Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ИССЛЕДУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ

Как правило, цель любого прикладного исследования — выявление оптимальных условий, например, протекания процессов крашения текстильных материалов, отделки кожи и меха, максимальной продуктивности, минимальных материальных и энергетических затрат производства трикотажных, текстильных и швейных изделий, достижение наивысшего качества продукции и т.п.

До начала эксперимента необходимо сделать предположение относительно свойств неизвестной модели.

Главное предположение — это непрерывность поверхности, ее гладкость и наличие единственного оптимума (быть может, и на границе области определения факторов).

Это позволяет представить изучаемую функцию в виде степенного ряда в окрестности любой возможной точки факторного пространства (такие функции в математике называются аналитическими).

Кроме того, когда мы будем постепенно приближаться к оптимальной точке, нужно, чтобы результат не зависел от исходной точки. Так как мы заранее считаем, что предпосылки выполняются, надо максимально использовать возможности, которые при этом открываются.

Если, например, мы будем знать значения параметра оптимизации в нескольких соседних точках факторного пространства, можно (в силу гладкости и непрерывности функции отклика) представить себе результаты, ожидаемые в других соседних точках. Следовательно, можно найти такие точки, для которых ожидается наибольшее увеличение (или уменьшение, если мы ищем минимум) параметра оптимизации. Тогда становится ясно, что следующий эксперимент надо переносить именно в эти точки и надо продвигаться в этом направлении, пренебрегая остальными. Сделав новый эксперимент, снова можно оценить направление, в котором следует двигаться.

В силу единственности оптимума мы, таким образом, рано или поздно непременно его достигнем. Это и есть шаговый принцип нахождения оптимума.

Таким образом, в факторном пространстве мы выбираем какую-то точку и рассматриваем множество точек в ее окрестности, т.е. выбираем в области определения факторов малую подобласть, в которой хотим провести эксперимент и построить первую модель.

Эту модель мы намерены использовать для предсказания результатов опытов в тех точках, которые не входили в эксперимент. Если эти точки лежат внутри нашей подобласти, то такое предсказание называется интерполяцией, а если вне — экстраполяцией.

Чем дальше от области эксперимента лежит точка, для которой мы хотим предсказать результат, тем с меньшей уверенностью это можно сделать. Поэтому мы вынуждены экстраполировать недалеко и использовать результаты экстраполяции для выбора условий проведения следующего эксперимента. Дальше цикл повторяется.

Полученную модель можно использовать для проверки различных гипотез о механизме изучаемого явления или о его отдельных сторонах.

Например, если предполагается, что увеличение значения некоторого фактора должно приводить к увеличению значения параметра оптимизации, то с помощью модели можно узнать, так ли это. Такая проверка называется интерпретацией модели.

Как выбрать модель? Исходя из выбранной стратегии, ясно, что главное требование к модели — это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не знаем, какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину.

Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой. При прочих равных условиях мы всегда должны предпочитать степенные ряды, точнее — отрезки степенных рядов — алгебраические полиномы. Построение полинома возможно в окрестностях любой точки факторного пространства, поскольку мы предположили, что функция является аналитической.

Полиномиальные модели. Мы представили неизвестную нам функцию отклика полиномом. Операция замены одной функции другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией, называется аппроксимацией. Значит, мы аппроксимировали неизвестную функцию полиномом.

Но полиномы бывают разных степеней. Какой взять на первом шаге? Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэффи-

циентов, тем больше опытов необходимо поставить. А мы стремимся сократить их число. Значит, надо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэффициентов.

Мы хотим, чтобы модель хорошо предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента. Ясно, что движение в этом направлении приведет к успеху быстрее, чем движение в любом другом направлении, и будет достигнута экономия числа опытов.

Полином первой степенилинейная модель — с одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой — в нем содержится минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов. Однако неясно, будет ли линейная модель всегда адекватной. Ответ зависит от объекта исследования и чистоты эксперимента.

Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве, чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие аналитичности функции отклика гарантирует эту возможность. Всегда существует такая окрестность любой точки (или почти любой точки), в которой линейная модель адекватна.

Размер такой области заранее неизвестен, но адекватность можно проверить по результатам эксперимента. Значит, выбрав сначала произвольную подобласть, мы рано или поздно найдем ее требуемые размеры и, как только это случится, воспользуемся движением по градиенту. На следующем этапе будем искать линейную модель уже в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что мы попали в область, близкую к оптимуму. Такая область называется «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. При попадании в почти стационарную область задача либо решена, либо надо переходить к полиномам более высоких степеней, например второй степени, чтобы подробнее описать область оптимума.

Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построения интерполяционной модели. В этом случае нас не интересует оптимум. Просто мы хотим предсказывать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой, заранее заданной, области. Тут не приходится выбирать подобласть. Необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной.

Если адекватной оказывается линейная или неполная квадратичная модель (без членов, содержащих квадраты факторов), то ее построение аналогично тому, что требуется для оптимизации.

Решение задач оптимизации сводится к тому, чтобы найти значения факторов, обеспечивающих оптимальные значения выбранного параметра.

Возможно два подхода к решению этой задачи:

  • 1) поиск оптимальных условий посредством анализа математической модели;
  • 2) поиск оптимума непосредственно на объекте исследования.

Начнем с изучения поиска оптимальных решений посредством

анализа математической модели.

ПФЭ и ДФЭ дают исследователю возможность подбирать полиномиальные модели для описания локальных областей поверхности отклика. Изменяя координаты базовой точки (основного уровня факторов), можно изучить весь рельеф поверхности отклика в области определения входных переменных объекта.

Цели такого изучения могут быть различными. Например, может быть поставлена цель определения состояний объекта при различных значениях входных переменных. Однако в подавляющем большинстве цель исследования в той или иной мере связывается с поиском таких значений входных переменных, при которых достигается экстремальное значение выходной переменной, показателя оптимизации.

Рассматривая задачу оптимизации с позиций экспериментального изучения поверхности отклика, можно говорить об организации некоторой целенаправленной стратегии эксперимента, позволяющей выйти по поверхности отклика в область экстремума, например

Задачи отыскания экстремального значения функции отклика, когда эта функция зависит не от одного, а от п (п > 2) факторов, встречаются на практике очень часто, несмотря на трудоемкость методов оптимизации.

Эти трудности связаны, прежде всего, с тем, что при возрастании числа факторов возникает опасение, что функция отклика не сохранит свойство унимодальности, т.е. будет обладать единственным экстремумом в точке Xj и не будет иметь участков постоянства, т.е. для всех Хх < Х2 < Xj будет справедливо у(Хх) < у(Х2), а для Xj3< Х4 будет верно у(Х3) >у(Х4).

Кроме того, на ход поиска оптимума могут сильно влиять некоторые локальные свойства поверхности отклика, а также ее особенности, такие как «овраги», «узкие хребты», «гребни», которые усложняют путь к экстремуму. Оптимизацию осуществляют в условиях ограничений на влияющие факторы и функции отклика.

Величина, характеризующая уровень оптимизации процесса, называется критерием оптимальности. Таким критерием может быть одна из функций отклика, характеризующих процесс.

Оптимизация представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на все влияющие факторы и функции отклика.

Существует большое число разнообразных методов многомерного поиска оптимума. Эти методы можно разделить на две большие группы: на градиентные и неградиентные методы поиска экстремума.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>