Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Предел и непрерывность

Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.

Определение. Число А называется пределом функции z =/ (х, у) при хх0 и у -» у0 (или в точке (*о»У о ))> если для любого даже сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется положительное число 5 > 0 (зависящее от е, 8 = 5(e)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки0, у0) на расстояние р, меньшее, чем 5[1] (т.е. при 0 < р < 5), выполняется неравенство

I/(*, У)~ А |< е.

Обозначается предел так:

О Пример 15.4. Найти предел

Решение. Обозначим yjx[2] + у[1] = р. Условие х -» 0, у -> 0 равносильно тому, что р -> 0. Запишем предел в виде

Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке — а именно, справа и слева (см. § 6.2). На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

> Пример 15.5. Доказать, что lim —-— не существует.

х->0 X2 + у2

Х->0

Решение. Будем приближаться к точке (0; 0) по прямым у = кх.

Если у = toe, то НтД2_=НтДД^1- = ^-.

*->о х2 + у2 х->о х2 + (Ах)2 1 + к2

Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (х; у) к точке (0; 0) (например, по прямой у = 2х или у = 5х), то рассматриваемый предел

не существует. ?

Определение. Функция z =/(х, у) называется непрерывной в

точке0, у0), если она: 1) определена в точке0, у0); 2) имеет конечный предел при х -у х0 и у —> у0; 3) этот предел равен значению функции в точке0, у0), т.е. lim /(х,у) = /(х0, у0).

У~>У0

Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке (х0, у0) представляет собой сплошную, нерасслаиваю- щуюся поверхность.

  • [1] Напомним, что по формуле (3.5) расстояние между точками (х0 , у0) и
  • [2] (*, у) на плоскости имеет вид р = ^/(х-х0)2 +(у~у0)2 ?
  • [3] Напомним, что по формуле (3.5) расстояние между точками (х0 , у0) и
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>