Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИЗА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОЛНОГО ТРЕХФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассмотрим пример полного трехфакторного эксперимента. Необходимо провести оптимизацию процесса производства композиционных текстильных материалов, получаемых по клеевой технологии, с целью обеспечения высокого качества продукции.

Переменными факторами выбираем: х{ — температура прессования, °С; х2 — продолжительность прессования, с; х3 давление прессующих поверхностей, 10'2 МПа. В качестве параметра оптимизации у, характеризующего качество композиционных полотен, выбираем прочность при расслаивании клеевого соединения двух составляющих его слоев, Н/см. В соответствии с нормативными требованиями она должна быть не менее 5 Н/см.

Сначала задаемся областью варьирования факторов х/тах и x/min. Затем находим центр варьирования по формуле: xi0 = (ximax + x/min) / 2.

Вычисляем интервал изменения фактора: dx{ = xi0 - x/min =

-*7max -*70 •

Находим нормированное значение х для каждого фактора:

Результаты заносим в табл. 5.9.

Для уменьшения влияния внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии опытов точки факторного пространства обходят случайным образом, т.е. рандомизируют последовательность опытов (табл. 5.10).

Выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы x/min соответствовало (-1), аx/max — (+1).

Таблица 5.9

Основные характеристики плана эксперимента

Интервалы

варьирования

факторов

Факторы

*i = т,

температура, °С

*2 = Т, время, с

*з = Л

давление, 10~2 МПа

*10

130

30

5

dXj

30

20

2

*imax

160

50

7

*/'m/n

100

10

3

Поставим серию трех опытов в точках:

Составим матрицу планирования и занесем результаты предварительного эксперимента в табл. 5.10

Рассчитываем среднее арифметическое значение параллельных опытов функции отклика у по формуле

где m число параллельных опытов. Результаты заносим в табл. 5.10.

Таблица 5.10

Полный трехфакторный эксперимент

Номер точки факторного пространства (номер опыта), N

1, (2), (3)

-

-

-

+

+

+

-

3,5

4

3,9

3,8

0,07

0,203

1,255

2, (4), (1)

+

-

-

-

-

+

+

5,5

5,9

6,5

6

0,21

3,(1), (4)

-

+

-

-

+

-

+

5

5,5

5,8

5,4

0,165

4, (3), (2)

+

+

-

+

-

-

-

12

12,6

13

12,5

0,255

5, (8), (6)

-

-

+

+

-

-

+

4

4,6

4,4

4,3

0,09

6, (7), (8)

+

-

+

-

+

-

-

10

10,2

9,6

9,9

0,09

7, (6), (5)

-

+

+

-

-

+

-

7,9

8,5

8,8

8,4

0,21

8, (5),(7)

+

+

+

+

+

+

+

5,4

5,9

6,2

5,8

0,165

Примечание: в скобках указаны номера рандомизированной последовательности в трех сериях опытов.

Определим отклонения от среднего арифметического значения для каждого результата у,- и по формуле Sz =-- Y(y« - у,)2 рас-

т - 1 “i

считаем оценку дисперсии, результаты заносим в табл. 5.10.

Проведем проверку однородности оценок дисперсий по крите- ?2 {у Л max

рию Кохрена Gp = —-, результаты заносим в табл. 5.10:

lS2{ylt)

/=I

Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением GTa6jl — критерия (приложение 1), которое выбирается из таблицы для принятого уровня значимости а = 0,05 и для чисел степени свободы соответственно числителя (по горизонтали) /j и знаменателя /2 (по вертикали):

где п — число параллельных опытов; N — число опытов в эксперименте.

В соответствии с таблицей (7табл = 0,816; (7табл > Gp , т.е. условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий s 2 — однородными.

Общий вид уравнения регрессии, описывающего поверхность отклика:

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по формулам:

где коэффициенты Ь, характеризуют силу влияния каждого из факторов, а их знак (- или +) — направление влияния факторов. То же относится и коэффициентам Ь$, характеризующим силу и направление влияния взаимодействия факторов.

Благодаря оптимальным свойствам плана 2к все коэффициенты его полиномиальной модели оцениваются независимо друг от друга

с одинаковыми минимальными дисперсиями и максимальной точностью.

Тогда уравнение регрессии исследуемого параметра оптимизации имеет вид

После получения уравнения производятся статистический анализ значимости вычисленных коэффициентов и проверка адекватности уравнения. С этой целью вычисляют построчные дисперсии в каждом опыте плана, характеризующие изменчивость результатов в опытах плана относительно их средних значений.

Критерии адекватности и погрешности эксперимента вычислим по формулам:

• дисперсия воспроизводимости параллельных опытов характеризует погрешность наблюдений:

• проверка адекватности воспроизводимости:

Ошибку в определении коэффициентов регрессии вычислим, извлекая корень из адекватности воспроизводимости Sоткуда SA = 0,394.

Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента t. Коэффициенты регрессии значимы, если | b > Sbt.

Вычислим доверительный интервал для коэффициентов модели, как произведение ошибки в определении коэффициентов Sb, умноженное на табличное значение критерия Стьюдента t (значение критерия Стьюдента находим по таблице приложения 2). Для доверительной вероятности Р = 0,95 при числе степеней свободы /= N(m - 1) = 8(3 - 1) = 16 значение критерия Стьюдента t = 2,1190; п — число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях; S^ = 0,394 *2,119 = 0,835.

Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения:

Отсюда видно, что коэффициенты регрессии Ьп и Ь{3 незначимы.

Отбросим все статистически незначимые коэффициенты, получим математическое описание процесса в виде линейного уравнения регрессии:

Уравнение, включающее только оставшиеся значимые коэффициенты, проверяем на адекватность. Проведем проверку адекватности уравнения регрессии исследуемому объекту по критерию Фишера:

где Уад — дисперсия адекватности; S* — дисперсия воспроизводимости.

Для оценки дисперсии адекватности необходимо оценить, насколько отличаются средние значения экспериментального у? выходного параметра, полученного в точках факторного пространства (см. табл. 5.10), и значения yf, полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства. Вычисляем оценку дисперсности адекватности:

где N — общее число опытов ПФЭ; В — число коэффициентов регрессии искомого уравнения; yf, yf — экспериментальное и расчетное значение функции отклика ву-м опыте.

Производим расчет /’-критерия Фишера:

Найденное расчетным путем Fp сравнивают с табличным значением FTабл (см. приложение 4), которое определяем при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы /ад(2) = jV-B = 8- 6 = 2 и /В(1) = Щт - 1) = 8(3 - 1) = 16, /табл = 19,40.

Если /’р < /’табл? то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости q = 0,05 адекватна экспериментальным данным. В рассматриваемом примере /р < /^бл, 10,98 < 19,40. Следовательно, уравнение регрессии

является адекватным исследуемому объекту при доверительной вероятности Р = 0,95 и позволяет оптимизировать процесс производства композиционных текстильных материалов с целью обеспечения высокой прочности клеевого соединения его слоев.

Пример полного четырехфакторного эксперимента. Необходимо получить математическое описание давления больничной плечевой одежды на тело человека с учетом конструктивных параметров изделия и характерных для больного движений. В качестве факторов выбрали: Хх ширина проймы, см; Х2 прибавка на свободу проймы, см; Х3 прибавка на свободное облегание к полуобхвату груди, см; Х4 — высота оката рукава, см. Параметром оптимизации являются давление, которое возникает при движении человека: У, — при подъеме рук до горизонтального уровня; Y2 при наклоне корпуса до угла 90°; Y3 — при заведении правой руки; У4 — при заведении левой руки. Сначала задаемся областью варьирования факторов (табл. 5.11).

Таблица 5.7 7

Основные характеристики плана эксперимента

Интервалы

варьирования

факторов

Факторы

Хх ширина

проймы, см

Х2 прибавка на свободу проймы, см

Х3 — прибавка на свободное облегание к полу- обхвату груди, см

Х4 — высота оката рукава, см

*10

15

5

8

13

dxt

1

1

2

2

?*7 max

16

6

10

15

-*7min

14

4

6

11

Зависимость кодированной переменной от натуральной

Матрица планирования эксперимента по определению величины контактного давления на тело человека для больничной плечевой одежды представлена в табл. 5.12.

В табл. 5.13 приведены результаты предварительного эксперимента.

Определим отклонения от среднего арифметического значения для каждого результата у} и по формуле

рассчитываем оценку дисперсии.

Проведем проверку однородности оценок дисперсий по критерию Кохрена Gp = ^^У‘к^тах = 0,425.

/=1

Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением (7табл — критерия (приложение 1), которое выбирается из таблицы для принятого уровня значимости а = 0,05 и для

Матрица полного четырехфакторного эксперимента

Номер

опыта,

N

Факторы / коэффициенты

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

2

-

+

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

-

+

-

3

+

-

+

+

-

+

+

-

-

+

-

-

+

-

-

4

-

-

+

+

+

-

-

-

-

+

+

+

-

-

+

5

+

+

-

+

+

-

+

-

+

-

-

-

-

-

-

6

-

+

-

+

-

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

7

+

-

-

+

-

-

+

+

-

-

+

+

-

+

+

8

-

-

-

+

+

+

-

+

-

-

-

+

+

+

-

9

+

+

+

-

+

+

-

+

-

-

+

-

-

-

-

10

-

+

+

-

-

-

+

+

-

-

-

+

+

-

+

11

+

-

+

-

-

+

-

-

+

-

-

+

-

+

+

12

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

13

+

+

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

+

+

+

14

-

+

-

-

-

+

+

-

-

+

+

+

-

+

-

15

+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

16

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

+

Результаты предварительного эксперимента

Таблица 5.13

Номер

опыта,

N

Экспериментальные данные контактных давлений одежды на тело человека

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

634,40

636,95

636,35

635,90

684,50

682,25

680,75

682,50

654,2

657,35

657,65

656,40

664,70

663,05

676,55

668,10

2

635,75

638,75

639,35

637,95

684,50

682,85

669,25

678,87

657,2

657,5

659,9

658,20

665,3

666,05

667,7

66,35

3

636,50

633,50

634,10

634,70

665,00

659,90

660,60

661,83

647,15

649,7

648,95

648,60

654,95

653,90

653,00

653,95

4

636,37

634,85

635,60

635,61

653,00

654,95

653,90

653,95

642,5

644,9

643,40

643,60

657,65

659,60

660,05

659,10

5

635,45

635,60

636,65

635,90

666,50

665,00

664,10

665,20

642,5

642,05

641,30

641,95

669,05

670,70

666,05

668,60

6

639,20

638,30

637,50

638,33

653,90

652,25

655,10

653,75

641,3

641,75

641,25

641,43

639,50

639,80

641,00

640,10

7

628,40

648,00

628,65

635,02

655,40

651,80

654,80

654,00

629,75

630,50

630,65

630,30

633,80

634,70

635,50

634,67

8

632,90

628,80

627,80

629,83

654,50

656,75

653,75

655,00

632,75

631,70

633,35

632,60

629,55

640,5

640,8

636,95

9

637,40

635,15

634,70

635,75

657,50

658,25

656,15

657,30

636,75

635,45

636,80

636,33

635,45

636,5

637,7

636,55

10

628,85

624,30

626,75

626,63

651,50

652,85

655,40

653,25

629,15

628,55

630,35

629,35

632,60

633,8

634,35

633,58

11

634,70

631,55

632,00

422,75

660,20

656,60

658,40

658,40

636,8

635,45

637,55

636,60

642,05

639,8

638,6

640,15

12

636,80

632,30

632,00

633,70

665,75

661,70

659,30

662,27

643,4

645,55

645,95

644,97

624,95

627,5

629,9

627,45

13

632,30

633,30

634,85

633,48

656,60

654,95

653,30

654,95

635,0

634,40

633,35

634,25

627,35

627,95

626,15

627,15

14

629,15

329,90

630,65

629,90

654,50

653,90

654,95

654,45

634,1

633,20

635,75

634,35

625,10

626,45

627,36

626,30

15

634,10

635,60

633,50

634,40

654,50

652,85

653,45

653,60

651,65

650,75

651,80

651,40

644,75

644,90

643,10

644,25

16

634,70

930,95

630,50

632,05

651,80

651,80

652,85

652,15

656,6

655,40

654,50

655,50

641,15

642,50

642,80

642,15

чисел степени свободы соответственно числителя (по горизонтали) /j и знаменателя /2 (по вертикали):

где п — число параллельных опытов; N — число опытов в эксперименте.

В соответствии с таблицей Стабл = 0,660; Стабл > Gp , т.е. условие выполняется. Следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий sy2 — однородными.

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по формулам:

Коэффициенты уравнения регрессии представлены в табл. 5.14.

Таблица 5.14

Коэффициенты уравнения регрессии

Критерий

оптимизации

Коэффициенты регрессии

Ух

633,9

0,9

0

0

1,6

0

0

-0,8

0

1,3

0

1,0

1,0

0

-1,2

0

Уг

659,4

1,5

3,1

4,1

3,6

0,9

0

1,2

1,4

3,9

2,1

0

0

0

3,1

-1,6

Уъ

642,2

0

-0,8

2,1

1,9

1,0

0

0

1,6

6,2

5,5

0

-1,5

0

-1,3

-1,2

У4

644,5

3,0

2,2

4,5

8,9

2,1

-0,6

0

1,6

5,1

3,9

-1,6

2,6

3,0

-3,6

-1,4

Математические модели, уравнения регрессии имеют вид:

• давление при подъеме рук до горизонтали:

• давление при наклоне туловища до угла 90°:

• давление при заведении левой руки в сторону правой:

• давление при заведении правой руки в сторону левой:

После получения уравнения производятся статистический анализ значимости вычисленных коэффициентов и проверка адекватности уравнения по рассмотренной выше методике.

В рассматриваемом примере все коэффициенты значимы, а уравнение является адекватным исследуемому объекту при доверительной вероятности Р = 0,95.

Математическая модель уже сейчас позволяет качественно оценить влияние факторов на параметр оптимизации. Из системы уравнений видно, что при движении «подъем рук до угла 90°» на величину давления одежды на тело человека оказывают влияние высота оката рукава — Х4 и взаимодействие факторов «прибавка на свободу проймы» и «высота оката рукава» — Х2 Х4, так как эти факторы имеют большие по абсолютной величине коэффициенты. При увеличении параметров возрастает величина давления, оказываемого одеждой на тело человека.

При движении «наклон туловища» наибольший коэффициент имеют факторы «прибавка на свободное облегание к полуобхвату груди» — Х3, «высота оката рукава» — Х4, а также взаимодействие факторов «прибавка на свободу проймы» и «высота оката рукава» — Х2Х4. При увеличении значений этих параметров возрастает величина давления, оказываемого одеждой на тело человека.

При движении «заведение правой руки в сторону левой» наибольший коэффициент наблюдается на эффектах взаимодействия Х2Х4иХ3Х4.

При движении «заведение левой руки в сторону правой» наибольшее влияние оказывают факторы «высота оката рукава» — Х4, «прибавка на свободное облегание к полуобхвату груди» — Х3, а также взаимодействие факторов «прибавка на свободу проймы» и «высота оката рукава» — Х2Х4.

При увеличении значений этих параметров возрастает величина давления, оказываемого одеждой на тело человека.

Таким образом, предварительный анализ математической модели свидетельствует о сложности системы и необходимости проведения оптимизации параметров конструкции одежды одним из методов оптимизации.

Для уменьшения числа опытов полного четырехфакторного эксперимента целесообразнее использовать дробный факторный эксперимент, который при меньших затратах позволяет получить тот же результат.

При расчетах рекомендуется использовать программное обеспечение Microsoft Excel или MathCAD Professional, или специально разработанные программы по планированию многофакторного эксперимента.

Контрольные вопросы

  • 1. Что такое факторное пространство и уровни варьирования факторов? Как определить уровни варьирования факторов и число опытов в эксперименте?
  • 2. Что собой представляет математическое и геометрическое описание объекта в трехфакторном эксперименте?
  • 3. Как составляется и какими свойствами обладает матрица планирования ПФЭ?
  • 4. Как осуществляется обработка результатов опытов плана ПФЭ, оценка воспроизводимость опытов и проверка однородности оценок дисперсий критерием Кохрена, Фишера, Бартлета?
  • 5. Вычисление коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Как рассчитать коэффициенты регрессии методом Йетса?
  • 6. Как осуществить регрессионный анализ значимости коэффициентов и проверку адекватности математической модели?
  • 7. В чем сущность рандомизации?
  • 8. Что такое взаимодействие факторов и какова их роль в ПФЭ?
  • 9. Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?
  • 10. Какими правилами руководствуются, проводя анализ уравнения регрессии и исследуемых параметров оптимизации?
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>