывода были бы аксиомами, т.е. исходными положениями теории. Очевидно также, что подавляющее большинство высказываний научной теории, построенной дедуктивно-аксиоматическим способом, — аналитические истины, поскольку их истинность представляет собой следствие их логической выводимости из аксиом теории. Главный познавательно-гносеологический смысл построения теории дедуктивно-аксиоматическим способом в том и состоит, чтобы эффективно решить проблему истинности теории. С этой целью проблема доказательства истинности всех высказываний теории максимально минимизируется и в дальнейшем сводится к проблеме доказательства истинности ее аксиом. Решение последней проблемы может быть осуществлено 4 способами:

  • 1) выведение аксиом теории в качестве следствий (теорем) из другой теории, считающейся истинной;
  • 2) утверждение истинности аксиом теории в силу их интуитивной очевидности для ума благодаря простоте содержания;
  • 3) экспериментальное подтверждение истинности аксиом при их эмпирической интерпретации;
  • 4) принятие аксиом в качестве истинных утверждений условно (на основе конвенции или научного консенсуса).

Все эти способы обоснования истинности аксиом реально использовались и используются в науке. Однако у каждого из них имеются и свои плюсы, и свои недостатки.

Так, при первом способе обоснования истинности аксиом некоторой теории ее истинность оказывается относительной и зависит от истинности той теории, из которой аксиомы могут быть выведены в виде следствий более общей теории. Например, логи- цисты (Б. Рассел, А. Уайтхед и др.) пытались вывести аксиомы арифметики натуральных чисел в качестве теорем логики, но тогда доказательство истинности аксиом арифметики полностью зависело от доказательства истинности соответствующей логической теории. Другой пример такого же рода: Б. Риман показал, что аксиомы евклидовой и неевклидовых геометрий могут быть получены в качестве следствий из общей римановой геометрии, где кривизна пространства является величиной не постоянной, а переменной. Но тогда истинность аксиом евклидовой и неевклидовых геометрий становилась условной, относительной и зависящей от истинности или неистинности общей римановой геометрии. Опасность данной ситуации обусловлена тем, что более общая теория, из которой выведены аксиомы другой теории, может оказаться логически противоречивой. Именно это случилось в конце XIX в., когда аксиомы арифметики натуральных чисел получались в качестве следствий теории множеств Г. Кантора при теоретико-множественном определении натурального числа. Впоследствии в канторовской теории множеств были обнаружены логические противоречия (парадоксы множества всех множеств, наибольшего кардинального числа, множества всех нормальных подмножеств и др.), поэтому от идеи сведения арифметики к теории множеств пришлось временно отказаться.

При обосновании истинности аксиом теории вторым способом — путем апелляции к интуитивной очевидности для разума — также возникают серьезные проблемы, хотя именно так обосновывали в течение долгого времени, начиная с античности, истинность аксиом евклидовой геометрии (Евклид, Аристотель, Р. Декарт, И. Кант и др.). Подобное обоснование истинности аксиом евклидовой геометрии встречается и сегодня во многих учебниках при изложении содержания евклидовой геометрии. Евклид положил в основу построенной им дедуктивно-аксиоматическим способом геометрии пять следующих аксиом: 1) отрезок прямой может быть продолжен в обе стороны сколь угодно далеко; 2) все прямые углы равны; 3) из точки, как из центра, может быть проведена окружность любого радиуса; 4) две точки всегда могут быть соединены прямой линией; 5) если две прямые на плоскости пересечены третьей прямой, то они пересекутся с той стороны третьей прямой, где сумма внутренних односторонних углов, образуемых ею с этими прямыми, меньше 180°.

Из этих пяти аксиом Евклидом были выведены в качестве следствий и тем самым доказаны более 300 других утверждений геометрии (планиметрии и стереометрии). Например, что сумма углов любого треугольника равна 180°; что площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту; что диагонали прямоугольника равны; что два перпендикуляра к одной прямой при их продолжении никогда не пересекутся; что длина любой окружности равна 2лR, что площадь любого круга равна л/?2; что л равно 3,1415... и т.д. [23]. При этом Евклид полагал, что истинность аксиом его геометрии интуитивно очевидна для разума, хотя при этом истинность большинства из ее теорем вовсе не является таковой. Например, истинность теоремы Пифагора о соотношении гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника вовсе непосредственно не очевидна для разума, поэтому требует доказательства путем логического выведения в качестве следствия из очевидно истинных аксиом геометрии.

Отметим то обстоятельство, что сами исходные утверждения теории — ее аксиомы — не обязательно должны состоять только из исходных понятий и исходных объектов теории. Как правило, в аксиомы теории входят понятия об исходных объектах теории и о производных объектах. Например, в аксиомах Евклида встречаются следующие понятия и объекты: прямой угол, окружность, внутренние односторонние углы. Это — не исходные, а производные понятия и объекты евклидовой геометрии. Таким образом, редукция производных понятий теории к ее исходным понятиям и редукция производных утверждений теории к ее исходным утверждениям (аксиомам) являются относительно самостоятельными и относительно независимыми друг от друга стратегиями и линиями действия при дедуктивно-аксиоматическом способе построения научной теории.

Но насколько интуитивно очевидными для разума являются аксиомы евклидовой геометрии? У математиков действительно никогда не возникало сомнения в очевидной истинности для разума первых четырех аксиом благодаря исключительной простоте и ясности их содержания. При этом их истинность очевидна именно для мышления, а вовсе не для чувств, поскольку для последних далеко не очевидно, что отрезок любой прямой всегда может быть продолжен сколь угодно далеко, как и то, что из некоторой точки как центра можно всегда провести окружность любого радиуса. Это связано с тем, что для чувств очевидны: а) только тела конечных, достаточно небольших размеров и б) наличие материальных ограничений для любых действий в реальном пространстве.

Пятый постулат в отличие от первых четырех аксиом геометрии Евклида всегда вызывал у математиков сомнение в его очевидной истинности для разума. Поэтому не случайно, что начиная с самого евклида и вплоть до открытия и принятия неевклидовых геометрий в середине XIX в. постоянно предпринимались попытки вывести этот менее очевидный постулат из первых четырех, т.е. доказать его как теорему и таким образом перевести в ранг производных истинных высказываний евклидовой геометрии. Более того, сама евклидова геометрия имела своей первоначальной задачей только доказательство необходимости пятого постулата среди других аксиом. Путь к этому видели один — доказательство логической противоречивости системы геометрических аксиом, в которых пятый постулат Евклида был заменен его отрицанием. Для этого были предприняты шаги по замене пятого постулата Евклида на тождественное по содержанию, но при этом более простое для мысленного восприятия высказывание. Таких эквивалентных и наиболее простых замен постулату о параллельных было предложено две: 1) через точку на плоскости нельзя провести более одной прямой, параллельной данной прямой; 2) через точку на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Именно в последней версии постулат о параллельных начиная с XVIII в. входит во все учебники по геометрии [11]. При этом под параллельными понимались прямые линии, которые при их бесконечном продолжении никогда не пересекутся. Вторую замену пятого постулата Декарт и Кант считали столь же очевидной для разума, как и истинность четырех остальных постулатов геометрии Евклида.

Для ряда философов и математиков, например Лейбница, Саккери, Ламберта, Гаусса, Лобачевского, постулат Евклида о параллельных не казался очевидно истинным для разума. Сомнения в его истинности в конечном счете привели к созданию неевклидовых геометрий. Первопроходцами на этом пути стали русский математик Н.И. Лобачевский и венгр Я. Бойяи, построившие первые системы неевклидовых геометрий (так называемые параболические геометрии). В этих геометриях пятый постулат гласил, что через точку на плоскости по отношению к данной прямой можно провести более одной параллельной ей прямой. Это явилось свидетельством того, что: а) интуитивная очевидность аксиом научной теории не может рассматриваться в качестве критерия их истинности; б) интуитивная очевидность не является чем-то общезначимым и, следовательно, объективным; в) интуитивная очевидность формируется в процессе обучения и убеждения и является во многом делом привычки; г) интуитивная очевидность не является необходимым свойством аксиом, т.е. исходных соотношений теории. Более того, как убедительно показал опыт построения различных теорий, различение в них исходных и производных высказываний во многом является условным, относительным и конвенциональным. Например, в геометрии Евклида в качестве пятого постулата можно принять утверждение: сумма углов любого треугольника равна 2к. В такой системе евклидовой геометрии утверждение о том, что на плоскости через точку по отношению к данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной, выводится как теорема. Короче говоря, в любой дедуктивно-аксиоматической теории многие аксиомы и теоремы можно менять местами и достигать при этом каждый раз логического замыкания всех истинных высказываний теории друг на друга. В целом при аксиоматическом способе построения теории на роли аксиом стараются выбрать содержательно наиболее простые высказывания из всех истинных высказываний теории, а содержательно более сложные вывести из них в качестве логических следствий (теорем).

В логических теориях критерием истинности аксиом является их логическая форма, которая при любом содержании высказываний всегда гарантирует их истинность [13, 30]. Например, такие аксиомы исчисления высказываний, как (ab)z>a, a^iavjb), ava, (az)b)z)(b z> а), всегда истинны в силу логической формы независимо от содержания входящих в эти аксиомы элементарных высказываний а и Ь. Истинность исходных принципов и аксиом конкретно-научных, естественно-научных или социально-гуманитарных теорий обычно принимается условно на основе конвенции и как бы отпускается им в кредит [11]. Впоследствии аксиомы теории должны будут оправдать этот кредит путем логического развертывания всего содержания теории из ее аксиом, а также теоретического и практического использования теории в качестве полезного инструмента систематизации, предсказания и роста научного знания. Однако это не означает, что процесс введения аксиом в ту или иную теорию произволен и никак не детерминирован.

Во-первых, кандидаты на роль аксиом той или иной теории выбираются среди множества уже имеющихся высказываний той или иной научной дисциплины, истинность многих из которых была подтверждена ранее эмпирическим путем. Например, при аксиоматическом построении евклидовой геометрии в Древней Греции многие проверенные на практике геометрические положения были заимствованы античными математиками из арсенала геометрических знаний древних египтян. Закон всемирного тяготения, принцип инерции и пропорциональная зависимость ускорения тела от приложенной к нему силы, ставшие аксиомами классической механики, также были известны ученым и имели опытное подтверждение до построения механики И. Ньютона [21,24].

Во-вторых, самый трудный и творческий момент — выбор ученым некоторых из известных истин в качестве аксиом разрабатываемой им теории также не является абсолютно произвольным и никак не регулируемым волевым актом исследователя. Воля исследователя достаточно жестко детерминирована — подобрать в качестве аксиом такое небольшое число истинных высказываний, из которых все остальные истинные высказывания теории следовали бы с необходимостью (логической или конструктивной). Однако ниоткуда не следует, что такая задача в каждом конкретном случае имеет положительное решение. Здесь надежда только на комбинаторную работу, талант и удачу исследователя. Так, в своих воспоминаниях о поиске аксиом (основных законов) небесной механики И. Кеплер утверждал, что он перепробовал около 70 вариантов основных законов этой теории и только после этого огромного труда удача снизошла до него [22]. Сам Кеплер считал, что она была дарована ему Богом, любовь к которому и вера в совершенную мудрость Творца при создании природы не покидали ученого в течение всей жизни. Благодарность к Богу за его помощь выразил также Ньютон, когда (о чудо!) открытые до создания механики Ньютона законы Кеплера неожиданно появились в качестве логических следствий аксиом его механики [24]. Такие результаты напряженных поисков и последующие неожиданные совпадения работающих независимо друг от друга ученых действительно вряд ли можно объяснить простой случайностью или чистой удачей. Более вероятно предположить наличие объективной логики развития научного знания, которая необходимым образом включает в себя не только удачные поиски и попытки, но и неудачные. Правда, об этих неудачах ни ученые, ни стандартная история науки не очень любят говорить, видимо, считая это обычными и неизбежными издержками любой творческой деятельности, в том числе научной.

В-третьих, для полного доказательства того, что некоторые положения теории, выдвинутые в качестве ее аксиом, являются действительно необходимым и достаточным основанием некоторой теории, претендующей на дедуктивно-аксиоматический и логический характер, требуется (как об этом убедительно свидетельствует история науки) значительное время и усилия многих поколений ученых, работающих в соответствующей области науки.

Наиболее яркие свидетельства, доказывающие справедливость данного утверждения, дает прежде всего история математики, где эта проблема ставится и решается более строго, чем в остальных областях научного знания. Рассмотрим в связи с этим примеры с евклидовой геометрией, арифметикой натуральных чисел и теорией вероятности, самыми простыми и вместе с тем самыми основополагающими теориями всей математики.

После построения Евклидом геометрии дедуктивно-аксиоматическим способом среди математиков почти до конца XIX в. царило убеждение, что она является строго (логически) доказательной системой, что ее основу составляют пять известных аксиом, что эти аксиомы образуют необходимую и достаточную основу логического выведения из них всех остальных истинных высказываний этой теории. Данная теория на протяжении 20 веков считалась парадигмальной для построения теорий во всех других областях науки. Как известно, Ньютон сознательно исходил из такой установки при построении своей теории механического движения, а Б. Спиноза — при построении этической теории. Даже тогда, когда в 1830-е гг. были построены системы неевклидовых геометрий, убеждение в необходимости и достаточности (полноты) системы аксиом евклидовой геометрии было не только не поколеблено, но скорее даже укрепилось. Так, из этой веры вытекало убеждение в том, что и система аксиом геометрии Лобачевского, также состоящая из пяти аксиом, хотя и является альтернативой геометрии Евклида, однако служит для неевклидовой геометрии необходимой и достаточной основой доказательства всех ее теорем. Правда, историки математики, да и сам Евклид, были склонны считать, что число аксиом евклидовой геометрии больше пяти, так как в это число необходимо включить не только чисто геометрические положения, но и ряд правил вывода, имеющих не геометрическое содержание, а скорее логическое, а также алгебраическое. Таких аксиом в системе Евклида было девять. Приведем некоторые из них: «Если к равным прибавить или отнять равное, то получим равное», «Если все точки двух фигур при их наложении (совмещении) совпадают, то эти фигуры равны», «Если А = В, а В = С, то А = С», «Если Аф В и А + С = D, то В + Сф D» [23, 26. С. 303—305]. Вторая из упомянутых выше аксиом впоследствии получила название аксиомы движения, а третья является логическим правилом, известным как правило подстановки. Таким образом, полная система аксиом евклидовой геометрии состояла не из пяти утверждений, как долгое время утверждали все традиционные учебники геометрии, а по меньшей мере из 14 [11]. При этом аксиома движения — это явно геометрическое по содержанию высказывание, поскольку в ней речь идет о геометрических фигурах. Кстати, если это признать, тогда становится непонятным статус аксиомы Евклида, утверждающей, что все прямые углы равны, ибо она может быть выведена как одно из следствий аксиомы движения, но тогда надобность в ней как аксиоме отпадает. Аналогичные рассуждения и аргументы в отношении неопределенного числа аксиом можно высказать и по поводу неевклидовых геометрий Лобачевского, Бойяи и Римана.

Строгое доказательство того, что система аксиом Евклида была заведомо неполной, даже если учесть оговорки самого Евклида и его комментаторов, осуществил Д. Гильберт в 1899 г. [7]. Доказательство Гильберта означало, что геометрия и самого Евклида, и та, которая излагалась и излагается еще сегодня во всех школьных учебниках геометрии, не являются строго доказательными теориями.

При доказательстве многих теорем неявно (так сказать, «контрабандой») используются положения, которые не являются заявленными аксиомами и не вытекают из последних в качестве следствий, что противоречит самой идее дедуктивно-аксиоматического способа построения знания. Так, в евклидовой геометрии никак не было аксиоматически задано содержание таких геометрических свойств и понятий, как «принадлежать», «находиться на», «пересекаться», «быть непрерывными» и др. Но эти понятия использовались при описании геометрических объектов и доказательстве соответствующих утверждений о них. Такую ситуацию объясняет то, что евклидова геометрия была содержательной системой знания, а всякая содержательная система неминуемо опирается на интуицию, источником которой во многом является некий пласт неявного, лишь подразумеваемого знания, а это в корне противоречит самой идее строго доказательного знания. Такое положение дел было обусловлено тем, что сама геометрия понималась во многом как физика, как наука о реальном, видимом пространстве. Поэтому при доказательстве многих геометрических положений использовались (якобы только для наглядности) чертежи, а вместе с ними неизбежно вводился неопределенный и нефиксируемый пласт неявного знания. Например, при построении с помощью чертежей прямых линий и плоскостей как бы само собой подразумевалось такое их свойство, как непрерывность. Но вообще-то ничто не мешает нам представлять линии как прерывистые и плоскости как имеющие дырки; более того, для таких объектов с определенной повторяемостью или фиксированной структурой дырок может быть построена своя геометрия. Отсюда Гильберт сделал глубокий и решительный для математики вывод: аксиоматическое построение любой теории возможно только при условии полного отвлечения от содержания ее понятий и их жесткой связи с какой-либо конкретной областью их значений. Чтобы достичь этого, существует только один путь — формализация имеющейся содержательной теории, отображение ее высказываний на некотором формальном (символическом) языке, короче говоря, построение для содержательной теории ее формализованной модели. Конечно, в формализованной теории также имеется определенное содержание, но это содержание ограничено только распознаванием символов и строк символов, способностью их различения и отождествления, а также умением отличать правильно построенные строки символов, разрешенных в данной формальной системе конструкций, от неправильных, незаконных строк символов. При таком подходе полностью исключается использование конкретной содержательной интуиции при употреблении тех или иных понятий теории, ибо понятия превращаются или отображаются в символы, которые требуют для своей фиксации в качестве объектов лишь их чувственное восприятие. Осуществив формализацию содержательной (но не логической) части традиционной евклидовой геометрии, Гильберт показал, что дедуктивно-аксиоматическое логически доказательное построение этой теории требует введения не менее 20 аксиом, а не 5 или даже 14, как думали все геометры до Гильберта. Гильберт ввел пять групп аксиом. Аксиомы каждой из групп описывают вполне определенные геометрические свойства и отношения между объектами. Так, первая группа из 8 аксиом — это аксиомы «принадлежности», вторая группа из 4 аксиом — аксиомы «порядка», третья группа из 5 аксиом описывает отношение «равенства», «конгруэнтности», четвертая группа состоит только из одной аксиомы — аксиомы о параллельности, пятая группа из двух аксиом определяет отношение «непрерывности». Оценивая построенную систему евклидовой геометрии, Гильберт подчеркивал, что и она в строгом смысле не является дедуктивно-аксиоматической, так как в ней отсутствуют в явном виде перечень и описание правил логического вывода, только в соответствии с которыми разрешается осуществлять переход от аксиом к теоремам, от одних теорем к другим как их следствиям и т.д. Чтобы построить евклидову геометрию как полностью дедуктивно-аксиоматическую систему, необходимо формализовать не только геометрическую часть этой системы, но и логическую. Для этого и правила логики нужно выразить в чисто символической форме, что позволит полностью избежать психологизма в понимании логических выводов как деятельности мышления или рассудка. Рассмотренный случай дедуктивно-аксиоматического построения евклидовой геометрии четко показывает, что такого рода построение теории не появляется внезапно и сразу, как Афродита из морской пены, а требует большого исторического промежутка времени и значительных усилий нескольких поколений исследователей.

Попытки математиков построить дедуктивно-аксиоматическим методом другую фундаментальную математическую теорию — арифметику натуральных чисел — подтверждают этот тезис. Примечательно, что при большей простоте арифметики натуральных чисел по сравнению с евклидовой геометрией попытки изложения ее содержания дедуктивно-аксиоматическим способом (логически доказательным образом) были предприняты только в конце XIX в., т.е. спустя более 2000 лет после появления дедуктивно-аксиоматической системы геометрии Евклида.

Одну из первых попыток дедуктивно-аксиоматического построения арифметики предпринял также Гильберт. По аналогии с аксиоматическим построением евклидовой геометрии Гильберт также разбивает в целях лучшего обозрения и простоты все введенные им 18 аксиом на четыре группы:

/. Аксиомы соединения.

/,. Из числа а и числа b при помощи «сложения» получается вполне определенное число с, что обозначается так:

а + b = с или Ь + а = с.

/2. Для любых двух чисел а и b существует одно и только одно число х, для которого а + х = Ь, а также одно и только одно число у для которого уb = а .

/3. Существует некоторое вполне определенное число, которое называют 0, такое, что для любого а как а + 0 = а, так и 0 + а = а.

/4. Из числа а и числа b получается некоторым другим способом, посредством «умножения», некоторое определенное число с, что обозначается так: ab = с или с = ab.

/5. Для любых двух чисел а и Ь, причем число сне 0, существует одно и только одно число х, для которого ах = Ь, и одно и только одно число у, для которого уа = Ь.

/6. Существует некоторое вполне определенное число, которое называют 1, такое, что для любого а как а-1 = а, так и 1 а = а.

II. Вычислительные аксиомы.

Для любых чисел а, b, с имеют место следующие равенства:

//). а + + с) = + Ь) + с ассоциативный закон сложения.

//2. а + b = b + а коммутативный закон сложения.

//3. a(bc) = (ab)c ассоциативный закон умножения.

//4. а(Ь + с) = ab + ас дистрибутивность сложения относительно умножения слева.

//5. (а + Ь)с = ас + Ьс дистрибутивность сложения относительно умножения справа.

//6. ab =Ьа коммутативный закон умножения

III. Аксиомы порядка.

///,. Из любых двух отличных друг от друга чисел awb всегда одно число (например, а больше (>) другого; про это последнее также говорят, что оно меньше первого. Это обозначается так: а> b или Ь< а.

Ни для какого числа а не может иметь место соотношение а > а. Ш2. Если а > b и b > с, то а > с.

///3. Если а> Ь, тоа + с>Ь + сис + а>с+Ь.

///4. Если а > b и с > 0, то ас > Ьс и са > cb.

IV. Аксиомы непрерывности.

/К, (аксиома Архимеда). Пусть а > 0 и b > 0 — любые два числа; в таком случае всегда можно число а повторить слагаемым столь большое число раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма обладала свойством:

IV2 (аксиома полноты). К системе чисел невозможно присоединить никакой другой системы вещей так, чтобы в системе, образовавшейся в результате этого присоединения, при сохранении прежних соотношений между числами, выполнялись бы все аксиомы!, II, III, I Vj; короче, числа образуют такую систему вещей, которая при сохранении всех взаимоотношений и всех указанных выше аксиом не поддается никакому расширению.

Предложенная Гильбертом система аксиом арифметики оказалась полной, однако вместе с тем избыточной. На это обращал внимание сам Гильберт, так как некоторые из 18 аксиом могли быть получены в качестве следствий из других аксиом системы, т.е. не являлись независимыми.

Например, аксиома /3 есть следствие аксиом 1Ь /2 и П{;

аксиома /6 есть следствие аксиом /4, /5 и //3;

аксиома П2 следствие аксиом /4, //,, //4, //5;

аксиома 7/6 — следствие аксиом /, //,_5, ///, IV [7. С. 317—319].

Первоначально система арифметики имела своим основание следующие четыре аксиомы:

  • 1) нуль есть число;
  • 2) если а — число, то а' также является числом;
  • 3) из а' = Ь' следует а = Ь;
  • 4) для всякого а, а' ф 0.

Здесь символ а' означает «непосредственно следующий за а».

Однако позже было показано, что система аксиом 1 —4 не является полной для арифметики натуральных чисел, так как в ней не дано определение равенства чисел, для чего необходимо ввести еще четыре аксиомы:

  • 5) а + 0 = а;
  • 6) а + и' = + и)'
  • 7) а-0 = 0;
  • 8) а-и' = (а-и) + а.

Но и система из 8 аксиом оказалась неполной. Требовалось ввести аксиому математической индукции, с помощью которой можно доказывать универсальные суждения о некоторых свойствах чисел.

Аксиома индукции имеет вид:

где А — некоторое свойство натурального числа (например, «быть четным числом», «быть нечетным числом», «быть простым числом» и т.д.); 0 — нуль;' — «следующий за»; а — любое (всякое) натуральное число; -> знак логического следования.

Таким образом, оказалось, что полная система аксиом арифметики натуральных чисел (без правил логики) должна состоять по меньшей мере из 9 высказываний.

Только в 1930-х гг. была предпринята попытка построить дедуктивно-аксиоматическим способом такую математическую дисциплину, как теория вероятностей, — основу математической статистики и всех статистических конкретно-научных теорий — от термодинамики до квантовой механики, биологии, генетики, лингвистики, социологии и других научных теорий, пришедших в XX в. на смену классическим детерминистским теориям. Большую подготовительную работу для решающего шага в аксиоматическом построении теории вероятностей осуществили Гиббс, Рейхенбах, Борель, Смолуховский, русский и советский математик Бернштейн. Выдающемуся отечественному математику акад. А.Н. Колмогорову удалось завершить их работу и поставить в 1930-х гг. победную точку в решении этой проблемы. Успех был основан на формально-аксиоматическом подходе к определению вероятности как некоторой специфической математической функции; ее свойства задаются небольшим списком аксиом, в которых фигурируют символы этой функции, благодаря чему дается лишь неявное определение вероятности и она освобождается от различных возможных конкретных ее интерпретаций, обусловленных разными сферами применения [14].

В построенной Колмогоровым аксиоматической теории вероятности сначала вводится понятие (математический конструкт) «множество (пространство) случайных событий». Под случайными событиями понимаются такие, которые могут произойти, а могут и не произойти. Вероятность — это действительное число в интервале {0,1}, которое является значением меры, а именно степени возможности некоторого случайного события при определенных условиях. Формально вероятностьр понималась как математическая функция, подчиняющаяся следующим аксиомам:

Г)0<р(А)< 1;

  • 2) р(А + В) = р(А) + р(В), где А и В — независимые друг от друга случайные события;
  • 3) р{А +_А) = 1 — вероятность необходимого события;
  • 4) р(А А) = 0 — вероятность невозможного события [ 14].

Таким образом, при формально-аксиоматическом построении теории вероятностей вероятность не определяется явным образом точно так же, как не определялись явным образом понятия точки, прямой и плоскости в формально-аксиоматической системе евклидовой геометрии Гильберта. С точки зрения применимости аксиоматической теории вероятностей под вероятностью можно и должно понимать любое реальное отношение, свойства которого отвечают аксиомам исчисления вероятности. Как оказалось, это может быть не только «относительная частота» одних событий по отношению к другому классу событий, но и «степень объективной возможности» реализации некоторого свойства при определенных условиях, и «степень подтверждения» одного высказывания (гипотезы) другими высказываниями (данными), и «степень уверенности» субъекта в истинности некоторой гипотезы или в наступлении некоторого события. Благодаря аксиоматическому определению вероятности удалось примирить альтернативные понимания вероятности и показать, что они не исключают, а дополняют друг друга, будучи одинаково законными интерпретациями и способами применения аксиоматически определенного понятия вероятности [17]. Таким образом, при аксиоматическом построении теории появляется возможность не противопоставлять различные традиции в истолковании тех или иных понятий и категорий науки, а примирять их. Познавательная деятельность, направленная на синтез научного знания, оказывается одной из важных гносеологических особенностей и функций теорий, построенных дедуктивно-аксиоматическим методом, разумеется, при той существенной оговорке, что любой синтез никогда не может быть ни полным, ни окончательным в пределах одной теории. Любая теория, как и оптический прибор, всегда имеет определенные возможности и одновременно свой предел «гносеологического разрешения», свои границы и интервал адекватности получаемого отображения действительности. Правда, и здесь имеется одно приятное для человеческой гордыни исключение. Этим исключением являются математическая логика и две ее фундаментальные теории — исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка (терминов, обозначающих только свойства предметов, но не их отношения, так называемых одноместных предикатов). В отношении этих аксиоматически построенных логических теорий в 1930-х и 1940-х гг.

были строго доказаны: а) их абсолютная полнота и б) их (синтаксическая) непротиворечивость [13, 30]. Правда, столь же строго была доказана принципиальная неполнота и неразрешимость более сложных теорий математической логики, имеющих дело с двухместными и более местными предикатами, а также с предикатами, обозначающими различного рода модальности (возможно, вероятно, должно, временно, случайно, необходимо и др.). Но все же фундаментальное основание формальной логики как науки о выводе оказалось надежным в абсолютном смысле этого слова [13].

Таким образом, дедуктивно-аксиоматический способ построения научных теорий используется в основном в математике и логике. Это имеет свою причину — то, что математическое и логическое знание является имманентным продуктом мышления, артефактическим продуктом его конструктивной деятельности, а поэтому имеющим в своей массе характер аналитических истин, за исключением относительно небольшого числа математических высказываний, выступающих в роли аксиом математических теорий. Истории науки известен лишь один серьезный прецедент построения научной теории дедуктивно-аксиоматическим способом вне математики и логики — классическая механика Ньютона. Конечно, при этом речь не идет о всей классической механике, опирающейся в своих многочисленных теоретических построениях (гидродинамика, термодинамика, теория колебаний, сопротивление материалов, аэродинамика, инженерная теоретическая механика и др.) на механику Ньютона и ее аксиомы. Как показал В.С. Стёпин в отношении некоторых разделов классической механики, названных выше, они не могут быть рассмотрены как дедуктивные (логические) следствия механики Ньютона, так как вводят по отношению к ней новое содержание. Но сама классическая механика Ньютона с ее тремя законами движения и взаимодействия материальных точек в евклидовом пространстве и евклидовом времени безусловно является дедуктивно-аксиоматической системой. Полна ли эта система аксиом, представленная законами и принципами механики Ньютона, это уже другой вопрос. Сегодня осознание неполноты механики Ньютона никого не может напугать с практической или философской точек зрения, когда мы узнали, что даже геометрия Евклида, как показал Гильберт, была довольно далека от идеала полноты и чисто логической доказательности. Все дело в достижении определенных положительных результатов на избранном пути.

Рассмотрим, в чем отличие механики Ньютона как аксиоматической системы от математических теорий, построенных дедуктивно-аксиоматическим методом.

Будем реконструировать только физическую (но не логическую) часть аксиоматики механики Ньютона. Тогда список основополагающих (аксиоматических) утверждений этой теории может быть представлен следующим образом:

  • 1) материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на нее не действуют никакие силы (принцип инерции);
  • 2) F = та-ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе;
  • 3) F = -FA-любое воздействие на материальную точку вызывает с ее стороны равное по силе противодействие;
  • 4) F -gm{m2/r2 - закон гравитации: между материальными точками всегда действует сила их притяжения друг к другу, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними;
  • 5) принцип дальнодействия — воздействие одной материальной точки на другую передается мгновенно, т.е. с бесконечной скоростью;
  • 6) структура физического пространства, в котором происходят движение и взаимодействие материальных точек, является евклидовой;
  • 7) время абсолютно одинаково во всех системах отсчета, поэтому возможна абсолютная одновременность событий во всех системах отсчета;
  • 8) скорость движения тела не влияет на его пространственные и временные характеристики;
  • 9) пространство, время и материя — это три независимые субстанции, которые взаимосвязаны лишь внешним образом;
  • 10) все законы движения и взаимодействия материальных точек тождественны во всех инерциальных системах отсчета (принцип относительности).

Каждая из сформулированных аксиом является абсолютно необходимым элементом базисной структуры классической механики Ньютона. Все вместе они полностью описывают любые движения и взаимодействия материальных точек. В качестве логических следствий аксиом механики Ньютона были получены законы архимедовой статики, небесной механики Кеплера, законы соударения тел, законы упругости и др.

При осмыслении механики Ньютона как физической теории, построенной дедуктивно-аксиоматическим методом, необходимо обратить внимание на три момента. Первый: объектом классической механики является специфический идеальный объект, а именно материальная точка (объект, имеющий массу, но абсолютно лишенный какой-либо протяженности). Второй: движение материальной точки и ее взаимодействие с другими материальными точками происходят в евклидовом пространстве, т.е. в идеальном пространстве геометрической теории. Третий: одна из аксиом механики Ньютона имеет характер закона (закон тяготения), в который входит некая физическая константа, определяемая (вычисляемая) опытным путем на основе множественных экспериментов и называемая гравитационной постоянной G= 6,67-10-11 м3кг-|с-2.

Таким образом, одна из аксиом механики Ньютона не имеет чисто теоретического содержания, а включает в себя эмпирический компонент, удостоверенный опытом. Данная аксиома (закон гравитации) не позволяет трактовать механику Ньютона как чисто математическую теорию движения материальной точки. Именно такую трактовку механики Ньютона как чисто математической конструкции давали в свое время Дж. Беркли и Э. Мах [20]. Механика Ньютона — это физико-математическая конструкция, синтез чисто мысленного (идеального) и экспериментального содержания. В этом состоит главное отличие математических теорий от физических и других конкретно-научных теорий. Последние всегда наряду с идеализированным содержанием включают в свой состав определенные компоненты эмпирического знания. Сколько их, каковы они и каков их вес в структуре физических и других конкретно-научных теорий — это уже другой вопрос и он не имеет однозначного решения. Но столь же неверной является позиция позитивистов, которые в реальных конкретно-научных теориях не замечают их идеального содержания и пытаются трактовать их как совокупность законов, имеющих исключительно эмпирическое содержание. В противоположность позитивизму можно утверждать, что в отличие от математики любая физическая теория, как и другие конкретно-научные теории, всегда, так сказать, «одной ногой стоит на земле», чувствуя под собой конкретную и твердую опору опыта и находясь в определенной зависимости от него. Любое число идеальных объектов теории имеет полное оправдание только в том случае, если их введение не расшатывает опору, а находится с ней в гармоническом единстве или даже укрепляет ее. Таким образом, в отличие от математических теорий любая конкретно-научная теория, построенная дедуктивно-аксиоматическим методом, всегда подразумевает свою вполне определенную интерпретацию и конкретную область применения к миру «вещей в себе».

Именно поэтому из конкретно-научных теорий могут быть выведены эмпирические следствия, которые потом подтверждает или опровергает наблюдение или эксперимент. Как известно, в качестве таких следствий из механики Ньютона были получены предсказания о силе взаимодействия Земли и Луны, объяснены причины приливов и отливов океанов на Земле, а также приплюснутость Земли к полюсам. Эти предсказания теории полностью совпали с наблюдениями [24].

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>