Полная версия

Главная arrow Товароведение arrow Планирование и организация эксперимента в легкой промышленности

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Распределение случайной величины х2

Рассмотрим случайную величину Y, распределенную по нормальному закону

гг У-а 2

Тогда случайная величина и =-= у распределена по нор-

а

мальному закону с параметрами М (U) = 0 и a (U) = 1, т.е. Ue N (0,1). Квадрат такой стандартизованной случайной величины

называется случайной величиной %2 с одной степенью свободы.

Рассмотрим п независимых случайных величин У1? Y2,Yn, распределенных по нормальному закону cM(Yi) = ain средними квадратичными отклонениями о„ / = 1 ,п.

Образуем для каждой из этих случайных величин стандартизованную случайную величину

Сумма квадратов стандартизованных переменных

называется случайной величиной %2 с/= п степенями свободы. Плотность распределения случайной величины %2 имеет вид

Таким образом, распределение %2 зависит от одного параметра/— числа степеней свободы, и функция распределения %2 имеет вид

На рис. 4.7 и 4.8 изображены графики плотности вероятности и функции %2-распределения.

На практике, как правило, используются не плотность распределения СВ — /(%2) и функция распределения — Дх2), а квантили %2-распределения - %«,/ . y}a f.

График плотности вероятности и функции распределения f[%)

Рис. 4.7. График плотности вероятности и функции распределения f[%2)

График плотности вероятности и функции распределения F(y)

Рис. 4.8. График плотности вероятности и функции распределения F(y2)

2

Квантилем %aj, отвечающим заданному уровню вероятности а, называется такое значение у} = %ау, при котором

Нахождение квантиля, с геометрической точки зрения, заключается в том, чтобы выбрать такое значение у} = Ха,/, ПРИ котором площадь заштрихованной криволинейной трапеции (см. рис. 4.7) была бы равна заданному уровню вероятности а.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (/-распределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднее квадратическое отклонение а неизвестно и подлежит определению по опытным данным.

Пусть Y,YX, Y2, ..., Yn независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами M(Y) = M(Y^) = О И (5 у О Yj 1, / 1, Л.

являющаяся функцией нормально распределенных случайных величин, называется безразмерной дробью Стьюдента /.

Плотность распределения случайной величины t имеет вид

где / — число слагаемых в подкоренном выражении дроби Стью- дента, т.е./= п (общепринятое обозначение числа степеней свободы).

Из формулы (4.9) видно, что распределение случайной величины Стьюдента t зависит только от одного параметра — числа степеней свободы /, равного числу слагаемых в подкоренном выражении дроби Стьюдента (4.8).

Известно, что математическое ожидание а и дисперсия случайной величины Г равны соответственно:

На рис. 4.9 изображен график плотности распределения Стьюдента при различных степенях свободы. Отметим, что при увеличении числа степеней свободы /он приближается к кривой Гаусса.

В статистических расчетах используются квантили /‘-распределения ta . Значения квантилей находятся из решения уравнения 2>/ График плотности распределения Стьюдента при различных степенях свободы f

Рис. 4.9. График плотности распределения Стьюдента при различных степенях свободы f

С геометрической точки зрения, нахождение квантилей ta за-

2;/

ключается в том выборе значения t = t„ , при котором суммарная

2;/

площадь заштрихованных (рис. 4.10) криволинейных трапеций была бы равна ос.

График плотности распределения Стьюдента

Рис. 4.10. График плотности распределения Стьюдента

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>