Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Ряд Маклорена

Предположим, что функция / (х), определенная и п раз дифференцируемая в окрестности точки х = 0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через / (х). Найдем производные функции / (х), почленно дифференцируя ряд п раз:

Полагая в полученных равенствах х = О, получим /(0) = с0, /'(0) = q ,/"(0) = 2 • 1 • с2 = 2!с2 , /"'(0) = 3 • 2с3 = З!с3,/(«>(0) = и!с„, откуда

Подставляя значения коэффициентов с0, q, с2 , с3, с„, получим ряд

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции / (х), является расходящимся либо сходящимся не к функции f (х).

Так же как и для числовых рядов, сумму / (х) ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где Sn(x) — п-я частичная сумма ряда; гп{х)— п-й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции / (х), необходимо и достаточно, чтобы при оо остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всех значений х из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция / (х) разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при х0 = 0.

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

где Rn{x)— остаточный член формулы Тейлора:

? е (х0, х) (или 4 е (х, х0)), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток гп{х) ряда Тейлора равен остаточному члену Rn(x) формулы Тейлора. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. у = ех.

Имеем/(х) = f'(x) =f"(x) = ... = /(»)(*) = е* ;

/(0) =/'(0) =/”(0) = ... =/(")(0) = е°=1.

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда (—оо; оо) (см. пример 14.3а).

2. у = sin х.

Имеем / (х) = sinx;/'(^:) = cosx;/"(x) = — sin х; f"'{x) = —cosx; /H)(x) = sinx, откуда f(0) = 0; f'(0)= 1; /"(0) = 0; /"'(0) = -1; /([1] [2])(0) = 0 и Т.Д.

Очевидно, что производные четного порядка /()(0) = 0, а нечетного порядка у*(2«-1>(0) = (—l)"-1, п = 1, 2, ... .По формуле (14.6)

Область сходимости ряда (—оо; +оо).

4. у = (1 + х)т, где т — любое действительное число.

Имеем/(х)=(1 + х)т ,/'(х) = т{ 1 + x)m_1 ,/'(х) = т(т —1) (1 + x)w_2 , f"(x) = т(т- 1 )(т -2)(1 + хУ”-2,..., /(")(х) = т(т -1)... (т -п + 1)х х (1 +х)т~п.

При л: = О ДО) = 1,/'(0) = = т(т — 1),/'"(0) = т{т — 1)х

х (т — 2), /00(0) = т(т - 1 )...(т ~ п + 1). По формуле (14.6)

Интервал сходимости ряда (—1; 1) (на концах интервала при х = ±1 сходимость ряда зависит от конкретных значений т).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если т — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при п = т + 1 т — п + 1=0, п-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма. 5. у = 1п(1 + х).

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем q = —х, который сходится при I q = I — х < 1,

т.е. при —1< х < 1, к функции / (х) = —— = —*— .

1 -q 1 + х

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; х), где

Х. X

I х I < 1, с учетом того, что [-= In |l + х = In (1 + х), получим

0J1 + * 1

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (—1; 1].

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) - (14.13).

I _ е2

U> Пример 14.5. Разложить в ряд функции: а) у =-;

х2

  • б) у = In--.
  • 1 — X

X2 хп

Р е ш е н и е. а) Так как по (14.8) ех =1 + х + — + ... + — + ...,

2! п

то, заменяя х на (-х2), получим и, наконец,

Область сходимости ряда (—оо; +оо).

X2 X2 (— 1)и-1хи

  • б) В разложении 1п(1+х) = х--+--... + -— -+ ... за-
  • 2 3 п

меним х на (—х); получим Теперь

Область сходимости ряда (—1; 1). ?

  • [1] у = cos х. Рассматривая аналогично, получим
  • [2] Область сходимости ряда (—оо; +<»).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>