Вероятностно-статистическая модель зарастания гарей после лесных пожаров в районах аварий на газопроводах

При авариях на газопроводах могут возникать лесные пожары. Данные по динамике площадей и гарей этих пожаров не могут быть выделены из общей статистической отчетности по лесным пожарам. Рассмотрим общую модель динамики всех лесных пожаров, из которой в дальнейшем можно будет вычленить процент, относящийся к авариям на газопроводах.

В проблеме математического моделирования лесных пожаров можно выделить следующие два основных направления: моделирование динамики лесных пожаров и моделирование процессов регенерации растительности и зарастания гарей.

Рассмотрим математическую модель, в которой используются статистические данные по ежегодным площадям лесных пожаров и площадям гарей, регистрируемых с периодичностью один раз в пять лет. Модель основана на балансе площадей вновь образующихся гарей и зарастании старых. Для иллюстрации на рис.4.5.1 и рис. 4.5.2 приведены данные по лесным пожарам и гарям Вологодской области. Рассмотрим методику разработки математической модели динамики площадей лесных пожаров и гарей.

(1) В качестве шага моделирования удобно использовать один год.

Рассмотрим в качестве единичного, случайного события - возникновение

лесного пожара. Последовательность пожаров образует поток случайных событий. Обозначим через N{t,At) количество пожаров на интервале [t,t + At).

(2) Предположим, что поток пожаров обладает свойством ординарности, означающим, что пожары являются достаточно редкими событиями, которые возникают практически всегда по одиночке.

Динамика ежегодной площади лесных пожаров в Вологодской области (1958 - 2005гг)

Рис.4.4.1. Динамика ежегодной площади лесных пожаров в Вологодской области (1958 - 2005гг)

Динамика площадей гарей по данным государственных учетов лесов (1966 - 2003гг)

Рис. 4.4.2. Динамика площадей гарей по данным государственных учетов лесов (1966 - 2003гг)

Ординарность позволяет ввести величину X(t), называемую интенсивностью потока и определяемую по формуле: где М[ ] —математическое ожидание случайной величины N(t,At). Предположим, что поток пожаров является потоком без последействия, что означает независимость случайных величин N(t,At) на разных временных интервалах. При этих предположениях количество пожаров является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона, т.е. поток пожаров представляет собой Пуассоновский поток:

где Р{???} — вероятность события, t — текущий момент времени, т —

временной интервал, для которого оценивается число пожаров, к — количество пожаров на интервале [t,t+r), а — параметр распределения Пуассона, равный математическому ожиданию и дисперсии.

К сожалению, свойство стационарности потока пожаров можно допустить лишь в рамках очень грубого приближения по той причине, что годы существенно различаются по степени пожарной опасности в лесах.

  • (3) Предположим, что после возникновения пожара его дальнейшее развитие возможно по двум сценариям:
  • — пожар остается низовым, при этом время горения является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения;
  • — пожар переходит в категорию верховых с вероятностью bn(t), при

этом время горения является случайной величиной, которая также подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Из предположения об экспоненциальном характере распределения времени распространения пожара следует, что его площадь также являются случайной величиной распределенной по экспоненциальному закону:

где s — площадь пожара, р — параметр экспоненциального распределения, равный обратной величине средней площади пожара р = —, где sm

sm

средняя площадь пожара.

Количество пожаров и их площади можно рассматривать, как независимые случайные величины, так что совместная плотность распределения вероятностей этих величин может быть представлена в следующем виде:

Суммарная площадь пожаров X является математическим ожиданием произведения случайных величин К и S:X = KS, где К —количество пожаров, S — площадь пожара.

где Sg — математическое ожидание суммарной площади пожаров.

С учетом деления пожаров на низовые и верховые окончательную формулу для расчета общей пройденной огнем площади, можно представить в следующем виде:

где Sf — математическое ожидание суммарной площади лесных земель,

пройденных огнем, Ь2 — вероятность гибели насаждения в результате пожара, индексы 1, 2 обозначают соответственно низовой и верховой пожары.

Полученные таким образом распределения площадей могут быть сопоставлены с имеющимися статистическими данными по площадям, пройденных огнем, что позволит с помощью метода наименьших квадратов оценить параметры модели.

(4) Обозначим время зарастания гарей буквой Т. По определению это время, в течение которого гарь не переходит в другую категорию лесных земель. Известно, что учет гарей осуществляется периодически раз в пять лет при проведении государственных учетов лесов. При этом к категории гарей относятся только погибшие от огня насаждения, пройденные, как правило, верховыми или сильными низовыми пожарами. Время зарастания гарей может быть представлено в виде случайной величины, реальное значение которой зависит от места произрастания, хозяйственных мероприятий, типов леса и других факторов. Предположим, что время зарастания гарей Т подчиняется экспоненциальному закону распределения:

где: v — параметр экспоненциального распределения, равный обратной величине среднего времени зарастания гарей v ~ , tm — среднее время за-

‘т

растания гарей.

Математическое ожидание суммарной площади гарей с учетом процессов их зарастания по истечении времени t можно представить в следующем виде:

где Sg2 — математическое ожидание суммарной площади гарей,

fl, t

9{t - T) - ^ ^, t — время, прошедшее с момента образования гари,

Т - случайная величина, описывающая время зарастания гари, т — переменная интегрирования.

Вычислим второй интеграл в формуле (4.4.8):

После подстановки (4.4.9) в уравнение (4.4.8) суммарная площадь гарей может быть представлена в виде:

где <7 = ^2- — суммарная площадь насаждений, погибших за t лет до

Мг

проведения государственного учета лесов.

(5) Введем следующее обозначение для площади насаждений погибших за d лет до года проведения государственного учета лесов:

где р — год проведения государственного учета лесов, в который фиксируется площадь гарей, zp_d — доля погибших насаждений из общей площади, пройденной огнем, за d лет до учета, ap_d, pp_d статистические параметры, описанные выше, для того же периода, Sf(p-d) - математическое ожидание площади лесных земель, пройденных огнем за d лет до учета.

Для того чтобы получить суммарную площадь гарей на момент р очередного учета лесов необходимо просуммировать площади гарей образованных в результате пожаров в течение заданного периода времени с учетом их зарастания:

Модель (4.4.12) с учетом (4.4.11) можно представить также в следующем виде:

где Sf{t) - пройденная огнем площадь для года t, г - время зарастания гари.

Модель (4.4.13) имеет достаточно ясный физический смысл. Она описывает баланс площадей лесных пожаров и погибших насаждений с учетом зарастания гарей. Каждая новая гарь, образовавшаяся в течение периода зарастания г, должна быть учтена в общей суммарной площади, которая и регистрируется на момент учета лесов. При этом в процессе зарастания гари ее площадь уменьшается по экспоненте. В этом и заключается физический смысл формулы (4.4.13).

Модель (4.4.13) является много параметрической. Для идентификации численных параметров таких моделей требуются достаточно большие ряды надежных статистических данных. Отсутствие данных вынуждает идти по пути значительного упрощения модели (4.4.13). Сущность упрощения заключается в использовании единого показателя z для доли погибших насаждений и единого показателя v для скорости зарастания гарей.

Очевидно, что эти параметры зависят от времени и метеорологических условий и различаются в разные годы. Предположение об их постоянстве является весьма грубым, но может быть использовано для оценок статистической репрезентативности данных по пожарам. В рамках сделанных предположений модель (4.4.13) приобретает следующий упрощенный вид:

где р — год проведения государственного учета лесов, в который фиксируется площадь гарей, z — средняя доля погибших насаждений из общей площади, пройденной огнем, v - средняя скорость зарастания гарей, Sf{p-d) -

средняя площадь лесных земель, пройденных огнем за d лет до учета.

Модель (4.4.14) является двух параметрической. Такая модель при условии согласованности статистических данных допускает идентификацию параметров. Однако в некоторых случаях эта модель не может быть использована. Требуется дальнейшее упрощение. Такое упрощение становится возможным в свете недавно полученных данных по использованию спутниковых изображений для определения доли погибших в результате лесных пожаров насаждений. Было найдено, что в среднем доля погибших насаждений составляет около 20% от площади лесных земель, пройденных огнем. Это позволяет вместо двух параметрической модели (4.4.14) использовать следующую однопараметрическую модель:

Для идентификации единственного параметра модели (4.4.15) может быть использован метод наименьших квадратов в следующем виде:

Минимизация (4.4.16) приводит к интерпретируемым результатам только при условии согласованности статистических данных по пожарам. Поэтому в качестве первого шага требуется проверить с помощью (4.4.15) не противоречивость данных. В качестве простейшей проверки согласованности данных можно использовать следующий тест.

Если сумма всех площадей пожаров окажется меньше площади гарей Sp,

то данные не корректны. Без ответа остается вопрос - откуда появилась излишняя площадь ДSp:

Аналогичным образом на любом временном интервале прирост площадей гарей ASg не должна превышать суммарной площади пожаров.

Для моделирования и оценки согласованности статистических данных можно использовать как двух параметрическую, так и однопараметрическую модели (4.4.14) и (4.4.15). При этом можно принять следующие предположения: доля погибших насаждений из общей пройденной огнем площади z = 20%, максимальное время зарастания гарей г = 30 лет.

Результаты моделирования и идентификации параметров модели (4.4.14) и (4.4.15) для ряда субъектов европейской части РФ представлены на рис. 4.4.3. Для трех субъектов РФ: Республика Коми, Республика Марий Эл и Мурманская обл. двух параметрическая задача идентификации не имеет решения и приведены результаты решения только для однопараметрической задачи идентификации. Это может свидетельствовать о недостаточной согласованности статистических данных для этих регионов.

Результаты вероятностно-статистического моделирования динамики площадей пожаров и гарей а - Вологодска

Рис. 4.4.3. Результаты вероятностно-статистического моделирования динамики площадей пожаров и гарей а - Вологодская обл., б - Республика Карелия, в - Республика Коми, г - Ленинградская обл., д - Республика Марий Эл, е - Мурманская обл.

Статистические данные по лесным пожарам и гарям для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны, приведены на рис. 4.4.4 и рис.

4.4.5. Не согласованность этих данных можно продемонстрировать с помощью графиков, моделирующих процессы зарастания гарей при разных значениях параметров v и z, т.е. при разных скоростях зарастания гарей и разных долях погибших насаждений.

Рассмотрим результаты вероятностно-статистического моделирования процессов зарастания гарей при разных значениях параметров v и фиксированном значении параметра z = 0,2. Для моделирования может быть использована модель (4.4.15). Результаты для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны, представлены на рис. 4.4.6. При положительных значениях скоростей зарастания графики, описывающие динамику площадей гарей, расположены гораздо ниже точек, соответствующих данным таблицы учета лесов (рис. 4.4.5).

Динамика площадей лесных пожаров для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны (1958 - 2005гг)

Рис. 4.4.4. Динамика площадей лесных пожаров для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны (1958 - 2005гг)

Динамика площадей гарей для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны (1966 - 2003гг)

Рис. 4.4.5. Динамика площадей гарей для трех субъектов РФ, расположенных в азиатской части страны (1966 - 2003гг)

Для сравнения на рис. 4.4.7 представлены аналогичные результаты для трех субъектов РФ, расположенных в европейской части страны.

Графики динамики площадей гарей при разных скоростях зарастания, рассчитанные с помощью модели (4.4.15)

Рис. 4.4.6. Графики динамики площадей гарей при разных скоростях зарастания, рассчитанные с помощью модели (4.4.15): а - Иркутская обл., б - Читинская обл., в - Республика Бурятия

Численные значения рис.4.4.5, показанные на рисунках точками, могут достигаться только при отрицательных значениях скоростей зарастания, что противоречит здравому смыслу. Из графиков также следует, что решение однопараметрической задачи оптимизации (4.4.16), при которой будет выбрана наиболее близкая к учетным данным кривая зарастания, обязательно приведет к отрицательным значениям скоростей зарастания.

Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о том, что модель (4.4.15) не может быть использована для прогнозирования динамики площадей гарей по статистическим данным о пожарах для трех рассмотренных субъектов азиатской части РФ. При этом следует отметить, что результаты, полученные для субъектов европейской части РФ, хорошо согласуются с данными статистики и подтверждают адекватность модели (4.4.15). Это позволяет использовать вероятностно-статистическую модель в качестве инструмента первичного тестирования данных статистической отчетности о лесных пожарах на их внутреннюю не противоречивость.

В отличие от графиков для субъектов азиатской части РФ (рис. 4.4.6) графики для субъектов Европейской части РФ (рис. 4.4.7) достаточно хорошо описывают статистические данные по гарям. Это указывают на внутреннюю согласованность статистических данных о пожарах для субъектов европейской части РФ.

Графики динамики площадей гарей при разных скоростях зарастания, рассчитанные с помощью модели (4.4.15)

Рис. 4.4.7. Графики динамики площадей гарей при разных скоростях зарастания, рассчитанные с помощью модели (4.4.15): а - Вологодская обл., б - Мурманская обл., в - Республика Марий Эл.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >