Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: щ -и2 + иъ4 +... + (-1)"-1 ип +... , где ип > 0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине щ>и2> ... п> ... и предел его общего члена при п —» оо равен нулю, т.е. lim ип = О,

п—>00

то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S <щ.

? Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при п = 2т:

Эта последовательность возрастающая (так как с ростом п = 2т увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что $2т можно представить в виде

откуда следует, что S2m < Щ). На основании признака существования предела (см. § 6.5) последовательность S2m имеет предел Hm5,2m=S.

т—>оо

Попутно заметим, что, переходя к пределу в неравенстве S2m < Щ при —» 00, получим, что S < щ.

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при п = 2т + . Очевидно, что S2т+ = = $2 т + а2т+1; поэтому, учитывая необходимый признак сходимости ряда, lim S2m+l = lim S2m + lim a2m+l = S + 0 = S.

m—>oo m—>oo m—>oo

Итак, при любом n (четном или нечетном) lim Sn = S, т.е.

я—>00

Рис. 13.1

ряд сходится. Рис. 13.1 иллюстрирует сходимость Sn к числу S слева при четном п и справа при нечетном п. я

Из рис. 13.1 вытекает еще одна оценка для суммы S сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница: при любом т

$2т - $ - $2т+

Е> Пример 13.11. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как члены знакочередующегося ряда убыва-

^ ~ , 1 1 1

ют по абсолютной величине 1> — > — >...>—>..., и предел

22 32 п2

общего члена lim — = 0, то по признаку Лейбница ряд схо-

и—>оо п 2

дится. ?

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие Нти„=0, но и условие щ >и2 >...>ип >... . Так, на-

п—>00 [1]

т.е. «удвоенного» гармонического ряда.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

? По формуле (13.9) сумму сходящегося ряда можно представить как сумму п членов ряда и суммы «-го остатка ряда, т.е. S = Sn+rn. Полагая приближенно S ~ Sn, мы допускаем погрешность, равную гп. Так как при четном п п-й остаток знакочередующегося ряда ип+1 -ип+2 + ??? представляет ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, то его сумма гп не превосходит первого члена ип+х, т.е. гп < ип+. Так как при нечетном п для «-го остатка ряда — ип+ + ип+2 —... его сумма гп < 0, то, очевидно, что при любом «

« (— 1 )и+1

Р> Пример 13.12. Какое число членов ряда у- надо

„=1 »2

взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?

Решение. По условию |г„| <0,001. Учитывая следствие теоремы Лейбница (13.18), запишем более сильное неравенство

и+1|< 0,001 или -—^-<0,001, откуда (« + 1)2 > 1000 и

« > лЯооо-1, или «> 30,6 , т.е. необходимо взять не менее 31 члена ряда. ?

Знакопеременные ряды. Пусть щ + и2 +... + ип +... знакопеременный ряд (13.1), в котором любой его член ип может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (13.1)

сходится, то сходится и данный ряд.

? Обозначим S„ и S~ суммы абсолютных величин членов данного ряда (13.1), входящих в него со знаком «плюс» и «минус».

Тогда частичная сумма данного ряда Sn = S* - Sn, а ряда,

составленного из абсолютных величин его членов, — Sn = +S~. По условию ряд (13.19) сходится, следовательно,

существует конечный предел lim Sn = S.

п—>00

Последовательности и S~ являются возрастающими (так как с увеличением п увеличиваются и S~ ) и ограниченными (S^ значит, существуют пределы lim S* и

И—> со

lim S~, и соответственно предел частичной суммы данного ря-

п—>00

да lim S = lim S* - lim S~, т.е. ряд (13.1) сходится. ?

и—» со п—>со п—»ос

Следует отметить, что обратное утверждение неверно. Ряд (13.19) может расходиться, а ряд (13.1) сходиться. Например,

1 1 (-1У74

ряд 1---1---... +--к., сходится по признаку Лейбница, а

2 3 п

ряд из абсолютных величин его членов 1 + — + — + ... + — + ...

  • 2 3 п
  • (гармонический ряд) расходится.

Поэтому введем следующие определения.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

” (-1)^-1

Таким образом, рассмотренный выше ряд V- — абсо-

»=i «2

лютно сходящийся, а ряд V- — условно сходящийся.

Л=1 п

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся — в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

1 1 1 (-l)"4

Возьмем, например, ряд 1---1-----к..ч---f... . Переста-

2 3 4 п

вим члены местами и сгруппируем их следующим образом: Перепишем ряд в виде:

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

  • [1] 11 пример, для ряда —р=---7=— + ... + —j=---j=— + ... второе >/2-1 V2+1 4п - Jn+1условие нарушено и, хотя Нш ип = 0, ряд расходится. Это вид- 17—>00 но, если данный ряд представить (после попарного сложенияего членов) в виде
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>