ОДНОМЕРНЫЕ ПОТОКИ ГАЗА

Скорость распространения возмущений в сжимаемом текучем теле

Как было показано в разд. 7.1, изменение во времени средней скорости воды или гидродинамического давления в каком-либо сечении трубопровода (его называют также возмущением потока) распространяется вдоль потока с конечной скоростью а. Зависимость скорости распространения возмущения от характеристик сжимаемости воды и деформируемости стенок трубопровода имеет вид (7.12). Из этой зависимости следует, что если трубопровод рассматривать как абсолютно жесткий (недеформируемый) и положить модуль упругости материала, из которого он изготовлен, сколь угодно большим (Е^ -»°°), то скорость распространения возмущений будет определяться модулем объемной упругости жидкости Еж и ее плотностью р [см. (7.40)].

Для воды Еж~ 2 • 109 Па, р = 1000 кг/м3, следовательно,

эта величина представляет собой скорость звука в воде. Как следует из примеров, приведенных в гл. 7, учитывать конечную скорость распространения возмущений целесообразно лишь при рассмотрении быстро протекающих процессов, например мгновенного закрытия задвижки в конце трубопровода. Если время закрытия задвижки t3 во много раз превышает время tr, за которое возмущение от задвижки пройдет по всей длине трубопровода L

то можно считать tr = 0 или, что то же, скорость распространения возмущения а = °°, т. е. полагать жидкость несжимаемой. Таким образом, условие (17.1) ограничивает область применения модели несжимаемой жидкости для капельных жидкостей.

Как известно, модуль объемной упругости газов в десятки тысяч раз меньше, чем капельных жидкостей Еж, и, следовательно, скорость распространения возмущений (скорость звука) в газах значительно меньше, чем в капельных жидкостях. Поэтому область применения модели несжимаемой жидкости для изучения потоков газа значительно меньше. Дополнительным и наиболее важным ограничением этой области является то, что скорость движения твердых тел в газовой среде (или скорость потоков газа) может быть соизмеримой со скоростью звука и, следовательно, эффекты, связанные со сжимаемостью, проявляются не только в нестационарных, но и в стационарных процессах. Отметим, что скорость движения твердых тел в капельных жидкостях ограничена фазовыми переходами (кавитацией), и обычно она во много раз меньше скорости звука.

Кроме того, по сравнению с капельными жидкостями газы обладают малыми теплоемкостью и теплопроводностью, и многие гидромеханические процессы в них сопровождаются существенным изменением внутренней энергии (температуры) и не могут рассматриваться как изотермические. С учетом этого при составлении баланса энергии наряду с механической энергией необходимо включить в рассмотрение и внутреннюю (тепловую) энергию текучей среды.

По изложенным причинам в гидромеханике выделяют раздел, в котором принимают во внимание сжимаемость текучей среды, ограниченность скорости распространения в ней возмущений и соответствующие термодинамические эффекты. Этот раздел называют газовой динамикой.

Найдем зависимость скорости распространения возмущений (скорости звука) в текучей среде от механических характеристик этой среды. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, выражающих закон сохранения массы (15.3) и закон изменения количества движения (15.29).

В одномерном случае, когда и = (их, иу, мг) = (их, 0, 0), а все производные по у и z равны нулю, пренебрегая вязкостью (v = 0) и внешними объемными силами/= (fx, fy, fy = (0, 0, 0), а также полагая, что конвективные составляющие субстанциальных производных пренебрежимо малы по сравнению с локальными, получим

435

Преобразуем (17.2), представив

а также принимая во внимание, что по определению модуль объемной упругости газа

Подставив (17.4) и (17.5) в (17.2), получим

Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений гидравлического удара (7.18), обратим внимание, что квадрат скорости распространения возмущений а2 равен произведению коэффициентов перед вторыми слагаемыми уравнений этой системы. Отметим, что это было получено в гл. 7 на основе анализа системы (7.18) вне связи с реальным физическим процессом, который описывает эта система уравнений [в гл. 11 этот анализ позволил определить скорость распространения возмущений в потоках в открытых руслах

с ~ о с помощью линеаризованных уравнений мелкой воды (11.15), сходных с (7.18)]. В результате найдем, что квадрат скорости звука в сжимаемой текучей среде (при сделанных предположениях)

или

Эта зависимость для а совпадает с зависимостью (7.40), полученной в качестве предельного случая распространения возмущений в трубопроводе с недеформируемыми стенками Е^ Используя определение Ег (17.5), представим зависимость (17.8) в более удобной для ее анализа форме:

Как будет показано далее, скорость звука в потоке газа зависит от термодинамических характеристик потока.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >