Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ ТИПА BN

Планы типа Вп представляют собой симметричные планы второго порядка с ядром в виде ПФЭ 2к или ДФЭ Т~р, дополненные звездными точками с плечом у = 1 и опытами в центре плана.

Иначе говоря, эти планы состоят из 2к (2к~р) вершин /:-мерного гиперкуба с координатами ±1, из 2к центров (п - 1)-мерных граней и некоторого числа опытов в центре гиперкуба.

Количество точек плана с ядром:

• из ПФЭ составляет

• для ДФЭ

В каждой точке проводится равное число опытов.

Планы этого типа имеют минимальное количество уровней варьирования факторов, равное трем, что позволяет более точно выдерживать режимы работы изделий при натурных испытаниях по сравнению с планами, в которых требуется большее число уровней изменения управляемых переменных.

Планы типа Вп близки к D- и (7-оптимальным планам.

Обычно результаты опытов в нулевой точке служат для проверки гипотезы об адекватности модели экспериментальным данным.

Если оценку параметров выполнять по результатам опытов в звездных точках и точках ядра, то

где Nx число точек ядра плана; уи среднее значение отклика в и-й точке, полученное по /-опытам. Если некоторые коэффициенты незначимы, то остальные уточняются по специальным формулам.

КАТАЛОГИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

Построение оптимальных планов для произвольных функций отклика представляет сложную задачу. В интересах облегчения решения такой задачи для некоторых типовых функций отклика составлены каталоги оптимальных планов. Рассмотрим некоторые из них для случаев, когда многомерное пространство допустимых значений факторов представляет собой куб или шар.

Допустимые области значений факторов должны удовлетворять условиям, соответственно:

1. ^-оптимальные и D-оптимальные планы. Функция отклика представляет собой полином порядка q одного фактора = 1):

Примеры ^-оптимальных планов представлены в табл. 8.15, D-оптимальных планов — в табл. 8.16.

Соблюдение свойства оптимальности планов требует выполнения определенных соотношений по количеству реализаций в каждой точке плана. Это соотношение задается значением веса w,-.

Таблица 8.15

Характеристики А-оптимальных планов

Степень полинома, q

Значения фактора, х / вес точки плана, w

2

-1,0/0,25

0,0/0,5

1,0/0,25

3

-1,0/0,152

-0,468/0,348

0,468/0,348

1,0/0,152

-

4

-1,0/0,107

-0,683/0,25

0,0/0,286

0,683/0,25

1,0/0,107

Таблица 8.16

Характеристики D-оптимальных планов

Степень полинома, q

Значения фактора, х

2

-1,0

0,0

1,0

3

-1,0

-0,447

0,447

1,0

4

-1,0

-0,655

0,0

0,655

1,0

Например, значение веса, равное 0,152, означает, что в соответствующей точке плана в ходе исследования следует провести 0,152-ю часть всех опытов.

Для Д-оптимальных планов вес точек различен, для D-оптималь- ных планов вес всех точек одинаков.

Выше были рассмотрены композиционные планы для оценки коэффициентов полной квадратичной функции от к факторов.

  • 2. Оптимальные планы на кубе, которые предусматривают выбор множества точек с целочисленными координатами:
    • • точка в центре куба (множество М0). Все координаты равны нулю;
    • • множество точек Мк, соответствующих вершинам куба. Все координаты равны ±1. Количество точек 2к
  • • множество Мкл середин ребер (все координаты равны ±1, за исключением одной нулевой координаты). Количество точек к2кл
  • • множество центров граней размерности к - / (/ координат равно нулю). Количество точек равно СкЛ2кЛ, 1=2,3, ..., к - 1.

В табл. 8.17 представлен вес множества Mpj = 0, 1,2, ..., к для различного количества факторов. Для получения веса конкретной точки плана следует вес соответствующего множества разделить на количество точек в множестве. Как видно из табл. 8.17, каждый фактор варьируется на трех уровнях, и не все сочетания множеств допустимы для конкретного плана.

Таблица 8.17

Таблица весов множества для различного количества факторов

Критерий

оптималь

ности

плана

Количество переменных, к

Множество точек плана

D

2

0,0962

0,3206

0,5832

3

0,0655

0,4242

0,5103

4

0,0474

0,5021

0,4506

5

0,0368

0,5622

0,4021

6

0,0216

0,6097

0,3297

Л

2

0,376

0,391

0,233

3

0,425

0,569

0,060

4

0,370

0,552

0,078

5

0,427

0,573

6

0,404

0,556

0,040

Пример. Составить /)-оптимальный план на кубе для к = 3. План представлен в табл. 8.18.

Таблица 8.18

Матрица планирования D-оптимального плана для к = 3

X,

*2

*3

Характеристика множества

0

0

0

Множество М0. Вес точки w, = 0,0655

+ 1

+1

0

Множество М2.

Суммарный вес точек множества = 0,4242. Количество точек 2 • к (к - 1).

Вес одной точки wj= 0,4242 / 12 = 0,0353

-1

+1

0

+ 1

-1

0

-1

-1

0

+ 1

0

+ 1

*1

*2

*3

Характеристика множества

-1

0

+1

+1

0

-1

-1

0

-1

0

+1

+1

0

-1

+1

0

+1

-1

0

-1

-1

+1

+1

+1

Множество Му

Суммарный вес точек множества = 0,5103. Количество точек 2'к = 8.

Вес одной точки wy= 0,5103/ 8 = 0,0638

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

+ 1

-1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

-1

-1

План включает:

  • • точку с нулевыми координатами;
  • • двенадцать точек, соответствующих центрам ребер трехмерного куба;
  • • восемь точек, соответствующих вершинам куба.

Этот план не включает точки, соответствующие центрам граней трехмерного куба.

  • 3. Оптимальные планы на шаре единичного радиуса для построения полных квадратичных моделей включают следующие множества точек:
    • • точку в центре шара (множество М0). Все координаты равны нулю;
    • • множество точек с координатами (±1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., ±1). Это множество Мх содержит 2к точек;
    • • множество М2 точек, соответствующих вершинам вписанного в шар многомерного куба.

Координаты вершин куба принимают значения ±кх/2. Количество вершин куба равно 2к.

В табл. 8.19 приведен вес множества Mj,j= 0,1,2 для различного количества факторов к. Расчет веса конкретной точки плана производится делением веса соответствующего множества на количество точек в множестве. Как видно из табл. 8.19, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

Вес множеств для А- и D-оптимальных планов

Критерий

оптимальности

Количество факторов, к

Множество точек

А

2

0,2918

0,2932

0,4148

3

0,1924

0,2586

0,5488

4

0,1377

0,2256

0,6368

5

0,1044

0,2000

0,6976

6

0,0825

0,1750

0,7425

D

2

0,1667

0,4167

0,4167

3

0,1000

0,3600

0,5400

4

0,0667

0,3111

0,6222

5

0,0476

0,2721

0,6803

6

0,0357

0,2411

0,7232

Пример. Составить D-оптимальный план на шаре для к = 3. /)-оптимальный план имеет матрицу планирования для основных переменных, представленную в табл. 8.20. Количество точек плана равно 15, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

По своим параметрам представленный план во многом аналогичен центральному композиционному плану Бокса. Отличие заключается в величине радиуса гиперсферы — он равен единице (в ЦКП Бокса радиусы превышают единичное значение).

Таблица 8.20

Матрица планирования D-оптимального плана

Фактор

Вес точки плана

Примечание

0

0

0

0,1000

Множество М0

1

0

0

0,0600

Множество Мх. Суммарный вес 0,3600. Количество точек 7

-1

0

0

0,0600

0

1

0

0,0600

0

-1

0

0,0600

0

0

1

0,0600

0

0

-1

0,0600

Фактор

Вес точки плана

Примечание

3-1/2

3-./2

з-,/2

0,0675

Множество М2. Суммарный вес 0,5400. Количество точек 8

_3-l/2

3-|/2

з-,/2

0,0675

з-1/2

-з-1/2

з-|/2

0,0675

_3-1/2

-з-1/2

з-|/2

0,0675

3"1/2

з-,/2

—з_1/2

0,0675

_3-./2

з-1/2

_3-!/2

0,0675

З-./2

_3-./2

_3-!/2

0,0675

_3-1/2

_3-./2

_3-,/2

0,0675

План на шаре более экономичен по количеству точек по сравнению с планом на кубе (аналогичный план на кубе содержит 21 точку), но вместо трех уровней варьирования фактора предполагает пять уровней.

Контрольные вопросы

  • 1. В каких случаях используют квадратичную модель объекта? Дайте определение ЦКП, ОЦКП и РЦКП. В чем особенности каждого плана и его преимущества?
  • 2. Особенности построения матрицы планирования ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП). Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы ОЦКП?
  • 3. Поясните суть построения уравнения регрессии в ОЦКП. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова. Как рассчитываются коэффициенты регрессии ОЦКП?
  • 4. Как оценивается значимость коэффициентов регрессии и содержательность регрессионной модели ОЦКП?
  • 5. Как проверяются адекватность и предсказательная способность модели и анализ остатков ОЦКП?
  • 6. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана?
  • 7. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы ротатабельного центрального композиционного плана (РЦКП) и построение матрицы планирования?
  • 8. Как определяется точность оценки коэффициентов регрессии в РЦКП?
  • 9. Как перевести уравнения регрессии в натуральные величины?
  • 10. С какой целью и в чем состоит методика перевода уравнения регрессии ОЦКП и РЦКП в каноническую форму? Как проверяется правильность вычисления коэффициентов уравнения канонической формы?
  • 11. Как определяется соотношение между координатами плана ортогонального ХП и канонического Zn?
  • 12. Какие контурно-графические методы анализа математического описания функции отклика вы знаете?
  • 13. Каковы особенности построения композиционного плана типа Вп и нахождения коэффициентов уравнения регрессии?
  • 14. Какие каталоги оптимальных планов вы знаете? В чем сутьЛ-опти- мальных и /)-оптимальных планов?
  • 15. Каковы особенности построения /^-оптимальных планов на шаре и кубе?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>