Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка (тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).

Если дифференциальное уравнение имеет вид

то оно решается последовательным интегрированием (см. пример 12.1).

Если в запись уравнения не входит искомая функция у (х), т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию z = у'.

[> Пример 12.14. Решить уравнение ху" + у' = 0.

Решение. Положим z = у'. Тогда у" — z' и исходное уравнение принимает вид xz' + z =0.

Откуда — = - — . Интегрируя, приходим к решению

Z X

z = Cjx. Возвращаясь к первоначальной функции, получаем , ^ / , Cxdx

уравнение у = ц/х, или dy = ——, решая которое, оконча-

х

тельно имеем у = Сх 1п|х| + С2 . ?

Если в уравнение не входит переменная х, т.е. оно имеет вид

то порядок уравнения можно понизить, если за независимую переменную взять у, а за неизвестную функцию — z = z (у) = у'.

[> Пример 12.15. Решить уравнение 2уу" = (у')2+ 1.

Решение. Положим z = z(y) = у'. Тогда у" = — = — • — = z'Z,

dx dy dx

и исходное уравнение принимает вид

Данное уравнение — с разделяющимися переменными:

  • 2 zdz dy d(z2 +1) dy
  • -= — или -= — . Выполняя интегрирование,

Z2 + у Z2 +1 у

получаем ln(z2 +1) = In у + С или, полагая С = In Сх,

z = ±у]Сху-1 . Так как z = у', то приходим к следующему уравнению относительно функции у (х)

Выполняя интегрирование, получаем ±-sJC[y-l = -j-(x + C2) или

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>