Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПЕРЕВОД КОДИРОВАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Найдем нормированное значение XiH для каждого фактора:

Подставляя их в полученное уравнение регрессии, преобразуем его в вид:

В окончательном виде

где Т — температура, °С; W— влажность, %.

КАНОНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В области, близкой к оптимуму, то из-за кривизны поверхности для описания отклика требуется модель второго или более высокого порядка. Уравнение регрессии, полученное с помощью ортогонального или РЦКП, позволяет предсказать не только значение функции отклика для заданных условий проведения эксперимента, но также дает информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимального режима, например технологических процессов отделки текстильных и кожевенных материалов.

В большинстве случаев используют модель второго порядка типа

или уравнение регрессии в обычном виде

Анализ поверхности второго порядка часто называется каноническим. Например, мы хотим найти уровни хь х2, ..., хк, оптимизирующие поверхность отклика, тогда точка максимума, если она существует, описывается таким набором координат хх, х2, ..., хк, как частные производные: Эу/дх1 = Эу/дх2 = ... = ду/дхк = 0.

Допустим, эта точка имеет координаты х{ 0, х2 0, ... , хк 0, называется стационарной. Стационарная точка может являться точкой максимума или минимума отклика, либо седловой точкой. Таким образом, все многообразие поверхностей отклика можно разделить на три класса. Эти три разновидности стационарных точек приведены на рис. 8.3.

Стационарные точки поверхности отклика второго порядка

Рис. 8.3. Стационарные точки поверхности отклика второго порядка: а — экстремум на вершине поверхности отклика;

б — «стационарного возвышения»; в — поверхность отклика «седлом»

К первому классу относятся поверхности, имеющие экстремум (рис. 8.3, а). В этом случае все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки, а центр поверхности находится вблизи центра эксперимента. Анализ таких поверхностей заканчивается после приведения уравнения регрессии к канонической форме. Исследователю необходимо только поставить несколько опытов вблизи центра поверхности и убедиться, что значения функции отклика, предсказанные уравнением регрессии, достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными.

Ко второму классу относятся поверхности типа «стационарного возвышения» (рис. 8.3, б). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю.

К третьему классу относятся поверхности типа «седло» (рис. 8.3, в). Они характеризуются тем, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, а центр поверхности находится поблизости от центра эксперимента. Если поверхность отклика имеет вид типа «стационарное возвышение» или «седло», то исследователь должен пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычислительной техники для нахождения условного экстремума критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы и остальные функции отклика. Частью канонического анализа и является определение характера стационарной точки.

Для определения характера стационарной точки необходимо преобразовать модель, перейдя к новой системе координат S с началом в стационарной точке Х0, а затем повернуть оси этой системы так, чтобы они совпали с главными осями подобранной поверхности отклика (рис. 8.4). При этом уравнение регрессии (8.7) примет вид так называемой канонической формы:

где Y — функция отклика; Ys значение функции отклика в новом начале координат; Z• — преобразованные независимые переменные; Вц— коэффициенты канонической формы.

Чтобы привести уравнение регрессии (8.7) к канонической форме (8.8) следует найти частные производные функции отклика по всем факторам, приравнять их нулю и решить систему уравнений: Каноническая форма уравнения регрессии второго порядка

Рис. 8.4. Каноническая форма уравнения регрессии второго порядка

Если эта система имеет решение (обозначим его Xls,..., Xns), то поверхность называется центральной, а числа Xls, ..., Хт являются координатами ее центра.

Подставляя Xls,..., Xnsв уравнение (8.7) находим Ys.

Решая характеристическое уравнение (8.9), находим его корни Вп,..., Впп. Эти корни являются коэффициентами искомой квадратичной формы.

На главной диагонали симметричной матрицы стоят коэффициенты при чисто квадратичных слагаемых (by), а недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов при смешанных произведениях (by, /VI).

Корни найдены правильно, если выполняется условие

Рассмотрим методику нахождения зависимости между переменными Х„ и Zlv.., ZN. Сначала решают систему уравнений (8.10):

где by = bp i = 1,2,..., «min — нормированные векторы.

Решение этой системы уравнений может быть найдено с точностью до числового множителя.

Систему уравнений (8.10) решают п раз, каждый раз при новом значении Ви. В результате решения находим:

Для решения нормированного уравнения, надо определить величины Му, где i,j= 1,2, п:

При каждом значении /' = 1, 2,..., п выполняется условие нормировки:

Искомая зависимость между переменными имеет вид:

При числе факторов п > 2 приведение уравнения к каноническому виду требует значительного объема вычислений, поэтому его следует осуществлять с помощью вычислительных машин.

Характер поверхности отклика можно определить по стационарной точке, знаку и величине В,-.

Предположим сначала, что стационарная точка находится в области экспериментирования, исследованной при подборе модели второго порядка.

Если все ^положительны, tox0 — точка минимума отклика; если все В, отрицательны, то х0 — точка максимума отклика. Если знаки Вi различны, тох0 — точка седла. Кроме того, поверхность оказывается наиболее крутой в направлении S, для которого 5, наибольший.

На (рис. 8.5) изображена система, для которой х0— точка максимума (коэффициенты В{ и В2 неотрицательны), причем |5j| > В2.

Когда одно или несколько очень малы (например, Bt~ 0), то система оказывается нечувствительной к переменной Zr Поверхность такого типа часто называется стационарным гребнем (рис. 8.5, я).

Если стационарная точка находится далеко за пределами области, исследованной при подборе поверхности второго порядка, а одно или более Bt близко к нулю, то поверхность может быть возрастающим гребнем (рис. 8.5, б).

Поверхности отклика вида

Рис. 8.5. Поверхности отклика вида: а — со стационарным гребнем; б — с возрастающим гребнем

На рис. 8.6 изображен возрастающий гребень для к = 2 переменных при значении Вь близком к нулю, и отрицательном значении В2.

Пример схемы построения плана в точках экстремума

Рис. 8.6. Пример схемы построения плана в точках экстремума

Для систем с гребнями такого типа нельзя сказать ничего определенного об истинной поверхности или стационарной точке, поскольку х0 не принадлежит области экспериментирования, исследованной при подборе модели. Однако разумно продолжить исследование в направлении Если В2 положительно, то систему называют нисходящим гребнем.

Пример. Приведем к каноническому виду уравнение рецессии, описывающее влияние Хх — температуры иХ2 индекса текучести расплава клея на у-прочность клеевого соединения деталей одежды:

Сначала составим систему уравнений:

Приведем ее к виду:

Эту систему уравнений будем решать методом определителей:

Подставляя найденные значения Xls и X2s в исходное уравнение регрессии, получим

Составим характеристическое уравнение

Подставим в него значения коэффициентов

Раскрывая определитель, стоящий в левой части уравнения, получим:

Корни уравнения

Проверим выполнение условия

Таким образом, условие выполнено, следовательно, коэффициенты канонической формы вычислены правильно.

Уравнение регрессии в канонической форме имеет вид

Отсюда видно, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, и это свидетельствует о том, что поверхность отклика имеет вид «седла». Поэтому, чтобы увеличить значение У, следует двигаться от центра поверхности по направлению оси Z2.

Найдем соотношение между координатами Хх, Х2 и Z,, Z2. Составим для этого систему уравнений:

Подставляя в нее значения коэффициентов, получим:

Отсюда ти = 5,08тп. Учитывая, что решение данной системы уравнений возможно только с точностью до числового множителя, предположим, что т]2 = 1, тогда ти = 5,08.

Найдем теперь нормированное решение уравнения, для этого определим величины М{ {и Л/12:

Составим вторую систему уравнений:

Подставляя в нее значения коэффициентов, получим:

Отсюда /л21 = -0,195 * т12.

Примем, что т22 = 1, тогда т2 = -0,195.

Найдем величины М2[ и М22.

Представим связь между координатами в следующем виде:

Подставляя сюда значения коэффициентов, получим:

Для нахождения угла поворота ф новых координатных осей относительно старых вычислим величину

Отсюда ф = 10,9°. Угол положителен, следовательно, координатные оси при каноническом преобразовании повернуты против часовой стрелки.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>