Полная версия

Главная arrow Экономика arrow Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятий

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Элементы теории вероятностей и математической статистики

В теории вероятностей рассматриваются случайные факторы. Случайными называются такие факторы, которые характеризуются вероятностными распределениями. Случайные факторы проявляются в виде случайных событий, величин и процессов. Случайные величины и процессы при необходимости могут быть выражены через соответствующие случайные события. В практике научных исследований случайные события имеют место в экспериментах, невоспроизводимых в том смысле, что их повторное проведение при неизменном комплексе условий дает различные результаты.

Исходы подобного эксперимента характеризует наблюдаемая переменная, которая включает множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента. Отдельный исход эксперимента называется элементарным событием — е.

Множество значений наблюдаемой переменной (исходов эксперимента) представляет собой пространство (множество) элементарных событий и обозначается Е. Пространство элементарных событий Е может быть числовым и нечисловым, скалярным и векторным, конечным и бесконечным. Случайным событием Л называется подмножество множества (пространства) элементарных событий Е.

В теории вероятностей вводятся также понятия достоверного и невозможного событий. Достоверное событие включает пространство элементарных событий Е и эквивалентно ему. Достоверное событие наступает всегда при реализации данного комплекса условий. Невозможное событие (пустое множество) 0 есть событие, которое никогда не наступает при реализации рассматриваемого комплекса условий.

Поскольку события суть подмножества Е, то действия над событиями есть действия над множествами, что позволяет использовать алгебру множеств для их формального описания.

Содержательная интерпретация рассматриваемых понятий в терминах теории множеств и теории вероятностей приведена в табл. 7.1.

Математически строгое построение теории вероятностей связано с аксиоматикой Колмогорова А.Н.

Интерпретация вероятностных событий

Обозначения

Интерпретация в терминах теории множеств

Интерпретация в терминах теории вероятностей

Элемент множества

Элементарное событие: полностью описанный исход эксперимента

Совокупность элементов е, составляющих множество А

Событие А, состоящее из некоторой совокупности исходов эксперимента

Дополнение множества А: все элементы е, не принадлежащие множеству А

Событие противоположное событию А

Объединение множества А и В: все элементы е, принадлежащие по крайней мере одному из множеств А и В

Событие, состоящее в том, что происходит по крайней мере одно из событий А и В

Пересечение А и В: все е, принадлежащие обоим множествам А и В

Событие, состоящее в том, что происходят оба события А и В

Пустое множество, не содержащее элементов

Невозможное событие

Множество, содержащее все элементы пространства Е

Все выборочное пространство: достоверное событие

Включение множеств: все е, принадлежащие множеству А, также принадлежат множеству В

Импликация событий: при появлении события А обязательно происходит событие В

Множества Ал В не пересекаются: эти множества не имеют общих элементов

События А и В взаимоисключающие, они не могут произойти одновременно (несовместные события)

Объединение множества

Av А2.....Ап: множество

элементов е, принадлежащих по крайней мере одному из этих множеств

Событие, состоящее в том, что происходит по крайней мере одно из событий Av А2, Ап

Пересечение множеств Av А2, ..., Ап: множество е, принадлежащих всем этим множествам

Событие, состоящее в том, что происходят все события Av А2, ..., Ап

1 .Ее U: пространство элементарных событий есть достоверное событие, есть подмножество поля событий.

  • 2. А е U—>Ae U: если множество А является событием, то его дополнение также является событием.
  • 3. А, е U —^ UА;- g U: если множества А{ (/ — конечно или счетно) являются событиями, то их объединение U At также является событием.
  • 4. Аксиома неотрицательности:

А е U, Р (А) > 0: каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

5. Аксиома нормированности:

Ее U, Р{Е) = 1: вероятность достоверного события (события, включающего пространство элементарных событий) равна единице.

6. Аксиома аддитивности:

Вероятность счетной суммы попарно несовместимых событий равна счетной сумме вероятностей этих событий.

Введем аксиоматическое определение вероятности: вероятность случайного события есть мера степени возможности его наступления, удовлетворяющая приведенным аксиомам:

При равной возможности исходов эксперимента

Вероятностью события А называется отношение числа исходов эксперимента тА, благоприятствующих наступлению данного события, к общему числу исходов эксперимента N:

Из рассмотренных аксиом непосредственно следует ряд формул, которые часто используют при решении задач. Так, при любых А и В верна формула сложения вероятностей:

Или

В частности, при АВ = 0 получим

В зависимости от типа рассматриваемого вероятностного пространства распределение вероятностной меры может быть дискретным, непрерывным, смешанного типа — и задается в виде функции вероятности; функции распределения; плотности вероятности.

Функция вероятности, функция распределения и плотность вероятности представляют собой различные формы задания закона распределения случайной переменной. Функциональная зависимость, определяющая соответствие между элементарными событиями и вероятностями их наступления, называется функцией вероятностей Р(е). Функцией распределения от аргумента х называется вероятность того, что случайная величина х примет любое значение, строго меньшее х:

Значение функции распределения дискретной случайной величины определяется по зависимости

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины может быть вычислена с использованием выражения

где/(/) — плотность вероятности (плотность распределения) случайной величины х.

Плотностью вероятности (распределения) f(x) непрерывной случайной величины х называется предел отношения вероятности попадания случайной величины х на бесконечно малый интервал к длине этого интервала, таким образом

С использованием функции распределения определяется вероятность появления случайной величины х на интервале [а, (3).

Появление х в интервале [а, (3) означает реализацию события (а < х < (3).

Свойства функции распределения:

  • 1. 00 < X < +оо.
  • 2. О < F(x) < 1.
  • 3. Р(а<^<(3) = ДР)-Да).
  • 4. Функция распределения есть неубывающая функция аргумента X.
  • 5 р(—оо) = 0 — по определению, F(+°°) = 1 — по определению.

Непосредственно из определения/(х) следует:

Приведенное выражение называют элементом вероятности.

Основные свойства плотности распределения:

1. /(х) > 0, т.к./(х) = lim АР, АР > 0, Ах >0.

х->0

  • 2. J f{x)dx = .
  • 3. /(х) = Fx) = d7r(x) — по определению.
  • 4. /(-оо) =/(+оо)=0.
  • 5. F(x)= J f(t)dt = 1 - по определению.

Р

6. Р(а < х < (3) = J f(x)dx — вероятность попадания случайной

а

величины х на интервал [а, (3).

При решении многих задач широко используется так называемая схема Бернулли, в которой каждое испытание может закончиться только одним из двух исходов, т.е. в каждом опыте может наступить лишь одно событие — А или А. Обычно эти исходы называют «успехом» и «неудачей», а их вероятности обозначают соответственно Pwq= 1 — Р.

В последовательности п испытаний, описываемых в схеме Бернулли, представляет существенный практический интерес задача, связанная с определением вероятности появления ровно т успехов. Эта задача решается с использованием формулы Бернулли:

Часто на практике требуется определить вероятность наступления события А в п испытаниях хотя бы 1 раз. Если имеет место последовательность испытаний Бернулли, то пользуются формулой

Условное распределение вероятностной меры на пространстве элементарных событий Е мы получаем в случае уточнения информации об исходах эксперимента. Вероятность события AczE, вычисленная в предположении, что событие BczE имело место, называется условной вероятностью Р (А/В) и вычисляется по формуле

Из зависимости для определения условной вероятности непосредственно вытекает важное следствие — формула (теорема) умножения вероятностей:

Пусть некоторая операция допускает исходы Я1? #2,..., Нп, образующие полную группу несовместных событий. Пусть также событие А может наступить лишь с одним из них, т.е.

События Н( при этом обычно называются гипотезами.

Рассматриваемое событие представляет собой объединение соответствующих элементарных событий, т.е.

Следовательно, вероятность события А равна

Данная формула называется формулой полной вероятности.

Из формул сложения и умножения вероятностей, а также из формулы полной вероятности непосредственно следует формула Байеса, которая широко используется при распознавании образов, в диагностике, в теории статистических решений и т.д.

Формула Байеса позволяет по априорным (известным до проведения опыта) вероятностям Р (Щ найти апостериорные (вычисленные после опыта) вероятности P{Hi /А):

Среднее арифметическое, или среднее из опыта, значение случайной величины М*[Х] является случайной величиной и изменяется от одной серии испытаний к другой. Однако при увеличении числа испытаний среднее из опыта значение М*[Л] случайной величины X имеет тенденцию стабилизироваться относительно некоторой постоянной величины М[х], которая называется математическим ожиданием случайной величины X. Для случайной величины дискретного типа математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Для вычисления математического ожидания случайной величины непрерывного типа необходимо перейти от суммы к интегрированию и вместо вероятностей отдельных значений использовать элементы вероятностей:

Центральный момент второго порядка, или дисперсия случайной величины, является характеристикой рассеяния этой случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по следующим зависимостям:

• для дискретной случайной величины:

где т — математическое ожидание случайной величины х (второе обозначение);

• в случае непрерывной случайной величины:

Квадратный корень из дисперсии имеет самостоятельное значение и называется средним квадратическим отклонением ах.

Степень тесноты связи между случайными величинами называют ковариацией и измеряют смешанным центральным моментом второго порядка:

В случае дискретных случайных величин имеем Для непрерывных случайных величин

Наряду с Кх1х2 в качестве оценки корреляционной связи используют коэффициент корреляции

В практике исследований с применением вероятностных методов достаточно часто используют нормальное распределение. Приведем ряд практически важных зависимостей, относящихся к нормальному распределению случайной величины X.

Так, вероятность попадания значений Xна интервал [а, (3) выражается зависимостями:

или табличной функцией нормального распределения: где

где Ф(у) — функция Лапласа. Следует помнить, что функция Лапласа — функция нечетная, т.е. Ф(—у) = —Ф(у).

В теории вероятностей важное значение имеет также класс законов распределения Стьюдента. Эти законы распределения описывают плотности вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке объемом п случайных значений из нормально распределенной генеральной совокупности. По мере увеличения числа степеней свободы (объема выборки, п —> °°) распределение Стьюдента стремится к нормальному.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>