Логическая форма. Отношение логического следования

В этом параграфе будет сформулирован критерий правильности умозаключений. Приступая к рассмотрению данной проблемы, необходимо иметь в виду следующее: вопрос о том, является ли некоторое умозаключение правильным или неправильным, нельзя смешивать с вопросом, какими - истинными или ложными - являются его посылки и заключение, т. е. имеют ли место в действительности описываемые ими положения дел. Эти вопросы необходимо четко различать, поскольку тот или иной ответ на второй из них не всегда предопределяет ответ на первый.

Рассмотрим умозаключение халифа Омара, приведенное в предыдущем параграфе:

§2. Логическая форма. Отношение логического следования

В данном случае истинность посылок и заключения представляется весьма сомнительной. Однако из того, что какие-либо посылки и заключение ложны, нельзя сделать вывод о неправильности умозаключения (так же, конечно, как нельзя сделать вывод о том, что оно правильно). Рассмотрим другой пример:

В этом умозаключении и каждая из посылок, и заключение являются истинными. Однако лишь на этом основании нельзя утверждать, что данное умозаключение правильно, вопрос о его корректности остается пока открытым. Лишь в одном случае для оценки умозаключения как правильного или неправильного достаточно знать значения его посылок и заключения.

Если каждая из посылок истинна, а заключение ложно, то

умозаключение заведомо неправильно.

В этом случае оно не сохраняет истинность при выведении одного высказывания из других, а потому не может быть использовано в целях получения истинного знания.

Можно ли, например, определить, является ли правильным следующее умозаключение, если установить значения его посылок и заключения?

Поскольку все три посылки здесь истинны, а заключение ложно, постольку приведенное умозаключение заведомо неправильно.

Возникает вопрос, каким же образом можно определить, являются ли правильными умозаключения при иных значениях посылок или заключения. Постараемся ответить на него сначала применительно к умозаключению (2). С этой целью сравним умозаключения (2) и (3). Очевидно, что содержания входящих в их состав высказываний различны: во-первых, у них разный предмет мысли (в одном случае речь идет о Бородине, в другом - о Лермонтове), во-вторых,

Глава I. Предмет и основные понятия логики

различается информация о предмете мысли (в одном случае она касается рода деятельности, а в другом - времени жизни человека). Однако можно заметить определенное структурное сходство высказываний, входящих в состав этих умозаключений, т. е. что сам способ рассуждения в обоих случаях одинаков.

Совпадение структур умозаключений (2) и (3) можно продемонстрировать следующим образом. Заменим простые высказывания, входящие в состав посылок и заключения умозаключения (2), малыми буквами из середины латинского алфавита: например, высказывание «Бородин занимался химией» - буквой р, «Бородин сочинял музыку» - буквой q, «Бородин писал детективные романы» - буквой г. В результате замены получим языковую конструкцию:

Точно такая же конструкция получается при замене в умозаключении (3) высказывания «Лермонтов жил в XVIII веке» буквой р, высказывания «Лермонтов жил в XIX веке» - буквой q и высказывания «Лермонтов жил в XX веке» - буквой г. Таким образом, мы показали, что умозаключения (2) и (3) имеют одинаковую структуру или, как говорят, одинаковую логическую форму. Выражение (4) как раз и фиксирует логическую форму этих умозаключений. В дальнейшем для простоты изложения будем понимать под логической формой некоторого языкового контекста саму языковую конструкцию, получающуюся заменой некоторых частей данного контекста буквами (параметрами), в нашем примере - выражение (4).

В данном случае логическая форма высказываний, входящих в умозаключение, выражает ту часть их содержаний, которая получается в результате абстрагирования (отвлечения) от содержания простых высказываний в их составе. Заменяя простые высказывания в некотором языковом контексте буквами (параметрами), мы как раз и абстрагируемся от того, что именно в них утверждается, какие положения дел они описывают. Однако не происходит абстрагирования от того, каким образом и с помощью каких союзов простые высказывания сочленяются в составе сложных. Кроме того, при данном способе выявления логической формы различные простые высказывания в языковом контексте заменяются различными параметрами, а одинаковые простые высказывания (везде, где они встречаются в данном контексте) - одинаковыми параметрами.

Вернемся теперь к анализу умозаключений (2) и (3). Мы установили, что они имеют одинаковую логическую форму - выражение (4), причем умозаключение (3) заведомо неправильное, так как все его посылки истинны, а заключение ложно. Это означает, что, применяя умозаключение формы (4), мы не имеем гарантии выведения из истинных посылок обязательно истинного заключения. А раз в умозаключениях этой структуры можно в некоторых случаях из истинных высказываний получить ложное следствие, то данный способ рассуждения нельзя считать надежным, и мы не можем утверждать, что его посылки действительно обосновывают заключение. Поэтому любое умозаключение, логическая форма которого представлена выражением (4), квалифицируют в логике как неправильное (независимо от того, какими - истинными или ложными - являются его посылки и заключение). Следовательно, и умозаключение (2) также неправильно, несмотря на то, что и посылки, и заключение в нем - истинные высказывания. Истинность его заключения не обусловлена истинностью посылок, или, говоря другими словами, из его посылок не следует логически заключение.

Итак, для того чтобы показать, что некоторое умозаключение неправильно, достаточно найти по крайней мере одно умозаключение той же логической формы, все посылки которого истинны, а заключение ложно. Тем самым мы выделили критерий неправильности умозаключения. Он может быть сформулирован следующим образом.

Умозаключение является неправильным, если и только если его логическая форма не гарантирует, что при истинных посылках мы обязательно получим истинное заключение, т. е. существует умозаключение данной логической формы с истинными посылками и ложным заключением.

Теперь совсем нетрудно сформулировать критерий правильности умозаключений.

Умозаключение является правильным, если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинности посылок мы обязательно получим истинное заключение,

Глава I. Предмет и основные понятия логики

т. е. не существует умозаключения данной формы с истинными посылками и ложным заключением.

При выполнении этого условия говорят, что между посылками и заключением имеет место отношение логического следования, что заключение логически следует из посылок.

К числу правильных относится, например, умозаключение (1). Выявим его логическую форму. С этой целью заменим простые высказывания, входящие в состав его посылок и заключения, параметрами: высказывание «Ваши книги согласны с Кораном» - буквой р, «Ваши книги излишни» - буквой q, «Ваши книги вредны» - буквой г, «Ваши книги следует уничтожить» - буквой s. Получим в результате выражение:

Теперь, согласно сформулированному выше критерию, мы должны осуществить обратную процедуру (процедуру интерпретации параметров), которая в данном случае состоит в замене букв р, q, г и s в выражении (5) произвольными простыми высказываниями - как истинными, так и ложными. Осуществляя различные интерпретации параметров, мы обнаруживаем следующую закономерность: всегда, когда при указанной замене посылки оказываются одновременно истинными, заключение также будет истинным. Наличие данной закономерности как раз и свидетельствует о правильности всех умозаключений формы (5), о наличии логического следования между их посылками и заключениями.

Возникает вопрос, почему в правильном рассуждении (1) заключение оказалось ложным. Причина этого - ложность одной или нескольких из его посылок. Вообще, ложное заключение может быть получено в результате умозаключения в следующих случаях:

  • 1) если все его посылки истинны, но само умозаключение неправильно;
  • 2) если умозаключение правильно, но в нем имеется некоторая ложная посылка;
  • 3) если имеется ложная посылка, и само умозаключение неправильно.

§2. Логическая форма. Отношение логического следования

Обратим внимание на тот факт, что в указанных случаях заключение может оказаться как ложным, так и истинным. Если же к истинным посылкам применяется правильное умозаключение, то с логической неотвратимостью будет получено истинное заключение.

Правильность умозаключения (1) и неправильность умозаключения (2) была обусловлена, по существу, особенностями их структуры, которые выражались в том, каким образом и с помощью каких союзов простые высказывания сочленялись в сложные в их посылках и заключениях. Действительно, при выявлении их логических форм мы абстрагировались от содержания простых высказываний. Однако при замене простых высказываний параметрами происходит отвлечение не только от того, какое положение дел они описывают, но также и от внутренней структуры этих высказываний. Вместе с тем в некоторых случаях невозможно решить вопрос о правильности или неправильности умозаключения без учета внутренней структуры простых высказываний, входящих в его состав. Рассмотрим в этой связи следующее умозаключение:

В этом примере посылки и заключение представляют собой три различных простых высказывания. Однако, несмотря на различия между собой, внутренние структуры этих высказываний связаны друг с другом: в заключении зафиксирован определенный тип отношения между двумя множествами (множеством мусульман и множеством российских граждан), а вывод о наличии данного отношения делается на основании зафиксированных в посылках отношений каждого из этих множеств к третьему множеству (множеству христиан). Для решения вопроса о правильности подобных выводов необходим учет внутренней структуры простых высказываний, а следовательно, использовавшийся ранее способ выявления логической формы здесь недостаточен. Итак, для того чтобы выяснить, являются ли правильными такого рода умозаключения, требуется более глубокий уровень анализа их логических форм.

Теперь при выявлении логической формы мы, как и ранее, будем отвлекаться от того, о каких именно объектах идет речь в высказываниях и что именно о них говорится. В то же время мы не должГлава I. Предмет и основные понятия логики

ны, например, абстрагироваться от того, идет ли речь в высказывании обо всех или же о некоторых предметах какого-либо класса, содержит ли это высказывание утверждение или отрицание. Информация, которая будет утрачиваться при таком способе анализа, выражается посредством таких терминов, как «граждане России», «христиане», «мусульмане». Их называют нелогическими терминами. К числу же логических относят такие термины, как «всякий», «некоторый», «является» («есть»), «не является» («не есть»), а также «и», «или», «если ..., то», «неверно, что» и др. При том способе выявления логической формы, о котором идет сейчас речь, отвлечения от смысла логических терминов не происходит, а нелогические термины заменяют параметрами, причем различные термины - различными параметрами, а одинаковые (везде, где они встречаются в умозаключении) - одинаковыми параметрами.

Попытаемся выявить логическую форму умозаключения (6). Для этого заменим нелогические термины параметрами - большими латинскими буквами, например, термин «гражданин России» - буквой Р, «христианин» - буквой Q, «мусульманин» - буквой S. Получим выражение, задающее логическую форму умозаключения (6):

Теперь мы можем решить вопрос о правильности или неправильности умозаключения (6), при этом будут использованы те же, что и раньше, критерии правильности и неправильности, только применительно к более глубокому уровню анализа логической формы.

Умозаключение (6) является неправильным, поскольку параметры Р, Q и S в составе его логической формы - выражения (7) - могут быть проинтерпретированы таким образом, что данное выражение превратится в умозаключение с истинными посылками и ложным заключением. Подставим, например, вместо буквы Р термин «существа, живущие в воде», вместо Q - термин «теплокровные существа», а вместо S - «рыбы». Получим умозаключение:

§2. Логическая форма. Отношение логического следования

Очевидно, что посылки умозаключения (8) истинны, а его заключение ложно. Поэтому все умозаключения формы (7), в том числе и умозаключение (6), неправильны, так как из их посылок не следуют логически соответствующие заключения.

В рассуждениях (6) и (8) содержатся нелогические термины одного и того же типа, одинаковой категории. Каждый из них репрезентирует (представляет) некоторое множество предметов (например, множество российских граждан или множество теплокровных существ). Такого рода знаки иногда называют общими терминами. Однако в умозаключениях могут содержаться нелогические термины различных категорий. Каким же образом осуществляется анализ умозаключений и выявление их логических форм в этом случае? Рассмотрим пример:

В составе данного умозаключения содержатся нелогические термины трех типов. Во-первых, это общие термины «британский политик» и «британский писатель», которые репрезентируют множества предметов. Во-вторых, это термины «М. Тэтчер» и «С. Руш- ди», которые обозначают отдельные предметы (индивиды), их называют единичными терминами или именами. К третьему типу относится термин «популярнее» - знак отношения между предметами.

При выявлении логической формы данного языкового контекста все нелогические термины будут заменены буквами (параметрами). При этом, конечно же, утратится информация о том, каковы конкретные значения этих терминов, какие именно множества, индивиды или отношения они представляют. Однако информация о том, к какой категории относятся нелогические термины, каков тип их значения, утрачиваться не должна. С этой целью каждой категории нелогических терминов сопоставляют особый сорт параметров. В процессе выявления логической формы произвольный нелогический термин разрешается замещать параметром лишь такого сорта, который соответствует категории этого термина.

Договоримся, например, что буквами S, Р, Q, Si,... можно замещать общие термины, буквами a, b, с, aj,... - единичные термины,

Глава I. Предмет и основные понятия логики

а символами R, Ri,... - знаки отношений. Тогда вместо терминов «британский политик» и «британский писатель» можно подставить, соответственно, параметры S и Р, вместо терминов «М. Тэтчер» и «С. Рушди» - параметры а и Ь, вместо термина «популярнее» - символ R. При указанных заменах получим конструкцию, фиксирующую логическую форму умозаключения (9):

Умозаключения данной структуры являются правильными, между посылками и заключением в них имеет место отношение логического следования, поскольку, какие бы мы ни подставляли единичные термины вместо а и Ь, общие термины вместо S и Р, знаки отношений вместо R в выражение (10), обязательно получится умозаключение с истинным заключением во всех случаях, когда его посылки окажутся истинными.

Подведем некоторые итоги. При формулировке критериев правильности и неправильности умозаключений нами были затронуты два фундаментальных понятия логики - понятия логической формы и логического следования. Постараемся теперь, обобщив сказанное выше, ввести эти понятия более строгим образом.

Под логической формой мысли обычно понимают способ связи составных частей ее содержания в отличие от самого этого содержания, результат отвлечения от «материи» мысли, т. е. от того, какие именно индивиды, свойства, отношения, классы, ситуации и т. п. являются ее предметами. При этом предполагается, что и сама мысль, и ее логическая форма имеют языковое воплощение: мысль (например, понятие, суждение) адекватно оформляется осмысленным выражением естественного языка (описательным термином, предложением), а ее логическая форма фиксируется посредством языковой конструкции, содержащей параметры предложений или нелогических терминов языка.

Сказанное означает, что вести речь о логической форме можно не только применительно к самой мысли, но и к языковому контексту, выражающему данную мысль. В последнем случае и логическую форму естественно также рассматривать в качестве особого рода конструкции языка.

Логической формой языкового контекста будем называть выражение, фиксирующее ту часть содержания контекста, которая остается в результате отвлечения от конкретных содержаний нелогических терминов или же от содержаний простых высказываний, входящих в данный контекст.

Процедура отвлечения от содержаний нелогических терминов и простых высказываний осуществляется посредством замены указанных языковых выражений параметрами соответствующих категорий, причем одинаковые выражения заменяются одинаковыми параметрами, а различные - различными.

При выявлении логической формы контекста сохраняется информация о типах значений заменяемых выражений, а также о том, в каком порядке и с помощью каких логических терминов они сочленяются в этом контексте. Последнее как раз и имеют в виду, когда логическую форму контекста трактуют как способ связи его нелогических составляющих.

Следует также уяснить, что логическую форму контекста можно выявить по-разному, с различной степенью глубины анализа. Способ выявления логической формы обусловлен, во-первых, тем, учитывается ли внутренняя структура простых высказываний, и во-вторых, тем, какие выделяются категории нелогических терминов.

В качестве примера осуществим логический анализ на различных уровнях следующего высказывания:

«Иван сильнее Петра, и Петр умнее Ивана».

Если внутренняя структура простых высказываний, входящих в его состав, учитываться не будет, то логическая форма примет следующий вид:

где параметр р подставлен вместо простого высказывания «Иван сильнее Петра», а параметр q - вместо «Петр умнее Ивана».

При более глубоком анализе, когда структура простых высказываний принимается во внимание, заменяться параметрами должны не сами высказывания, а нелогические термины в их составе. Предположим, что выделены две категории нелогических терминов - общие (знаки множеств) и единичные (знаки индивидов). Тогда логическую форму рассматриваемого высказывания можно выразить так:

Глава I. Предмет и основные понятия логики

где параметрами а и b заменены единичные термины «Иван» и «Петр», а параметрами Р и Q - общие термины «человек, который сильнее Петра» и «человек, который умнее Ивана» соответственно.

Если же наряду с общими и единичными терминами в качестве особой категории нелогических терминов выделяются знаки отношений, то логическая форма может быть зафиксирована иным образом:

а находится в отношении Ri к b и b находится в отношении R2 к а,

где а и b подставлены вместо единичных терминов «Иван» и «Петр», Ri и R2 подставлены вместо знаков отношений «сильнее» и «умнее».

Дадим теперь более строгую трактовку другого фундаментального понятия логики - понятия логического следования. Прежде всего отметим, что логическое следование представляет собой отношение между высказываниями по форме. Это означает, что для решения вопроса о наличии или отсутствии этого отношения между высказываниями необходимо выявить их логические формы. Более того, можно считать, что отношение логического следования имеет место не только между определенными высказываниями естественного языка, но и между их логическими формами. Причем установив факт наличия (или отсутствия) отношения следования применительно к логическим формам высказываний, мы можем заключить, что данное отношение имеет (или не имеет) место и между самими высказываниями.

Пусть В есть логическая форма некоторого высказывания, а Г - множество логических форм каких-либо высказываний. Иначе говоря, В и элементы множества Г представляют собой не высказывания естественного языка, а выражения, которые содержат параметры и становятся истинными или ложными лишь при интерпретации последних. Под интерпретацией параметров обычно понимают приписывание им значений соответствующего типа (определенных индивидов, множеств, отношений и др.). Сопоставить значения параметрам можно, в частности, осуществив вместо них подстановку значимых языковых выражений соответствующих категорий (именно этот механизм интерпретации использовался нами ранее).

Из Г логически следует В, если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в со-

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >