МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК

Рассмотрим два из обычно используемых методов для получения оценок параметров распределения генеральной совокупности.

1. Метод максимального правдоподобия

Этот метод, предложенный Р. Фишером, состоит в следующем. Пусть закон распределения генеральной совокупности X описывается плотностью вероятности fx(x, 0), если X— СВНТ, или вероятностями рхк, 0) = Р{Х = хк}, еслиА'—СВДТ. Здесь 0 = (0,, 02, ..., 0Г) —вектор неизвестных параметров, для которых необходимо получить точечные оценки.

Рассмотрим функцию L(xx, х2, ..., хп, 0), описывающую закон распределения вектора случайной выборки Х(/,) = {Хх, Х2, ..., Хп). Она называется функцией правдоподобия. Поскольку случайные величины {Xj} независимы,

(см. п. 22.5).

Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров 0 берется вектор 0 = 0(х1? х2, ..., хп), доставляющий максимум функции правдоподобия при заданных значениях хх2, ...,Х„:

Точечные оценки, полученные методом максимального правдоподобия, будем называть ММП-оценками.

При поиске точки максимума 0 функции L{xx, х2, ..., хп, 0) для упрощения расчетов можно:

  • а) вместо L(x{, х2, ..., хп, 0) использовать логарифмическую функцию правдоподобия In L(xx, х2, ..., хп, 0), так как от логарифмирования по основанию е > 1 функции L{...) ее точки максимума не изменяются;
  • б) не учитывать (отбрасывать) в выражении для функции правдоподобия слагаемые и положительные сомножители, не зависящие от параметров 0, так как и это не изменит точек максимума.

Как правило, ММП-оценки получают из необходимого условия экстремума дифференцируемой функции:

или

Уравнения (25.10) называют уравнениями правдоподобия. Для наиболее важных распределений генеральной совокупности они имеют единственное решение 0 = 0(хь х2, ..., хп), дающее точечную оценку.

Пример 25.10. Для нормальной генеральной совокупности X ~ ~ N(m, о) найти ММП-оценку вектора параметров (т, а2).

? Плотность вероятности X имеет вид

Поэтому для логарифмической функции правдоподобия получаем

Запишем систему уравнений правдоподобия (25.10):

1 п

Из первого уравнения находим т = т = —Ух- = х. Подставив это

лы

1 п

решение во второе уравнение, получаем о2 = а2 = —У (х,- - х)2 = Sq.

п м

Итак, ММП-оценками параметров (т, о ) генеральной совокуп-

1 п

ности X ~ N(m, о) являются выборочное среднее х = -У х. и выбо-

"tl

1 п

рочная дисперсия Sq = — У (х.- -х)2. ? пы

Пример 25.11. Для генеральной совокупности X ~ Ри(к) найти ММП-оценку параметра X.

Xх'

? В данном случае X— это СВДТ и рх (х. , X) = Р{Х = х.} = —е~х.

X,-!

Поэтому

и уравнение правдоподобия принимает вид

1 п

Из этого уравнения находим X = X = — Ух = х. Таким образом,

«н

ММП-оценкой параметра X для X ~ Ри(X) является выборочное среднее х. ?

2. Метод моментов

Этот метод, предложенный английским статистиком К. Пирсоном, состоит в следующем. Предположим, как и ранее, что закон распределения генеральной совокупности X известен с точностью до параметров 0 = (0j, 02, ..., 0Г) и описывается плотностью вероятности fx(x, 0), еслиXСВНТ, или вероятностями рхк, 0) = Р{Х = хк), если ХСВЦТ.

Определим теоретически какие-либо г начальных и (или) центральных моментов а,[Х] = a,, р. ?[Лг] = ру распределения случайной величины X:

Очевидно, теоретические моменты являются функциями неизвестных параметров: а, = 06,(0!, 02, ..., 0Д ру = ру(0!, 02? • ••, 0Д Приравняв г найденных теоретических моментов к соответствующим выборочным моментам, мы получим систему г уравнений для определения г неизвестных параметров 0,, 02,..., 0Г:

Решение этой системы определяет искомые оценки 01? 02, ..., 0Г неизвестных параметров. Точечные оценки параметров распределения, полученные методом моментов, будем называть ММ-оценками.

Пример 25.12. Найдем ММ-оценки параметров а и Ъ равномерно распределенной генеральной совокупности X ~ R(a, b).

? В качестве теоретических моментов выберем

см. (24.4) и (24.6).

Составляем и решаем систему уравнений метода моментов:

где S0 = лЩ — выборочное среднее квадратическое отклонение. Итак, ММ-оценки параметров а и b — это

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >