Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа cq, с, ..., сп коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

D> Пример 14.1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = х, который сходится при q = = I х < 1. Отсюда —1 < х < 1, т.е. областью сходимости является

интервал (—1; 1). ?

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении х = х0* 0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что I х | < I х0 |. 2) Если степенной ряд расходится при х = Xj, то он расходится при всех значениях х таких, что I х | > I Xj |.

? 1) По условию ряд (14.1) сходится при х = х0 0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости lim ип =

/7-» 00

= limc/JXQ=0. Отсюда следует, что последовательность C„Xq

П—>оо ограничена, т.е. существует такое число М> О, что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин чле-

00

нов ряда (14.1) ^|cwx$|, который представим в виде

п

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда

его знаменатель q = — <1, т.е. х< х0 |, следовательно, на

основании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при х= х{. Покажем, что он расходится для всех х, удовлетворяющих условию I х > I х{ |. Предположим противное, т.е. при | х > I х{ | ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке х{ (ибо I Xj | < I х |), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что I х| > I Xj |, ряд (14.1) расходится. ?

Рис. 14.1

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R > 0, что при I х| <7? ряд сходится, а при I х| > R — расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (~R; R)

— интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х= —R и x=R, ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты сп, по крайней мере начиная с некоторого номера п, отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е.

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось Ox (R = °о).

t> Пример 14.2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5)

2 2

V У

( л я)

т.е. интервал сходимости ряда--; — .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходи-

н >/3

мости. На левом конце при х = —— данный степенной ряд , 1 1 (-1)"

принимает вид 1---1---... н--- +...; этот ряд сходится

З2 52 (2/7 + 1)

по признаку Лейбница. На правом конце при х = — получаем

ряд 1 + — + — + ... ч-----к.., представляющий обобщенный

32 52 (2/7+ 1)2

гармонический ряд (13.12) при а = 2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как а = 2 > 1, то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин- тервала сходимости при х = —— могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных ве-

0° |

личин его членов, т.е. ряд V-, сходится.

,tl(2" + l)2

Итак, область сходимости данного ряда . ?

[22

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла,

так как в этом случае всегда будем получать lim = / = 1 с

«->=0 ып

нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

D> Пример 14.3. Найти области сходимости степенных рядов:

Р е ш е н и е. а) Радиус сходимости ряда по (14.5) с (и + 1)!

R = lim —— = lim-= lim (п +1) = оо , т.е. область сходимо-

77—>00 Сп+J 77—>°0 п 77—>00

сти ряда (—оо; +оо).

  • б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что при х ф 0 lim ип = lim ппхп * 0 , т.е.
  • 77—>00 77—>00

необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки х = 0. ?

t> Пример 14.4. Найти область сходимости ряда

Решение. Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда С2, Сз, os, Сб, cj, eg, сю и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд

будет абсолютно сходиться, если lim < 1, и расходиться,

77 >°0 Un

если lim - > 1. Поэтому найдем

77->00 Un

Следовательно, ряд сходится при --<х< —или на интервале

(-и)

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при

1 00

х = — ряд принимает вид ^(-1)"2 =1 — 1 + 1 — 1 + ..., а

  • 3 77=0
  • 1 00

при х = - — вид ^(-l)"2 = 1 + 1 + 1 + ... , т.е. оба ряда рас-

3 77=0

холятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда ; — |. ?

I 3 3)

Свойства степенных рядов. Пусть функция / (х) является сум-

оо

мой степенного ряда, т.е. / (х) = Sv”. в подобных курсах

п

математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке [а, Ь], целиком принадлежащем интервалу сходимости (—/?; R), функция / (х) является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>