Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение задач

[> Пример 11.18. Вычислить:

Р е ш е н и е. а) Воспользуемся заменой переменной: t= л/l + Зх .

t2 -1 2

Тогда л; = —-— и dx — —tdt. Если х= 0, то t= 1 и, если х = 5, то t= 4. Выполняя замену, получаем

Отметим, что полагая х=-—-, можно также считать, что

4

t е [—4; —1]. При этом все условия теоремы 1 из § 11.5 выполнены и, поскольку в этом случае yft2 = — t, получаем

б) Положим t—ex. Тогда х — п t, dx=— и если х—п 2, то

t

t= 2, и если х =1п 3, то t= 3. Выполняя замену, получаем

в) Полагая x=2sin t, получаем, что dx = 2costdt ихе [1; л/з ], если (одна из возможностей) t е ~ • Тогда

D> Пример 11.19. Вычислить ^xe~xdx.

о

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям (11.19): положим и = х, exdx = dv. Тогда du = dx,

Рис. 11.28

Пример 11.20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4-х2, у =х2-2х (рис. 11.28).

Решение. Координаты точек пересечения кривых у= 4-х2 и у=х2-2х найдем из системы их уравнений: (—1; 3) и (2; 0). Проецируя фигуру на ось абсцисс (см. пример 11.7), видим, что искомая площадь — это площадь фигуры, заключенной между кривыми; при этом на отрезке [—1; 2] Л О) = 4-х2 >f(x)= х2-2х.

Применяя (11.21), получаем 2 2

  • 5= f(4-x2-(x2-2x))dx= f(4-2x2+2x)dx =
  • -i -i

Рис. 11.29

2 9 2 2

= 4х —х3 + х2 =

  • -1 3 -1 -1
  • 4(2-(-1))-|(23 -(-1)3) + 22 -(-1)2 =

= 9(ед.2). ?

?> Пример 11.21. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1 9

у =— , у —х2 , у—4 и расположенной в

х

первой четверти (рис. 11.29)

Решение. Решая соответствующие системы уравнений, получаем, что точками пересечения заданных линий являются А (1/4; 1), В (2; 4), С (1; 1) (рис. 11.29). Проецируя точки А, В, С на ось абсцисс (см. замечание в примере 11.7), видим, что искомая площадь SABC равна разности между площадью прямоугольника ЛВНЕ и суммой площадей двух криволинейных трапеций ACFF и CBHF: S = SABHE ~(SACFE + SCBHF). Вычислим:

Итак, S= 7-(^1п4 + ^ = у-1п4*3,28(ед.2). ?

Рис. 11.30

О Пример 11.22. Найти площадь

фигуры, ограниченной линиями у = In х, х = 0, у = 0, у = 1.

Решение. Для нахождения искомой площади (рис. 11.30) используем проецирование фигуры на ось ординат и соответственно интегрирование по переменной у (см. пример 11.5). Записывая уравнение у = In х в виде x=f(y), получаем х= e-v .

1 1 1

Тогда S = ^f(y)dy = jeydy = ey = е — 1 « 1,72 (ед.2). ? о о 0

Рис. 11.31

Мы предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно найти также данную площадь, используя проецирование на ось абсцисс.

О Пример 11.23. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями х = у-~ 2, у = х.

Решение. Выделим на чертеже вращаемую фигуру (рис. 11.31, криволинейный треугольник АВС).

Заметим, что точно такое же тело вращения получится, если вокруг оси абсцисс вращать криволинейный треугольник О ВС. Тогда искомый объем равен разности двух объемов: Vx = VBCD - VOCD , где VBCD — объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейного треугольника BCD, аналогично V0CD — объем тела, полученного от вращения треугольника OCD. Записывая уравнения ограничивающих линий в виде у =/(*) и используя (11.24), получаем

[> Пример 11.24. Найти объем тела,

полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями у = х2 - 2х, у = 0.

Р е ш е н и е. Из чертежа (рис. 11.32) видно, что искомый объем V равен разности двух объемов: V = VABcoУвсо> где VABCO и VBCO — объемы тел, полученных от вращения вокруг оси ординат плоских фигур ЛВСО и ВСО соответственно. Для нахождения указанных объемов используем формулу (11.25). При этом нам потребуются уравнения кривых О В и АВ в виде x=f(y). Записывая уравнение параболы, заданной по условию в виде х2 - 2х-у = 0, решим это квадратное уравнение относительно переменной х, считая переменную у параметром: х{ 2 = 1 ± ^1 + у .

Тогда х = 1 +yjl + у — уравнение кривой АВ и х = -yJl + у — уравнение кривой ОВ. Используя (11.25), получаем

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определенные интегралы:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг осей Ох и Оу фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

11.63. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = — 0,00625 t2 + 0,05/ + 0,5 (ден. ед./ч), где t — время в часах от начала работы, 0 < / < 8. Найти функцию

и = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

  • 11.64. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр
  • (тариф перевозки) задается функцией /(х) = ^ (ден. ед./км).

Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>