Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких — то уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).

Простейший пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной F (х) для заданной функции /(х) (см. гл. 10), поскольку ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции F (х), удовлетворяющей уравнению F'(x) = /(х).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

где G — некоторая функция от п + 2 переменных, п > 1, при этом порядок п старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение

— третьего порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение п-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

где F — некоторая функция от п + 1 переменной.

Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция у = у (х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция у = sin х является решением уравнения у” + у = 0, так как (sin х)" + sin х = 0 для любых х.

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

> Пример 12.1. Решить уравнение у" = х.

dy'

Решение. Поскольку у" = , то исходное уравнение

dx

равносильно следующему равенству дифференциалов: dy' = xdx.

X2

Выполняя почленное интегрирование, получаем у ' = — + С,,

где С — произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству dy = ^- + Cj^dbr. Интегрируя почленно, окончательно получаем у = х3/б + С1х + С2 , где С2 — произвольная постоянная.

Отметим, что без дополнительных предположений решение данного уравнения принципиально неоднозначно. Другими словами, дифференциальное уравнение задает семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения однозначно определенной интегральной кривой (решения) в нашем случае достаточно указать точку плоскости, через которую проходит искомая интегральная кривая, и направление, в котором она проходит через эту точку. (Дополнительные условия такого рода обычно называют начальными, поскольку часто дифференциальные уравнения используются для описания динамических процессов — процессов, проходящих во времени. В этих случаях независимая переменная х обозначает время.) Например, если известно, что у(0) = 1 и у'(0) = 2, то приходим к решению у = х3/б + 2х + 1. Аналогично, для выделения однозначно определенного решения дифференциального уравнения «-го порядка следует, вообще говоря, дополнительно задать п начальных условий. ?

Общим решением дифференциального уравнения (12.1) «-го порядка называется такое его решение

которое является функцией переменной х и « произвольных независимых постоянных С1? С2,..., Сп. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.)

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С, С2,Сп.

В примере 12.1 у = х3/6 + С{х + С2 общее решение, у = = х3/6 +2х + — частное решение дифференциального уравнения у" = х.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства (12.2), следует продифференцировать равенство (12.2) п раз, считая, что у — функция независимой переменной х, а затем из полученных равенств и (12.2) исключить С1? С2,...,С„.

О Пример 12.2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых у = (С) 2х)ех.

Решение. Дифференцируя заданную функцию, находим, что у' = С2ех + у, у" = 2 С2ех + у.

Исключая из этих двух равенств постоянную С2, приходим к уравнению у 2у'+ у = 0. ?

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п. Приведем некоторые из них.

[> Пример 12.3. Из статистических данных известно, что для

рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности кх и к2 соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени. (Описать протекание демографического процесса.)

Решение. Пусть у = у (t) — число жителей региона в момент времени t. Прирост населения Ду за время At равен разности между числом родившихся и умерших за это время, т.е.

или

где к = кх— к2. Переходя к пределу при At 0, получаем уравнение

представляющее математическую модель демографического процесса.

Решая это уравнение (см. § 12.4 а также пример 12.8), получаем закон изменения численности населения

где С — постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени). ?

Е> Пример 12.4. Найти уравнения кривых, в каждой точке

которых отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания.

Рис. 12.1

Решение. Пусть М(х, у) — произвольная точка кривой указанного типа; у = кх + b — касательная к кривой в точке М А(а, 0) и ДО, Ь) — точки пересечения касательной с осями абсцисс и ординат соответственно (см. рис. 12.1). По условию имеем AM = ВМ и потому b =2у или у — кх = 2у. Так как угловой коэффициент касательной является производной, т.е. к = у’, то приходим к уравнению

решая которое (см. § 12.5), получаем уравнение обратной пропорциональной зависимости

где С — некоторое число. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>