Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость

Комплексным числом называется выражение вида z = х + iy, где х и у действительные числа, / — мнимая единица.

Число х называется действительной частью числа z и обозначается Re(z) (от франц. reele «действительный»), а число у — мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от франц. imagina- ire «мнимый»), т.е. х = Re(z), у = Im(z).

Действительное число х является частным случаем комплексного z = х + iy при у = 0. Комплексные числа вида z = х + iy, не являющиеся действительными, т.е. при у ф 0, называются мнимыми, а при х = 0 у^О, т.е. числа вида z = iy чисто мнимыми.

Числа z = x+iy и z=x-iy называются сопряженными.

Два комплексных числа z=x + iy и Z2 = Х2 + iyj называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. z =Z2, если Re(zj) = Re(z2), Im(zi) = Im(z2). В частности, z = 0, если Re(z) = 0 и lm(z) = 0.

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел В частности,

/2 = (0 + /1)(0 + /1) = (0 - 1) + /(0 + 0) = -1, т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен —1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1) — (16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов х + iy и Х2 + iy2, если считать /2 = —1. Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

D> Пример 16.1. Даны комплексные числа z = 12 + 5/, Z2 = 3 — 4/. Найти z ± Z2, zjZ2, z Д2.

P e ш e н и e. zi + Z2 = (12 + 5/) + (3 — 4/) = 15 + /, z, - z2 = (12 + 5/) - (3 - 4/) = 9 + 9/.

zjz2 = (12 + 5/) (3 - 40 = 36+ 15/ -48/ —20/2 = 56 - 33/

  • (учли, ЧТО /2 = —1). z, 12 + 5/ ЛГ
  • — =-. Умножая числитель и знаменатель на сопряженное

z2 3 - 4/

делителю комплексное число 3 + 4/, получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Оху.

Рис. 16.1

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z = х + iy ставится в соответствие точка плоскости z(x, у), причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа z = х + 0/ = х и чисто мнимые числа z = 0 + iy= iy, называются соответственно действительной и мнимой осями.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>