Математические модели распространения загрязнений в атмосфере

Распространение загрязнений веществ в жидких и газовых средах определяется двумя основными процессами: конвективным переносом вследствие осредненного движения среды и диффузией за счет турбулентности. Поэтому математическая модель должна правильно описывать как поле средних скоростей, так и характеристики турбулентной диффузии.

Система аналитических уравнений, описывающих во времени все детали эволюции поля скоростей и концентраций в практической задаче, не может быть решена при помощи современных вычислительных средств. Единственный экономически оправданный выход состоит в решении уравнений осредненного движения, которыми определяется распределение осредненных по времени величин. Обычно только средние величины и имеют практический смысл. При этом время осреднения должно быть много больше временного масштаба турбулентности, но много меньше временного масштаба осредненного течения (например, суточного цикла в пограничном слое атмосферы). Уравнения осредненного движения содержат члены, описывающие турбулентный перенос. Для замыкания системы уравнений (т.е. для ее решения) эти члены должны быть аппроксимированы с использованием определенной модели турбулентности. Основное требование к таким моделям: они должны быть относительно просты и пригодны для практических расчетов и в то же время учитывать наиболее существенные факторы, определяющие рассеяние загрязняющих веществ.

Рассмотрим общую прикладную модель распространения атмосферных загрязнений, учитывающую оседание частиц и вымывание частиц из атмосферы. Примешанное к воздуху загрязнение распространяется в атмосфере от его источника благодаря диффузии, ветру турбулентности и крупномасштабным воздушным течениям. При этом частицы аэрозоля могут постепенно оседать, если имеют заметную скорость падения и могут захватываться частицами туманов и осадков.

Уравнение переноса лёгких, не имеющих заметной скорости падения частиц, а также газа, концентрацию которого обозначим q, зависит от коэффициентов турбулентной диффузии по осям х, у, z, обозначаемых через Кх, Ку, Kz и от составляющих скорости течения воздуха u, v, w и имеет вид:

где а - коэффициент, описывающий скорость распада, например, радиационного.

Если ось X направлена вдоль ветра и распространение стационарно, то это уравнение принимает вид:

При наличии ветра можно пренебречь членом с Кх, учитывающим турбулентную диффузию по оси X, поскольку в этом направлении диффузионный поток примеси значительно меньше адвективного.

Граничные условия для второго уравнения:

если поверхность земли или воды целиком поглощает примесь:

если частицы примеси, упавшие на землю, могут снова уноситься ветром (как бы отражаются от земли):

Если источник примеси, дающий G кг/с, расположен на высоте Н, то простейшее решение при постоянных Ку Кх, Kz имеет вид:

причём поглощению соответствует минус (q0 = 0), а отражению - плюс. При отражении наибольшая концентрация qm - у поверхности земли (z =

0) и расстояние хт:

где qm быстро уменьшается с ростом высоты источника.

Для уточнения учитывают, что коэффициент вертикальной диффузии Kz и скорость ветра возрастают с высотой:

Математическое описание оседания частиц. Если рассматривают тяжёлую примесь - частицы аэрозоля, имеющие заметную скорость падения V, то нужно учесть стоксову силу сопротивления воздуха падающей шарообразной частицы. Стоксова сила равна:

где р - коэффициент вязкости воздуха, равный l,717(l+0,00288t)10'5 кг/м-с, не зависит от давления.

При установившемся движении F уравновешивается весом частицы:

где р - плотность вещества,

Рв - плотность воздуха.

Тогда У0:

При плотности р = 10 кг/м3, Со =1,268Т08м"'с'1 и Vo почти не зависит от высоты в атмосфере. При другом значении р Со пропорционально р - гв.

Для крупных частиц F возрастает в отношении (l+3Re/16), значение V0 будет меньше.

Re - число Рейнольдса равно:

Если воздух разряжен и длина свободного пробега молекул 1 велика (в верхней атмосфере), так, что г < 1, то столкновения частицы с молекулами редки и в промежутке между ними частица набирает большую скорость падения - начинается её «скольжение».

Приближенно 1 ~ 1о(ро/р), 1о=6,5ТО'8 м.

При г < 1 вводится поправка Кеннингема: где А=0,864, В=0,9, 01,25.

Видно, что частицы вулканического пепла, оседающего из стратосферы в течение месяцев, должны быть мелки. При г = 0,1 мкм они оседают на 40 м в сутки. Для больших значений 1/г в ещё более высоких слоях V пропорциональна В1/г. При учёте величины V во втором уравнении - aq заменяется на

Сравнение двух последних членов во втором уравнении показывает приближенно, что скоростью падения нельзя пренебрегать, если V > Kz/L, где L - характерный размер явления, например высота.

Для тяжёлой примеси значение хт меньше, а qm больше, чем для лёгкой.

Математические описания вымывания примеси. Вымывание примеси может происходить за счёт поглощения её каплями тумана или частицами осадков,тогда

где Р(г) - количество примеси, поглощаемой каплей радиуса г,

N(r) - функция распределений.

Для газовой примеси, поглощаемой полностью на поверхности капли:

где D - коэффициент диффузии примеси.

Снежинки, имеющие большой эффективный радиус г, поглощают особо сильно. Если капля или снежинка падают с заметной скоростью, то функция Р(г) принимает вид:

и очищающая роль дождя или снега увеличится.

Коэффициент вымывания а равен: 3- 10'V1 - для дождя; fMO’V1 - для

снега.

Метеорологические условия распространения примесей. Благоприятен для накопления примесей приземный слой воздуха, в котором V ~ 0 и, соответственно, мало значение Kz - слаба турбулентность. Обычно такие слои тонки. В затишье выпадение усиливается и происходит ближе к источнику, чем при нормальной стратификации ветра.

Большое влияние имеют инверсии: приземные, образующиеся в ночные и утренние часы и приподнятые, с нижней границей на высоте Нн.

Кроме ослабления ветра в инверсии убывает коэффициент турбулентности Kz:

где Ri - число Ричардсона, которое равно

Большое значение величины Нн увеличивает существенно хт, а меньшее значение Нн создаёт наибольшую опасность загрязнения приземного слоя близ источника.

Рассмотрим уравнение турбулентной диффузии. В общем виде задача прогноза загрязнения воздуха математически может быть сформулирована как решение при определённых начальных и граничных условиях дифференциального уравнения

где t - время,

Xj - координаты,

щ, Ki - составляющие средней скорости перемещения примеси и коэффициента обмена, относящиеся к направлению оси х* (i = 1, 2,3), а - коэффициент, определяющий изменение концентрации за счёт превращения примеси.

Уравнение (5.3.18) описывает пространственное распределение средних концентраций, а также их изменения во времени. Это уравнение может рассматриваться как прогностическое уравнение. Обычно в декартовой системе координат оси хь х2, хз обозначают х, у, z, и, соответственно, щ = u, u2 = v, и3 = w, К, = Кх, К2 = Ку, К3 = Kz.

В общем случае коэффициент обмена в турбулентном потоке представляется тензором второго порядка. Уравнение (5.3.18) записано в предположении, что оси координат совпадают с главными осями тензора, при этом недиагональные составляющие его исчезают и отличны от нуля только диагональные компоненты Кхх= Кх, Куу= Ку, Kzz= Kz.

При решении практических задач вид уравнения (5.3.18) упрощается. Так, если ось ориентирована по направлению средней скорости ветра, то v = 0. Вертикальные движения в атмосфере над горизонтальной однородной подстилающей поверхностью малы и практически можно принимать w = 0 в случае лёгкой примеси, не имеющей собственной скорости перемещения. Если же рассматривается тяжёлая примесь, постепенно оседающая, то w представляет собой скорость осаждения, которая входит в уравнение со знаком минус. При наличии ветра можно пренебречь членом с Кх, учитывающим диффузию по оси X, поскольку в этом направлении диффузионный поток примеси значительно меньше конвективного.

В случае решения прогностических задач в принципе существенно со-

dq

хранение в (5.3.18) нестационарного члена ~.

Однако за периоды времени, сравнимые со временем переноса примеси х/u от источника к рассматриваемой точке, процесс диффузии стационирует- ся. Изменения концентраций в атмосфере со временем носят обычно квази-

стационарный характер и практически часто можно исключить член ~, положив его равным 0, и принять только, что коэффициенты уравнения (5.3.1) являются известными функциями времени t.

Таким образом, исходное прогностическое уравнение сводится к обычно используемому уравнению атмосферной диффузии:

В случае лёгкой примеси второй член в (5.3.19) исчезает, а при рассмотрении сохраняющейся примеси (а = 0) исключается и последний член в правой части уравнения.

dq

При наличии в атмосфере вертикальных токов в члене величина w

включает и вертикальную составляющую скорости движения воздуха. В условиях холмистого рельефа, когда направление ветра не горизонтально и зависит от расстояния х, необходимо учитывать также член .

При наличии точечного источника с координатами х = 0, у = 0, z = Н, в качестве граничного условия принимается:

где G - выброс вещества от источника в единицу времени,

8(х) - дельта-функция.

При прогностических задачах (с учётом квазистационарности процесса) G в общем случае рассматривается как функция времени t.

Граничные условия на бесконечном удалении от источника принимаются в соответствии с естественным предположением о том, что концентрация убывает до нуля:

Общее выражение граничного условия на подстилающей поверхности имеет вид:

где V - скорость гравитационного осаждения,

b - параметр, определяющий характер взаимодействия вредного вещества с поверхностью. Он меняется между двумя предельными значениями: b —> оо и b —* 0.

Случай b —? оо соответствует полному поглощению вредного вещества поверхностью. При этом граничное условие (5.3.20) превращается в более простое: q = 0 при z = 0.

При формулировке граничного условия на подстилающей поверхности выделяют случаи, когда примеси распространяются над водной поверхностью. В большинстве случаев вода поглощает вредные вещества за счет растворения, поэтому для концентрации непосредственно у ее поверхности часто выполняются эти граничные условия.

Случай b = 0 при V = 0 соответствует полному отражению вредного вещества от поверхности. С поверхностью почвы примеси обычно слабо взаимодействуют, поэтому, попав на нее, примеси не накапливаются, а с турбулентными вихрями снова уносятся в атмосферу. Часто с достаточной точностью принимается, что средний турбулентный поток у земли мал, т.е.

Начальные условия должны задавать концентрацию вредного вещества в области расчетов в начальный момент времени. Простейшие из них таковы: вредное вещество в начальный момент в расчетной области отсутствует, тогда при t = 0, q(x,y,z) = 0 или концентрация вредного вещества равна фоновой ЯФ, тогда при t = 0 , q(x,y,z) = q6.

Существуют и более сложные виды граничных условий, которые обычно формируются в связи с конкретными постановками задачи диффузии вредных выбросов в атмосфере.

Математическое описание характеристики турбулентности и скорости ветра в пограничном слое атмосферы. В работах МакБина описано большое число моделей и формул для определения коэффициента обмена Kz и скорости ветра и как в приземном, так и в пограничном слое.

Один из главных результатов исследования этих моделей состоит в том, что в приземном слое воздуха до уровня z = h коэффициент обмена возрастает примерно пропорциональны высоте z (Kz ~ Kiz/zi). Поскольку в данном слое

_ ди

остаются постоянными напряжение трения г - PKZ и поток тепла

р _ v дТ

г - ~ Рс Рк z то из выражения Kz~ Kiz/zi следует, что и и Т являются логарифмическими функциями z.

В слое z > h под влиянием силы Кориолиса и изменения напряжения трения с высотой профиль скорости ветра отличается от логарифмического.

Однако из наблюдений и расчётов Берлянда и МакБина следует, что в силу сравнительно небольшого поворота вектора ветра с высотой, особенно в дневное время, зависимость модуля скорости ветра от высоты была близка к логарифмической до уровня, расположенного гораздо выше приземного слоя. По некоторым моделям и за пределами приземного слоя с увеличением z коэффициент Kz продолжает возрастать при конвективных условиях, а при безразличном состоянии и инверсиях он уменьшается. Понятно, что в общем случае нельзя полагать, что с высотой Kz безгранично убывает до нуля.

Вместе с тем для вычисления приземных концентраций примеси часто и нет необходимости принимать во внимание детальное распределение Kz с высотой за пределами приземного слоя. На этом основании вполне приемлемой для многих задач является модель коэффициента обмена Юдина и Швеца (1940), согласно которой Kz линейно растёт с высотой z в приземном слое z < h и в среднем остается постоянным при z > h.

В непосредственной близости к подстилающей поверхности можно приближенно принять в качестве предельного значения Kz при z = 0 значение коэффициента молекулярной диффузии для воздуха п.

Таким образом, для расчёта концентрации примеси практически достаточно положить, что

где z0 - шероховатость подстилающей поверхности.

Для определения Kz и h можно использовать результаты работ Берлянда и Гениховича. В них, как и в ряде других исследований по определению коэффициента обмена, находится совместное решение системы уравнений движения, притока тепла и баланса энергии турбулентности. Эта система замыкается относительно неизвестной величины Kz с помощью дополнительного соотношения, установленного из соображения подобия и допущения, согласно которому для высот z > h существует внешний масштаб турбулентности, ограничивающий рост вихрей за пределами пограничного слоя. В результате интегрирования указанной системы уравнений и интерполяции полученного решения для скорости ветра и и температуры воздуха Т логарифмической функцией от z найдено, что в пределах приземного слоя

Здесь J - масштаб Монина-Обухова.

где dT - разность температур на высотах z3 и z2, к = 0,38 - (константа Кармана), g - ускорение свободного падения.

Для высоты приземного слоя h найдено, что

где (Oz - вертикальная составляющая угловой скорости Земли.

Обычно при ъ = 1 м для конвективных условий Ki = 0,1...0,2 и h = 50... 100 м, а при инверсиях температуры К[ и h существенно меньше.

Выражение (5.3.4) для Kz выражает то обстоятельство, что с увеличением высоты размеры вихрей, обусловливающих турбулентный обмен, возрастают в приземном слое (z < h) и сравнительно мало изменяются при z > h, принимая некоторые характерные масштабы. Для вихрей этого масштаба можно полагать, что атмосферная турбулентность выше приземного слоя имеет примерно изотропный характер, вследствие чего Кх » Ку » Kz. На более низких уровнях Кх и Ку примерно равные между собой, естественно, изменяются с высотой, ибо на подстилающей поверхности они должны быть равны нулю. Однако степень возрастания с высотой для Кх и Ку меньше, чем для Kz, поскольку влияние подстилающей поверхности на вертикальную компоненту коэффициента обмена должно быть большим, чем на горизонтальную. Этому условию приближенно удовлетворяет уравнение Берлянда:

так как в приземном слое и растёт примерно логарифически с высотой z, a Kz ~ z. Принимая, что при z = h, т. е. на верхней границе приземного слоя, где Uz = uh и Kz = Kh, имеет место равенство KoUh - Kh, можно найти Ко по Uh и Kh.

Рассмотрим процедуры интегрирования математических уравнений.

Общие формулы. Использование зависимости между Ку и и (5.3.22) позволяет упростить интегрирование исходного уравнения (5.3.19), выразив решение для случая точечного источника q(x, у, z) через решение для линейного источника q'(x, z) с использованием соотношения

где q' удовлетворяет уравнению

и начальному условию

В случае, когда и и Kz заданы степенными функциями от z, решение уравнения (5.3.26) выполняется аналитически

Случай лёгкой примеси. Для лёгкой сохраняющейся примеси (w = а = 0) при u = Ujz" Kz = Kiz с учётом (5.3.6), согласно работам Берлянда, наземная концентрация при z = 0

Характерной особенностью распределения наземной концентрации q по оси X (т. е. при у = 0) является наличие максимума её qm на расстоянии хт от

dq _ dq _

источника. Величины qm и xm находятся из условия ^ ^ ~ и- Из (5.3.27)

следует, что

Из (5.3.27) - (5.3.29) следует, что

В случае линейного источника бесконечной длины из (5.3.27) с учётом (5.3.25) аналогично получается формула для максимальной концентрации Чт и х'т расстояния, на котором она достигается:

Характер изменения концентрации с расстоянием х существенно зависит от уровня z, к которому она относится. У земной поверхности на некотором расстоянии хт от источника отмечается максимальное значение концентрации qm. С ростом z максимум q смещается к источнику. На уровне выброса примеси z = Н концентрация монотонно убывает с увеличением х. На более высоких уровнях снова наблюдается максимум q на некотором расстоянии х.

Таким образом, если известны ожидаемые значения скорости ветра, показателя устойчивости атмосферы и мощности выброса, то можно дать прогноз концентрации примеси.

В общем случае при величинах и и Kz, заданных (5.3.21), решение уравнения (5.3.26) для q' выполняется численно. При этом нет необходимости определять функцию q' при всех значениях аргументов, если воспользоваться некоторыми соотношениями, полученными из соображения подобия. Так для лёгкой сохраняющейся примеси (w = а = 0) следует, что

Это позволяет связать концентрации от линейного источникаq(x>z) и для случаев и, =и(/ К, = К(/> и «, = w,<2), К, = К(2);

Соответствующее выражение для концентрации от точечного источника имеет вид:

Для qi(x, у, z) и q2(x, у, z) аналогично устанавливается следующая формула пересчёта:

Отсюда следует, что нет необходимости рассчитывать концентрации для всех возможных значений щ и Кь а достаточно ограничиться парой параметров. Можно таким образом получить некоторые стандартные распределения концентрации от х и z при разных Н и определённых значениях щ и Кь а для других Ui и К] производить пересчет по полученным формулам (5.3.33) и (5.3.35). Из (5.3.32) и (5.3.34) вытекает, что концентрация изменяется обратно пропорционально скорости ветра ищри данном значении Kj/uj . Влияние вертикальной составляющей коэффициента обмена проявляется через величину

Kj/ui аналогично тому, как влияние его горизонтальной компоненты определяется величиной Ко - Ку/и.

В соответствии с (5.3.34) и (5.3.35) расчёты стандартных распределений концентрации от точечного источника при Ui = 4 м/с, К] - 0,2 м/с2 и z0 =0,01 м для величины s, пропорциональной наземной концентрации q.

Рост концентраций с расстоянием происходит гораздо сильнее при х < хт, чем убывание х > хт. Для малых Н характерно быстрое возрастание q до qm на участке х < хт и сравнительно большое падение q для больших х.

С увеличением высоты источника Н уменьшается максимальная концентрация и усиливается асимметрия кривой распределения q. Убывание концентрации q с расстоянием х, после того, как она достигла максимума, происходит весьма медленно. Учёт этих особенностей диффузии примеси играет важную роль при разработке методов прогноза концентраций примесей от многих источников и при определении фонового загрязнения воздуха для отдельных объектов с высокими дымовыми трубами.

Из формулы (5.3.26) следует, что наибольшая концентрация достигается при у = 0, т. е. на оси X. От оси X в поперечном направлении у концентрация убывает симметрично по экспоненциальному закону, причём с ростом х это убывание замедляется. Основная часть примеси, таким образом, сосредоточена в сравнительно узкой струе примеси (или факеле), ось которой соответствует у = 0. Из выполненных расчётов (Берлянд и др.) следует, что приближенно

где q, Pi (i = 1,2)- постоянные, которые, как показали исследования, сравнительно мало зависят от h и z0.

При h = 100 м и z0 = 0,01 м значения Pi = 1,9, р2 =0,2, a Ci=0,15 и с2=0,5. Значения этих величин близки к значениям соответствующих величин в (5.3.31) при п = 0,15...0,2.

Для определения наземной концентрации q при других х, не равных хт, можно использовать соотношение между q/qm и х/хт, аналогичное (5.3.30).

Зависимость относительной концентрации q/qm от относительного расстояния х/хт. В табл. 5.3.1. представлены результаты расчета q/qm в зависимости от х/хт для разных Н при h = 100 м. Здесь же даны средние значения q/qm для всех Н. Оказывается, отклонение от этих средних значений при разных Н сравнительно невелико.

Таблица 5.3.1. Зависимость q/qm от х/хт и Н

Н, м

х/хт

0,25

0,5

0,75

1

2

3

4

100

0,30

0,73

0,94

1

0,78

0,59

0,47

120

0,33

0,74

0,95

1

0,79

0,59

0,47

150

0,41

0,80

0,95

1

0,80

0,60

0,48

200

0,34

0,76

0,95

1

0,80

0,60

0,47

250

0,27

0,73

0,93

1

0,80

0,60

0,45

300

0,25

0,73

0,94

1

0,80

0,59

0,43

Среднее

0,32

0,75

0,95

1

0,80

0,60

0,46

Случай тяжелой примеси. Особенности распространения тяжелых примесей определяются в значительной степени собственной скоростью их осаждения, которая, в свою очередь, зависит от плотности и размеров частиц аэрозоля.

Скорость падения сферических частиц может быть определена по известной формуле Стокса:

где рп - плотность частиц пыли, гп - их радиус.

В атмосфере встречаются аэрозоли широкого спектра размеров - от тысячных долей микрона до сотен микронов. Характеристики их рассмотрены в работах Фукса, Кейдла и др.

Прогноз концентраций тяжелых примесей в приземном слое воздуха от сравнительно невысоких источников приближенно может быть выполнен, как и для легких примесей, на основе аналитического решения задачи для случая, когда с высотой скорость ветра изменяется по степенному закону, а коэффициент обмена линейно возрастает.

Наземная концентрация от точечного источника высотой Н определяется формулой:

Распределение концентрации в направлении Y такое же, как и в случае легкой примеси. В распределении наземной концентрации по направлению ветра (вдоль оси X) отмечается максимум qm на некотором расстоянии хт от источника, значение которого находится так же, как и для легкой примеси.

Из (5.3.39) следует, что

Для легкой и тяжелой примесей хт не зависит от Ко с возрастанием Н значение qm уменьшается, а хт увеличивается. Вместе с тем значение максимальной концентрации тяжелой примеси qm больше, чем легкой, а хт меньше. Различия в значениях qm и хт для легкой и тяжелой примесей возрастают с увеличением скорости осаждения частиц w.

Численное исследование атмосферной диффузии тяжелой примеси проводилось, как и в случае легкой примеси, при логарифмическом профиле скорости ветра и. Из соображений подобия, аналогично (5.3.33) для случая тяжелой примеси записывается соотношение:

На основании соотношения (5.3.41) можно также связать два варианта решения задачи, относящиеся к различным значениям иь К| и w при фиксированных величинах h и Н:

В случае тяжелой примеси достаточно произвести расчеты только для одной пары значений и, и К] в широком диапазоне изменения w, после чего можно переходить к произвольным значениям иь К] и w, используя формулу пересчета (5.3.42).

Из расчетов следует, что зависимость концентрации q от щ и К| для тяжелой и легкой примесей имеет подобный характер. При анализе изменения q от w обнаруживаются характерные свойства тяжелой примеси. Они связаны с частичным выпадением ее вблизи источника. Оказывается, что зависимость концентрации от скорости выпадения на близких и далеких расстояниях от источника носит противоположный характер. При малых значениях х с увеличением w концентрация q растет, при больших значениях х - убывает, причем тем больше, чем больше х. Для промежуточных х в зависимости q от w отмечается максимум при некотором w - wm. С увеличением высоты Н эти особенности в изменении q сохраняются, причем расстояние, на котором достигается максимум q в зависимости от w, увеличивается, а соответствующее значение wm возрастает. Эти результаты качественно согласуются с выводами из аналитического решения, но в количественном отношении имеются значительные различия.

Между наземными значениями концентрации тяжелой и легкой примесей qw и q на расстояниях х от источника высотой Н, а также между их максимальными значениями qwm и qm имеют место соотношения:

Значения функций % и Хш в общем случае определяются в соответствии с численным решением уравнения (5.3.18). Различия в концентрациях легкой и тяжелой примесей обусловливаются в основном безразмерным параметром wK,.

При одном и том же значении w роль оседания примеси будет разной в зависимости от интенсивности турбулентности. При сильной турбулентности, например, в случае развитой конвекции влияние различия в скорости оседания w проявляется главным образом при достаточно больших х. В этом случае при малых w (менее 3 см/с) х ~ 1 •

В случае небольшой высоты источника Н, когда можно использовать для q и qw соответствующие выражения (5.3.26) и (5.3.38)

Аналогичным образом на основании (5.3.40) получаем выражение для Хш- Расчеты показывают, что Хш сравнительно мало зависит от величины п.

Как из аналитического решения, так и из численных исследований следует, что всегда для тяжелой примеси максимум концентрации больше, а соответствующее ему расстояние до источника меньше, чем для невесомой примеси.

Рассмотрим процедуры осреднения концентраций. При сравнении пред- вычисленных измеренных концентраций важное значение приобретает вопрос о влиянии продолжительности интервала времени, к которому относятся концентрации, полученные в результате решения уравнения диффузии, и времени отбора проб при экспериментальном определении концентрации. Это существенно и потому, что результаты от воздействия загрязнения атмосферы на окружающую среду определяются не только концентрациями примесей, но и продолжительностью воздействия.

Влияние периода осреднения концентраций должно исследоваться на основе решения исходного уравнения с одновременным учётом осреднения его коэффициентов. Однако это связано со значительными трудностями, обусловленными необходимостью учёта влияния широкого спектра вихрей, характерного для атмосферной турбулентности. Приближенный подход к решению данного вопроса был развит в том, что при анализе процессов турбулентной диффузии сначала выполняется осреднение составляющих коэффициента обмена и скорости ветра.

Для оценки Ку полагалось, что выше приземного слоя Ку - Kz. При таком условии характерное время действия t' для вихрей, определяющих значения Ку и Kz, приближенно устанавливается по значениям пульсаций горизонтальной и вертикальной составляющих скорости ветра и' и w', а также по пути смешивания вихрей 1, так, что

При этом, по определению, величина 1 удовлетворяет соотношению Прандтля:

Следовательно,

Используя логарифмическое представление вертикального профиля скорости ветра (5.3.4), получим

Численные оценки показывают, что обычно t' равно 2-3 мин. Поэтому поле концентрации q, описываемое исходным уравнением турбулентной диффузии (5.3.2) с указанными значениями Ку и Kz, определятся действием вихрей сравнительно малого масштаба с t' примерно 2-3 мин. Ось X в данном случае надо ориентировать по направлению ветра, осредненному за период t'.

В случаях, когда t' меньше интервала времени забора проб to и времени х/и, за которое осуществляется перенос примеси от источника на расстояние х

(за и приближенно принимается скорость ветра на высоте источника), осреднение концентрации должно производиться за период Т > t Если при этом сохранить прежние значения u, Ку, Kz, то нужно учесть пульсации направления ветра, осредненного за время Т'.

Согласно экспериментальным данным, вероятность со(ср) отклонения средних за период t' направлений ветра на угол ф от среднего за период Т направления ветра примерно подчиняется закону Гаусса, т.е

где фо - дисперсия за период времени Т'.

Если учесть изменение концентрации в поперечном к ветру направлении согласно (5.3.6), то средняя концентрация q за время Т определяется по формуле

где яу=0 - значение концентрации по оси X, ориентированной по

среднему направлению ветра за время t', которое находится из решения уравнения атмосферной диффузии. Пределы интегрирования здесь могут быть изменены, поскольку со(ф) быстро убывает с увеличением ф, и практически можно полагать, что ф < у, где у определяет угловые размеры факела. Величина у мала и поэтому втф » ф.В результате получим, что приближенно

Приближенно для достаточно больших х

С использованием соотношения (5.3.24) непосредственно производится переход к осредненным концентрациям от их значений, определяемых на основе приведенных выше выражений для q, согласно численному и аналитическим решениям. В частности, для лёгкой примеси (w - 0), когда коэффициент обмена растёт линейно с высотой, а скорость ветра изменяется по степенному закону, используя (5.3.8), получим

Соответственно изменятся выражения для максимума концентрации Цт и расстояния хт, на котором он достигается

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >