Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Пятый РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

При решении ряда математических задач, в том числе и в приложениях математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из бесконечного множества слагаемых. Из теории действительных чисел известно лишь, что означает сумма любого конечного числа чисел. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел щ, и2,. •., ип,... соединенных знаком сложения:

Числа щ, и2,..., ип,... называются членами ряда, а член ип — общим или п-м членом ряда.

Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член un=f{ri){n = 1,2,...), т.е. задана функция f(n) натурального аргумента. Например, ряд с общим членом (-1)"-1

и„ =—- имеет вид

п2{п + 1)

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение.

D> Пример 13.1. Найти в простейшей форме общий член ряда:

Решение. Нетрудно убедиться, что для ряда а) общий

2 п (-1)»-'[(и + 1)2-1]

член ип = -а для ряда б) и„ =-- L —— -W

4/7 + 1 (п + I)2 + 1

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

О Пример 13.2. Исследовать сходимость геометрического ряда, т.е. ряда, составленного из членов геометрической прогрессии

Решение. Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии q ряд (13.4) сходится и при каких — расходится.

Из школьного курса алгебры известно, что сумма п первых членов геометрической прогрессии, т.е. /7-я частичная сумма ряда при q ^ 1 равна

Возможно несколько случаев:

1) если q < 1, то {mq” = 0,

«-> ОО

(аап а Л а

Нто„ = Нш —---=-, т.е. ряд сходится и его сумма

«—>оо «—>оо ^ ^ — 1 q — IJ 1 — q

s

  • 1 -q
  • 2) если q>, то [mqn =°° , следовательно, Нш^ =оо и ряд

И->00 «->00

расходится;

3) если q= 1, то ряд (13.4) примет вид а + а +... + а +... , его

п-я частичная сумма Sn= а + а +... + а = па и imS„ = lira па - оо,

' ^ «->00

т.е. ряд расходится;

4) если q = ~ 1, то ряд (13.4) примет вид а-а + а-а + +... + (-1)л_1я+ ...и S„= О при п четном и Sn=a — при п нечетном, следовательно, 1щ|5и не существует, и ряд расходится.

И—>00

Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме S = °

1 -q

при q <1 и расходится при |#|>1. ?

Е> Пример 13.3. Найти сумму ряда

Решение, п-я частичная сумма ряда

Отсюда Нт Sn = lim-= 1, т.е. сумма ряда 5 = 1. ?

«—>оо и—>00 П + 1

Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд щ + и2 +... + ип +...

сходится и имеет сумму S, то и ряд Хщ + Хи2 +... + Хип +... (полученный умножением данного ряда на число А,) также сходится и имеет сумму XS.

2. Если ряды щ + и2 +.. • + ип +... и Vj + v2 +... + vn +... сходятся и их суммы соответственно равны S] и S2, то и ряд (щ + Vj) + 2 + v2)+... + п + vn) +... (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна Sl+S2.

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств пределов числовых последовательностей.

  • 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
  • ? Пусть в сходящемся ряде (13.1) отброшены п членов (в принципе можно отбрасывать члены с любыми номерами, лишь бы их было конечное число). Покажем, что полученный ряд

имеющий частичную сумму т = ип+х + ип+2 +... + ип+т, также сходится.

Очевидно, что Sn+m = Sn+<3m. Отсюда следует, что при фиксированном п конечный предел lim $п существует тогда и

/и—КО

только тогда, когда существует конечный предел Ншсг^. А это

/и-»оо

и означает, что ряд (13.7) сходится. ?

Ряд (13.7), полученный из данного отбрасыванием его первых п членов, называется п-м остатком ряда.

Если сумму п-то остатка ряда обозначить через гп, т.е.

то сумму ряда (13.1) можно представить в виде

В результате мы подошли к свойству 4.

4. Для того чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы при п —> оо остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы Нщг„ = 0.

п—>00

Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций (см. § 6.3).

Установить сходимость (расходимость) ряда путем определения Sn и вычисления Цщ Sn (как это сделано в примерах 13.2,

п-> 00

13.3) возможно далеко не всегда из-за принципиальных трудностей при нахождении Sn (суммировании п членов ряда). Проще это можно сделать на основании признаков сходимости, к изучению которых мы переходим.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>