Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Несобственные интегралы

В предьщущих параграфах мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых (и, следовательно, ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция у = /(х) определена и интегрируема на

t

произвольном отрезке [a, f, т.е. функция Ф(/) = |/(х)б/х опре-

а

делена для произвольного t > а.

+00

Определение. Несобственным интегралом J /(х) dx от функ-

а

ции /(х) на полуинтервале [а, +оо) называется предел функции Ф(/) при t, стремящемся к +оо, т.е.

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.26), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.

По аналогии с теорией числовых рядов (см. гл. 13) при работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

  • а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
  • б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры (см. примеры ниже).

+0° ^

[> Пример 11.10. Вычислить |—.

•* v2 1 Х

Р е ш е н и е. По определению

Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона—Лейбница:

Тогда

т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, ис-

+0° d

пользуя формулу Ньютона—Лейбница, можно убедиться, что [ —

f хт

является сходящимся к —!—, если т> 1, и расходящимся, если

т-1

Рис. 11.23

т< 1. Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида у—— гипербола

хт

у— — является своеобразным «порогом»:

X

те кривые данного вида, которые на [1; +оо) лежат ниже нее, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или

совпадает с гиперболой у = —, то соот-

X

ветсгвующая фигура имеет бесконечную площадь (см. рис. 11.23).

По аналогии с (11.26) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (—оо, Ь.

ъ

Определение сходимости интеграла J f{x)dx аналогично

— оо

приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале (—оо, +оо). Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы

а +оо

I f(x)dx и сходятся. Тогда положим, что

-оо а

+ 00

при этом интеграл J /(х) dx называется сходящимся. Если хотя

— оо

бы один из интегралов, входящих в правую часть (11.28), расхо-

+оо

дится, то несобственный интеграл J f{x)dx называется расхо-

— оо

дящимся. (Можно доказать, что введенное определение не зависит от выбора числа а.)

+ 00

О Пример 11.11. Вычислить J exdx.

— оо

О

Решение. Исследуем на сходимость интегралы j exdx и

— оо

+00

J exdx. (В формуле (11.28) мы полагаем а = 0.)

о

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

+оо е +оо

f exdx = lim exdx = lim {el -1) = +oo , т.е. Г exdx расходится и,

о ,-+wo '^+0° о

+00

следовательно, расходится несобственный интеграл J exdx. ?

—00

В курсе теории вероятностей встречается несобственный ин-

+00

теграл | e~xll2dx, называемый интегралом Эйлера—Пуассона.

—00

Доказано, что

другими словами, площадь S

Рис. 11.24

под кривой у = J— е~*2/2 (по- л/2я

лучившей название кривой Гаусса) на интервале (—оо, +оо) равна 1 (рис. 11.24).

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнем с рассмотрения важного частного случая: пусть функция y=f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [а, b).

ь

Определение. Несобственным интегралом ^f{x)dx от функции

а

Ь-6

у =Лх) на полуинтервале [а, Ь) называется предел lim Г f(x)dx,

8->0+ j а

где 8 > 0, т.е.

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.30), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на (а, Ь.

1 dx

О Пример 11.12. Вычислить f-= .

оV*

1 dx 1

Р е ш е н и е. По определению f—т= = lim Гx~xl2dx.

5^0+i

По формуле Ньютона—Лейбница

1 d

Рис. 11.25

Тогда f-== lim 2(1 —л/б) = 2 ,

Q yjx 8->0+

т.е. полубесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой 1

у =—j= и прямой х = 1, имеет ко-

yjx

нечную площадь, равную 2 ед2. (см. рис. 11.25). ?

Замечание. Если функция

b

/(x) не ограничена при х = с, где cg (а, Ь), то интеграл Jf(x)dx

а

также называется несобственным. В этом случае интеграл

считается сходящимся, если сходятся два несобственных инте-

ь

грала в правой части равенства. В противном случае J/(x)

а

, TI V dx °r dx V dx

называется расходящимся. Например, — = — + — являет-

-1 * -1 х о х

ся расходящимся, так как расходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (предлагаем убедиться в этом читателю самостоятельно).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>