ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В НАУЧНОМ ПОЗНАНИИ

В научных исследованиях часто применяют метод теорий подобия, так как переход от обычных физических величин к величинам комплексного типа создает ряд важных преимуществ. Заданное значение комплекса может быть получено в результате различных комбинаций составляющих его величин. Следовательно, фиксированным значениям новых переменных величин отвечает не одна определенная совокупность первоначальных величин, а бесконечное множество таких совокупностей.

Таким образом, новые переменные по существу являются обобщенными. Замещение обычных переменных обобщенными принято называть теорией подобия и анализа размерностей.

С помощью теории подобия можно получить особенно ценные выводы при рассмотрении таких явлений, которые зависят от большого количества параметров, но при этом некоторые из этих параметров в известных случаях становятся несущественными. Иногда в начальной стадии изучения некоторых сложных явлений теория размерности является единственно возможным теоретическим методом.

Принципиальной особенностью исследований на основе теории подобия является установление условий подобия физических процессов, происходящих в модели и натурном объекте, и приведение результатов испытаний модели к условиям натурного объекта. Метод теорий подобия позволяет с достаточной точностью изучать сложные процессы на более простых моделях, обобщать результаты опытов и получать закономерности, справедливые не только для данного процесса, но и для всей группы подобных процессов.

При моделировании процессов можно вместо дорогостоящих трудоемких опытов на промышленных установках проводить исследования на моделях значительно меньших размеров, а вместо зачастую опасных и вредных веществ использовать безопасные модельные вещества, опыты проводить в условиях, отличных от производственных. Кроме того, материальную модель можно заменить физической схемой (моделью), отражающей существенные особенности данного процесса.

Метод обобщенных переменных составляет основу теории подобия. Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов), описываемых общим законом (процессы движения жидкостей, диффузии, теплопроводности и т.п.), группы подобных явлений.

Подобными называются такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны. Различают следующие виды подобия: геометрическое; временное; физических величин; начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели:

где L, D — размеры натурального объекта; /, d — размеры модели объекта. Безразмерная величина к называется константой геометрического подобия, или масштабным (переходным) множителем.

Константы подобия характеризуют отношение однородных сходственных величин в подобных системах и позволяют перейти от размеров одной системы (модели) к другой (натуре).

Временное подобие предполагает, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых является константой подобия кх, т.е.

где хА, тв время прохождения траектории пути в натуральном объекте; хаихь~ время прохождения траектории пути в модельном объекте.

При соблюдении геометрического и временного подобия константа подобия скоростей /^определяется из соотношений

Подобие физических величин предполагает, что для двух любых сходственных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве и во времени, соотношение физических величин (р — вязкость расплава клея при заданной температуре, р — плотность вещества волокна и т.д.) является величиной постоянной:

и т.п.

Подобие начальных и граничных условий заключается в том, что для начальных и граничных условий должно соблюдаться геометрическое, временное и физическое подобие, так же как и для других сходственных точек натуры и модели.

Рассмотренные константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но могут изменяться в зависимости от соотношения размеров натуры и модели, т.е. если имеется другая модель, подобная натуре, константы подобия будут иными. Если подобные величины выразить в относительных единицах, т.е. в виде отношений сходственных величин в пределах одной системы (натуры или модели), то получим инварианты подобия:

и т.п.

Инварианты подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для всех моделей, подобных натуре, они будут одними и теми же.

Инварианты подобия, представляющие собой отношение однородных величин, называются симплексами, или параметрическими критериями: например, отношение L / D — геометрический симплекс.

Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называются критериями подобия.

Критерии подобия обозначаются начальными буквами имен ученых, которые внесли большой вклад в развитие данной области знаний.

Критерии подобия безразмерны, их значения для разных точек системы могут быть различными, но для сходственных точек подобных систем они одинаковые и не зависят от относительных размеров натуры и модели. Критерии подобия имеют физический смысл, являясь мерами соотношения между какими-то двумя эффектами, силами и т.п., оказывающими влияние на протекание данного процесса.

Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны уравнения, описывающие этот процесс.

Основные положения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основе практического применения теории подобия.

Первая теорема подобия (теорема Ньютона — Бертрана): подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия. Теорема была сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственным количественным условием подобия процессов является равенство критериев подобия натуры и модели. Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другой подобной ей системы (модели) всегда равно единице, например:

Если отношение констант подобия равно единице, то оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия. Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: нужно измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Бэкингема — Федермана): решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями К подобия.

Такие уравнения называются уравнениями обобщенных переменных, или критериальными уравнениями, например

где К,, К2, К3 — критерии подобия.

Обычно критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих критериев подобия:

Например,

где Л, т,п — эмпирические показатели.

Определяемым критерием является тот критерий, в который входит определяемая величина. Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v, ц, р, d и т.д.), называются определяющими.

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе (объекте) мало влияет на его протекание, то критерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут не учитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критерию подобия становится автомодельным, т.е. независимым.

В соответствии с этой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можно представлять в виде критериальных уравнений.

Связь между определяемыми и определяющими критериями подобия устанавливается различными путями, а именно:

  • • построением математической модели явления;
  • • нахождением уравнения регрессии между математическими ожиданиями критериев;
  • • подбором эмпирических формул и вычислением для них соответствующих коэффициентов.

Определяющими считаются критерии, содержащие величины, входящие в условия однозначности явления. В отличие от неопределяемых (зависимых величин), эти критерии могут быть заранее вычислены. Следовательно, при построении критериальных моделей подобия для обобщенного анализа и использования физического моделирования в задачах исследования надежности в дополнение к зависимостям, описывающим изучаемое явление, должны быть сформулированы начальные и граничные условия однозначности, характеризующие временные, геометрические и физические особенности явления.

Третья теорема подобия (теорема Кирпичёва — Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны.

Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.

Таким образом, для исследования объектов, например технологических процессов, методом подобия необходимо:

  • 1) выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс, затем путем преобразования найти критерии подобия;
  • 2) опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.

Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке:

  • 1) каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия к, kv, к{ и т.д.;
  • 2) полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются;
  • 3) в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия.

Таким образом, для правильной постановки и обработки результатов экспериментов, которые позволили бы установить общие закономерности и могли быть приложены к случаям, в которых эксперимент не производится непосредственно, необходимо проводить общий качественный анализ.

Кроме того, сама постановка экспериментов, результаты которых представляются в виде совокупности чисел, характеризующих исследуемые стороны явлений, может осуществляться только на основе предварительного теоретического анализа. В постановке опытов и вообще в практике очень важно правильно выбрать параметры. Число их должно быть минимальным, и взятые параметры должны отражать в наиболее удобной форме основные эффекты.

Выражения, отвечающие исследуемым эффектам, должны оставаться в силе при всех возможных изменениях входящих в них величин. Они представляют собой дифференциальные (или еще более сложные) операторы, связывающие между собой различные (зависимые и независимые) переменные.

Первоначальные величины нужно вводить не как разрозненное множество индивидуальных параметров, а в виде комплексов, в самой структуре которых отражено взаимодействие различных влияний. Эти комплексы и являются переменными, точнее говоря, параметрами, изменяющимися вместе с физической обстановкой, в которых следует рассматривать задачу в соответствии со спецификой исследуемого процесса.

Комплексы построены из параметров, т.е. из величин, которые в пределах данной конкретной задачи должны рассматриваться как постоянные и изменяться только при переходе от одного частного случая к другому, т.е. при замене одного численного варианта условий задачи другим. Задача заключается в том, чтобы выяснить характер этого соответствия и тем самым создать основу для разработки методов прямого перехода от выражений, определяемых непосредственно структурой уравнений, к соответствующим комплексам, составленным из параметров.

При использовании соответствующих теорем подобия модель представляется в критериальной форме, когда критерии подобия становятся обобщенными параметрами, которые характеризуют физическую сущность процессов, а сама модель является типовой для определенного класса процесса. Физический смысл такой постановки состоит в том, что в критериальной форме нет необходимости изучать влияние на процесс каждого фактора в отдельности, так как в этом случае находится функциональная связь между комплексными, обобщенными параметрами (критериями подобия), определяющими физическую сущность происходящего процесса.

Под критериями, или инвариантами, подобия понимаются безразмерные комплексы физических величин, определяющих то или иное физическое явление и имеющих одинаковые параметры.

Важное свойство критериев подобия заключается в следующем: критерии подобия любого явления могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операций перемножения или деления критериев, возведения их в степень или умножения на любой постоянный коэффициент. При этом любая комбинация критериев подобия есть также критерий подобия.

Число безразмерных комплексов равно числу всех физически разнородных величин, существенных для процесса, за вычетом числа первичных величин.

Имеется несколько способов получения критериев подобия на основе установленной номенклатуры параметров, характеризующих физическую сущность исследуемого процесса. Первый способ заключается в приведении уравнений физического процесса к безразмерному виду; следовательно, чтобы применять его, нужно иметь уравнения исследуемого процесса. Второй способ базируется на применении второй теоремы подобия. Им можно пользоваться и в случаях, когда известны только параметры, участвующие в исследуемом процессе, а уравнения процесса неизвестны. Третий способ — относительных единиц, является модификацией первых двух способов.

При этом все параметры выражаются в долях от базисных величин, и их можно рассматривать как своего рода критерии подобия, действующие в данных конкретных условиях.

Наиболее эффективным способом является алгоритм, разработанный В.А. Вениковым на основе методов линейной алгебры. Он состоит из следующих этапов:

  • • составление списка параметров хр ..., хп, характеризующих исследуемый процесс;
  • • составление матрицы из показателей степени размерностей параметров;
  • • выявление числа к независимых между собой параметров путем вычисления ранга матрицы;
  • • расчет значений показателей степеней уп основных параметров;
  • • определение выражений критериев подобия во всех формах записи.

Постоянные параметры, входящие в тот или иной критерий подобия, оказывают различное влияние на результат исследования в зависимости от характера изучаемого явления. В одном случае точность воспроизведения критерия будет оказывать решающее влияние на характер изучаемого процесса, а в другом случае упомянутый критерий может воспроизводиться приближенно, без ущерба для точности получаемого результата. В третьем случае параметры, входящие в критерий, могут не моделироваться вовсе, так как данный критерий не будет оказывать никакого влияния на протекание изучаемого процесса. Поэтому при установлении условий подобия и осуществлении моделирования для решения инженерных задач существенными оказываются не все связанные с данным явлением процессы в совокупности, а только главные процессы.

К факторам, оказывающим влияние на точность воспроизведения критериев подобия, относятся неточности, обусловленные:

  • • определением или заданием параметров оригинала, входящих в критерии подобия, и воспроизведением параметров на модели. Этот вид неточности можно свести к некоторым суммарным неточностям воспроизведения критериев подобия;
  • • погрешностями измерений при проведении опытов. Величина этих погрешностей может быть уменьшена многократным повторением измерений, выбором приборов надлежащей точности;
  • • наличием факторов, иначе проявляющихся в опытах на модели, чем в опытах на натуре, изменяющих параметры исследуемых установок. Влияние этих факторов может привести к тому, что результирующие зависимости, полученные на модели, будут отличаться от аналогичных зависимостей, полученных в оригинале;
  • • неполным учетом в модели факторов, заведомо влияющих на главные процессы, т.е. осуществлением приближенного моделирования вместо моделирования точного.

Таким образом, как бы тщательно ни была выполнена модель, расхождения между получаемыми на ней результатами и результатами, получаемыми в натуре, неизбежны.

Пусть требуется измерить какую-либо величину Q. Это значит, что необходимо ее сравнить с другой величиной q такой же физической природы, т.е. определить, во сколько раз Q отличается от q. Для единообразия устанавливают определенное значение q и называют ее единицей измерения. Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц.

Величины, численное значение которых зависит от системы единиц измерения, называются размерными. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными.

Длина, время, энергия могут служить примерами размерных величин. Углы, отношение двух длин — примеры безразмерных величин.

Однако понятия размерных и безразмерных величин являются относительными понятиями. Вводится некоторый запас единиц измерения. Тогда величины, для которых единицы измерения одинаковы во всех принятых системах единиц измерения, считаются безразмерными. Величины, для которых в опытах или в теоретических исследованиях явно или неявно допускаются различные единицы измерения, называются размерными.

Размерные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными, или первичными, а все остальные — производными, или вторичными.

В настоящее время наиболее распространенной и имеющей предпочтительное применение является Международная система единиц СИ. В системе СИ произвольно (т.е. независимо одна от другой) выбирают единицы измерения, так называемые первичные единицы измерения, такие как масса, длина, время, температура, сила тока, сила света, количество вещества и т.п. Они получили название основных единиц. Единицы измерения других физических величин, например сила, скорость, энергия и др., получаются из основных единиц в результате того или иного действия над ними.

Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Например, сила определяется исходя из уравнения:

Размерность записывается символически в виде формулы, в которой символ единицы измерения обозначается буквой в квадратных скобках:

где [М, [L], [Т] — соответственно размерности массы, длины и времени.

В то же время размерность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей первичных величин:

Таблицу основных параметров, определяющих явление, всегда легко составить, если задача сформулирована математически. Для этого следует отметить все размерные и безразмерные величины, которые необходимо и достаточно задать, чтобы численные значения всех искомых величин определялись уравнениями задачи. В ряде случаев таблицу определяющих параметров можно составить, не выписывая уравнение задачи. Можно просто установить факторы, необходимые для полного определения искомой величины, численное значение которой иногда можно находить только экспериментально. Среди определяющих параметров должны быть величины с размерностями, через которые могут быть выражены размерности всех зависимых параметров.

При решении какой-либо задачи очень редко применяются все основные единицы измерения. Например, для механической системы используются такие величины, как метр, килограмм, секунда, в то время как в электрической системе, в которой отсутствует механическое перемещение тел, применяются размерности силы тока, длины, времени (ампер, метр, секунда).

Рассмотрим механическую систему с тремя основными единицами измерения, а именно, длиной [L], массой [М, временем [7].

Можно ли выбрать в качестве первичных величин какие-либо три иные: uv и2, и3? Очевидно, это можно сделать в том случае, если:

  • • размерности [и,], 2,3] являются независимыми функциями [М, [L, [7], т.е. [w,] ф [u2a[u3f при любых а и (3;
  • • возможно однозначное обратное преобразование, т.е. [М, [L, [7] единственным образом можно выразить через {], [и2],3].

Определим, при каком условии оба эти требования выполняются.

Пусть размерности и,, и2, и3 таковы:

Прологарифмируем эти выражения:

Полученная система уравнений имеет решение и притом единственное, если составленный из коэффициентов уравнения определитель отличен от нуля:

Тем самым удовлетворяется требование, что при выполнении этого условия [М], [I], [7] единственным образом выражаются через ]], 2,3].

Можно констатировать, что если число основных единиц равно у, то количество величин и также равно у. Например, первичными величинами могут быть такие величины, как сила, время, длина:

поскольку соответствующий определитель не равен нулю:

т.е. эти величины могут быть использованы в качестве первичных.

Если же взять в качестве первичных такие величины, как сила, скорость и мощность, у которых А = 0, то эти величины не являются независимыми, так как они связаны между собой уравнением (N = Fv), и их размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц измерения.

Наряду с этим необходимо отметить, что количество основных единиц измерения является в известной степени произвольным.

В теории подобия большое значение имеют безразмерные комплексы величин, представляющие собой произведение различных степеней этих величин. Их называют критериями подобия и обозначают через п (пи).

Для примера рассмотрим механическое явление, где в качестве основных единиц измерения взяты [М, [L, [7]. Пусть имеется п

величин рр i= 1,2,n. Размерность любой величиныр{ можно выразить через эти величины:

Любой критерий подобия — это некоторая комбинация величин

Л-

где С — безразмерная величина.

Поскольку критерии подобия — величины нулевой размерности, то

Таким образом, получена система трех уравнений с неизвестными Zj, Z2, ..., Zn. Для выяснения числа независимых решений следует составить матрицу:

Обозначим через г ранг матрицы. В таком случае, как известно, система уравнений имеет п—г независимых решений:

Тогда каждое решение Z,Z,...,Z позволяет получить один критерий подобия. Причем ранг матрицы не может быть больше числа основных единиц выбранной системы измерения, так как число строк матрицы равно числу основных единиц.

Рассмотрим пример прогнозирования разрывной нагрузки ткани от параметров ее структуры методом теории подобия и анализа размерностей.

Известно, что разрывная нагрузка ткани есть функция следующих основных переменных:

где Ро — разрывная нагрузка основной нити; То, Ту — линейная плотность нитей основы и утка; По, Пу — плотность ткани по основе и утку; Ro раппорт переплетения по основе; Ry раппорт переплетения по утку; /0 — число основных перекрытии в раппорте по основе; ty — число уточных перекрытий в раппорте по утку; В — ширина полоски ткани.

Именно эти факторы являются управляющими по отношению к строению ткани и определяют сущность строения, его параметры, характеристики, показатели. Эти же факторы являются объектами проектирования или заданными параметрами строения. Применяя теорию подобия и анализа размерностей, представим приведенную выше функциональную зависимость в виде безразмерных комбинаций величин:

где г — безразмерный параметр, характеризующий неодновремен- ность разрыва нитей основы; ГуПу / 7оПо — безразмерный параметр, характеризующий отношение массы уточных нитей в ткани к массе основных нитей, t0t / R0Ry — безразмерный параметр, характеризующий переплетение нитей основы и утка.

Для определения эмпирической зависимости были выработаны образцы хлопчатобумажных тканей с различным переплетением нитей основы и утка и соотношением ГуПу / Г0П0. Были получены хлопчатобумажные ткани из пряжи кольцевого способа прядения. Результаты расчета разрывной нагрузки образцов из указанных тканей приведены в табл. 5.1.

Для установления степени влияния каждого из параметров ГуПу / ТПо и toty / RoRy на л определяем зависимости л =ЛТПу / ГПо) при усредненных значениях tQty / RoRy и л =Л^/У / ПРИ УсРеД_ ненных значениях ГуПу / ГоПо.

Аппроксимирующая зависимость имеет вид

Используя эту зависимость, производим перерасчет исходных данных Г| для значения tQty / RQRy = 1 в г'.

Применяя пересчитанные исходные данные г|, находим аппроксимирующую зависимость rj" = /(ГуПу / ГоПо) для tQt / RQRу = 1:

В общем виде формула для расчета г однослойной хлопчатобумажной ткани, выработанной из пряжи кольцевого способа прядения, примет вид

Тогда разрывная нагрузка хлопчатобумажной ткани определяется по формуле

*

где Г| — коэффициент неодновременности разрыва основных нитей в ткани.

Таким образом,

Формула справедлива для 0,25 < tQty / R0Rу < 1 и 0,48 < Т Пу / Г0П0 < < 1,192.

Аналогичным образом можно рассчитать разрывную нагрузку любой ткани. В табл. 5.1 приведено значение отклонения расчетных показателей разрывной нагрузки от фактических, экспериментально определенных. Погрешность не превышает 10%, что отвечает требованиям заказчика.

Условное

обозначение,

артикул

ткани

Переплетение

Разрывная нагрузка пряжи, Н

Разрывная нагрузка ткани,Н

Q расчетное, Н

Отклонение, %

Перкаль С 25

Полотняное

11,8

9,0

42,1

47,2

2,01

1,49

472

426

1,00

0,855

1,118

1,118

454

3,8

Батист 1503

Полотняное

10,0

10,0

28,1

33,5

1,63

1,63

276

341

1,00

1,192

1,249

1,249

262

5,4

Бязь 646

Полотняное

37,5

37,5

23,4

22,8

5,30

5,30

705

680

1,00

0,974

1,137

1,137

683

3,2

Артикул 643

Саржа 2 /1

36,0

36,0

40,4

22,6

6,40

6,40

1380

770

0,44

0,559

1,067

1,011

1315

4,7

Артикул 590

Саржа 3 /1

28,0

28,0

45,6

22,0

5,91

5,91

1350

950

0,25

0,482

1,002

0,950

1418

5,0

Артикул 520

Саржа 2/2

33,0

29,0

45,0

24,4

5,74

2,90

1400

370

0,25

0,476

1,084

0,880

1352

3,4

Артикул 541

Саржа 2/2

29,0

29,0

35,6

26,0

4,12

4,12

796

650

0,25

0,730

1,085

0,950

866

8,8

Контрольные вопросы

  • 1. Какие основополагающие принципы заложены в теории подобия и анализа размерностей?
  • 2. Какие явления и объекты называются подобными?
  • 3. Какие виды подобия вы знаете? Опишите их.
  • 4. Что такое инварианты подобия?
  • 5. Что такое индикатор подобия — теорема Ньютона — Бертрана?
  • 6. Где используется критериальное уравнение — теорема Бэкингема — Федермана?
  • 7. Какова суть третьей теоремы подобия — теоремы Кирпичёва — Бухмана?
  • 8. Как методом теории подобия преобразовать дифференциальное уравнение?
  • 9. Какие способы получения критериев подобия вы знаете?
  • 10. Что такое размерность в теории подобия и как она записывается?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >