Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ПЛАНЫ

Рассмотрим построение ортогональных центральных композиционных планов (ОЦКП) второго порядка.

Общее количество точек плана при использовании О ЦКП составит Графическое изображение ОЦКП для трех факторов

Рис. 8.1. Графическое изображение ОЦКП для трех факторов

где 2к количество опытов полного факторного эксперимента; 2п — число так называемых звездных точек в факторном пространстве с координатами (±у,0, ...,0), (0, ± у, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ± у); у — называется звездным плечом; 1 — опыт в центре планирования, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0,..., 0).

ПФЭ 23 образует ядро композиционного плана, которое изображено кружками (рис. 8.1) и затемненными точками. В качестве дополнительных точек для наблюдений возьмем шесть звездочек с координатами: (-^, 0,0); (+у, ,0,0); (0, —у2, 0); (0, +у2, 0); (0, 0, -у3); (0, 0, +у3).

При построении ЦКП используют п0 параллельных опытов в центре (затемненный квадрат на рис. 8.1). Они необходимы для проверки гипотезы адекватности модели и получения информации о центре плана. В табл. 8.1 и 8.2 показаны соответствующие матрицы планирования для ЦКП при п = 2. Количество опытов для данного плана А=22 + 2- 2+1=9.

Таблица 8.1

Ядро плана

Ядро плана

*1

*2

+

+

+

+

Таблица 8.2

Дополнительные точки

Дополнительные точки

*1

*2

У

0

0

0

У

0

-Y

0

0

При п = 3 количество опытов возрастает до N= 23+ 2- 3 + 1 = 15. Аналогично строятся ЦКП для произвольного числа факторов, при этом каждый фактор варьирует на пяти уровнях: — у; -1; 0; +1; +у.

В матрице плана второго порядка не у всех столбцов соблюдается условие симметрии и не все пары столбцов ортогональны. Матрица, например, для двух переменных ОЦКП имеет вид, показанный в табл. 8.3, а для трехфакторного эксперимента — в табл. 8.4.

Таблица 8.3

Матрица ОЦКП для двухфакторного эксперимента

+ 1

-1

-1

+1

+1

+1

+ 1

+ 1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

0

0

+1

0

+1

+1

0

0

+1

0

+ 1

0

-1

0

0

+1

+ 1

0

+ 1

0

0

+1

+ 1

0

0

0

0

0

Уравнение (8.1) относительно матрицы В (табл. 8.3) будет иметь вид

где X' — транспонированная матрица; (Х'Х) — информационная матрица; (Х'Х)'1 обратная матрица.

Таблица 8.4

Матрица ОЦКП для трехфакторного эксперимента

План

ПФЭ

23

+

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

-

+

-

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

+

+

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

+

+

+

+

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Звездный

план

+

0

0

0

0

0

У,2

0

0

+

ъ

0

0

0

0

0

У,2

0

0

+

0

0

0

0

0

0

ъ2

0

+

0

ъ

0

0

0

0

0

У22

0

+

0

0

-Уз

0

0

0

0

0

У,2

+

0

0

Уз

0

0

0

0

0

УЗ2

Центр плана

+

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Для трехфакторного плана информационная и обратная матрица имеет вид:

Х'Х-

Информа-

ционная

матрица

15

0

0

0

0

0

0

10

10

10

0

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

10

8

8

10

0

0

0

0

0

0

8

10

8

10

0

0

0

0

0

0

8

8

10

(Х'Х)-1 = Обратная матрица

0,29

0

0

0

0

0

0

-0,33

-0,36

-0,36

0

0,1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,125

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,125

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0,125

0

0

0

-0,36

0

0

0

0

0

0

0,3

0,04

0,04

-0,36

0

0

0

0

0

0

0,04

0,28

0,04

-0,36

0

0

0

0

0

0

0,04

0,04

0,28

Коэффициенты рассчитываются по формулам:

После проведения предварительного эксперимента составляется ОЦКП и вычисляются его параметры.

Рассмотрим построение ОЦКП второго порядка для трех переменных (табл. 8.5).

N N

Суммы Xх! ф^Lix?jx8i ф так как xfj ф 0 для всех строк плана.

i=i i=i

Для устранения асимметрии и нарушений ортогональности ЦКП Бокса необходимо провести преобразование квадратичных параметров и специальным образом выбрать величину плеча у.

Чтобы добиться соблюдения свойства симметричности, следует перейти отх? к центрированным величинамх* = xf -xjcp (суммацентрированных величин равна нулю).

Среднее значение х]ср, как видно из табл. 8.5, для всех х} одинаково и равно

ОЦКП второго порядка

План

ПФЭ

23

+

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

-

+

-

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

+

+

+

+

-

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

+

+

+

+

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Звездный

план

+

0

0

0

0

0

У,2

0

0

+

Yi

0

0

0

0

0

7,2

0

0

+

0

0

0

0

0

0

ъ2

0

+

0

ъ

0

0

0

0

0

ь-

0

+

0

0

-Уз

0

0

0

0

0

Уз2

+

0

0

Уз

0

0

0

0

0

УЗ2

Центр

плана

+

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Тогда исходную квадратичную модель (8.2) можно преобразовать:

где d0 = b0 + bnx]cp + ... + ЬпАп^пс р = Ь0 + с(Ьп + ... + ЪпЛп).

Исходная и преобразованная модели эквивалентны, кроме того, в них все коэффициенты, за исключением нулевого, совпадают. После преобразования получим матрицу планирования (табл. 8.6). В этой таблице суммы элементов по всем столбцам, за исключением столбца х0, равны нулю, т.е. в преобразованной таблице соблюдается свойство симметричности.

Но столбцы квадратичных членов не являются ортогональными при произвольных значениях у.

Таблица 8.6

Преобразованная матрица планирования ОЦКП второго порядка

План

ПФЭ

23

+

-

-

-

+

+

+

+

+

-

-

-

-

+

+

-

+

-

-

+

-

+

+

+

-

+

-

-

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

Звезд-

ный

план

+

0

0

0

0

0

+

У

0

0

0

0

0

+

0

0

0

0

0

+

0

У

0

0

0

0

+

0

0

0

0

0

+

0

0

У

0

0

0

Центр

плана

+

0

0

0

0

0

0

N

I 4

и=1

/V

Ортогонализация столбцов, т.е. приравнивание 2hxiuxju к нулю,

и=1

достигается специальным выбором величины у. Это значение величины у находится из уравнения

Отсюда получаем

Следовательно, c2N= N0 = 2к. Тогда с = (N0 /N)x/2.

Подставим найденное значение величины с в уравнение (8.4)

Решив уравнение, найдем величину у, которая придает матрице планирования (в том числе табл. 8.6) свойство ортогональности:

Значения параметров ОЦКП в зависимости от числа факторов представлены в табл. 8.7.

Таблица 8.7

Значения параметров ОЦКП при числе факторов к

к

2

3

4

5

6

7

8

S

1

1,215

1,414

1,547

1,761

1,909

2,045

с

0,667

0,73

0,8

0,86

0,91

0,946

0,968

N

9

15

25

43

77

143

273

При к = 2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2к всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара).

При числе факторов к = 3 ОЦКП имеем следующие параметры плана (табл. 8.8):

Видно, что такой план является ортогональным. В отличие от ПФЭ, для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой. По результатам опытов плана формируется полином:

Преобразованный полином имеет вид где Ь0' = Ь0- Ь4с - Ь5с - Ьвс.

План ОЦКП не является насыщенным, так как, например, для к = 3 полином имеет 11 членов уравнения со своими коэффициентами, но для их определения необходимо 15 опытов. Коэффициенты полинома b0, b{, b2, b3, bn, bl3, b23, Ь123, ЬА, Ь5, Ьь определяются по формуле

Параметры ОЦКП для трех факторов

План

Номер опыта

ПФЭ

23

1

+

-

-

-

+

+

+

-

0,27

0,27

0,27

2

+

+

-

-

-

-

+

+

0,27

0,27

0,27

3

+

-

+

-

-

+

-

+

0,27

0,27

0,27

4

+

+

+

-

+

-

-

-

0,27

0,27

0,27

5

+

-

-

+

+

-

-

+

0,27

0,27

0,27

6

+

+

-

+

-

+

-

-

0,27

0,27

0,27

7

+

-

+

+

-

-

+

-

0,27

0,27

0,27

8

+

+

+

+

+

+

+

+

0,27

0,27

0,27

Звезд-

ный

план

9

+

-1,215

0

0

0

0

0

0

0,75

-0,73

-0,73

10

+

1,215

0

0

0

0

0

0

0,75

-0,73

-0,73

11

+

0

-1,215

0

0

0

0

0

-0,73

0,75

-0,73

12

+

0

1,215

0

0

0

0

0

-0,73

0,75

-0,73

13

+

0

0

-1,215

0

0

0

0

-0,73

-0,73

0,75

14

+

0

0

1,215

0

0

0

0

-0,73

-0,73

0,75

Центр

плана

15

+

0

0

0

0

0

0

0

-0,73

-0,73

-0,73

N

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

15

10,952

8

4,3727

В приведенной формуле т = С2+2 и обозначает общее количество оцениваемых коэффициентов полинома, за исключением нулевого:

Оценка коэффициента

Оценки дисперсии коэффициентов регрессии для планов второго порядка, в отличие от линейных планов, являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана. Оценку дисперсии коэффициентов рассчитывают по формулам:

где ?2м) — оценка дисперсии среднего значения функции отклика в и-й точке плана.

Оценка функции отклика в точке (х,, х2,..., хп)т

Оценка дисперсии функции отклика

Оценка дисперсии функции отклика зависит не только от расстояния до заданной точки от центра, но и от ее положения в пространстве, т.е. ортогональный план второго порядка не является ротатабельным.

Проверка однородности воспроизводимости дисперсии, значимости коэффициентов полинома в случае применения ортогональных ЦКП второго порядка осуществляется по критерию Стьюдента, а проверка адекватности уравнения регрессии — с помощью критерия Фишера.

Однако в отличие от линейных планов коэффициенты ОЦКП являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана, поэтому проверка модели имеет ряд особенностей.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>