Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

где g — некоторая функция (одной переменной).

У У

Например, уравнение у' = — cos In--однородное.

X X

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция у = / (х, у) называется однородной степени к (по переменным х и у), если для произвольного числа а выполняется равенство

О Пример 12.11. Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

Р е ш е н и е. а) Так как /(ах, ау) = (ах)2 — (ах)(ау) = = а22 - ху) = а2/(х, у), то данная функция однородная степени 2.

б) Так как /(са, ау) = = ао /(х> у), т0

ах - ау х - у

данная функция однородная степени 0.

в) Так как / (ах, ау) = а2ху + 1 ф а*(ху + 1) ни для какого

к, то данная функция неоднородная. ?

Если функция / (х, у) однородная степени 0, то уравнение

может быть сведено к однородному. Действительно, положим

а = 1/х. Тогда в силу (12.22) при к = 0 /(х, у) = /| —-х,—-у | =

х х )

= /( 1, у/х). Полагая, что g (у/х) =/( 1, у/х), приводим уравнение (12.23) к виду (12.21).

Из доказанного вытекает, что если дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

где функции М(х, у) и N(x, у) являются однородными степени к, то это уравнение может быть сведено к однородному, так как из (12.24) получаем

а функция, стоящая в правой части последнего равенства, однородная степени 0.

Рассмотрим теперь способ решения дифференциального уравнения (12.21). Убедимся, что введение в рассмотрение вспомогательной функции z от переменной х (замена переменной) z = у/х позволяет свести это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, так как у = zx, то у '=z’x + z, поэтому уравнение (12.21) приобретает следующий вид

откуда получим, что

О Пример 12.12. Решить уравнение

Решение. Так как х + ^у = 1 + 2у/х, то уравнение (12.26)

л:

имеет вид (12.21) при g(y/x) = 1 + 2у/х. Положим z = у/х. Тогда g (z) — z = 1 + 2z — z = 1 + z и, согласно (12.25), имеем

Интегрируя почленно последнее равенство, получаем

откуда |l + z| = eci|x| или 1 + z = Сх, где С=±есi. Возвращаясь

у

к первоначальным переменным, получим 1 + — = Сх, откуда

л:

у = (Сх — 1) х. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>