Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение задач

[> Пример 10.23. Найти интегралы:

dt г е

Р е ш е н и е. а) Положим ех = t. Тогда dx = — и -dx =

t J е +1

г t2dt с t2dt г(. с е dt , ~

J(/2+l)/ J/2+l 4 /2+lJ J J1 + /2

ex - arctge* + C.

Отметим, что замена переменной t = ex позволяет рационализировать произвольный интеграл вида R(ex)dx.

б) Используя замену переменной, сведем данный интеграл к интегралу, который может быть найден методом интегрирования по частям.

Положим х2 = t. Тогда ^dt = xdx и ^x2exldx = jx2ex2xdx = = Jtef -^dt = ^ jte'dt.

Пусть теперь t= и, e{dt = dv. Тогда du — dt, v = Je‘dt = е{ и

  • — ftetdt=—(tei - ftetdt) =—tet - —e{ +C =—x2ex2 ~—exl +C . ?
  • 2J 2' J 2 2 2 2

Пример 10.24. Найти интегралы: a) jl + x2dx; 6) Je x sin xdx.

P e ш e н и e. а) Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Пусть и = Vl + х2 , dv = —dx. Тогда du = Х<^Х ,

V 1 + х2

Но второе слагаемое в последнем выражении совпадает с искомым интегралом J, т.е. имеем равенство

откуда

где С. = —С.

1 2

Следует отметить, что данный интеграл принадлежит к семейству интегралов вида |я(х, V#2 + х2 )dx , каждый из которых

может быть найден с помощью тригонометрической подстановки х = a tg /.

б) Воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть sin х = и, exdx - dv .Тогда du = cos х dx, v = ех,

Еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая cos х = и, exdx = dv . Тогда du = ^sin х dx, v = ex и

т.е. J = ex sinx- ex cosx-J + C.

Из последнего равенства (по аналогии с решением примера 10.24а) получаем

где С, =—С .

1 2

Аналогичный прием используется для нахождения интегралов вида feax cosbx dx , je^sin bx dx, где а и b — некоторые

действительные числа. ?

О Пример 10.25. Найти: f-dx.

Jx2+2x-3

Решение. Выполняя деление «углом», имеем

х3 - 2х2 + 4 . 1 1л: — 8 _

или -= х — 4 +-. Тогда

х2 + 2х - 3 х2 + 2х - 3

Так как х2+ 2х-3 = (х + 1)2-4 , то для нахождения оставшегося интеграла используем сначала замену переменной t = х+1, а затем формулы (10.26) и (10.14) (см. § 10.5). Тогда получаем

1 4Г-

О Пример 10.26. Найти [ + * dx.

J Х + у/х

Решение. Положим х = /4(см. § 10.6). Тогда dx = 4t3dt и

Первый и третий интегралы табличные. Для нахождения второго используем формулу (10.26). Тогда получаем

О Пример 10.27. Найти V^—^—dx .

J x6

Решение. Известно, что каждый интеграл семейства р?(х, yja2 -x2)dx может быть найден заменой переменной х = a sin t.

Положим х = 2sin t. Тогда dx = 2cos t dt и

D> Пример 10.28. Найти f- -Й?_Л.

J1 - ctg2x

Решение. Положим t = tg x. Тогда dx = ^ и

1 + /2

Отметим, что с помощью подстановки / = tg х может быть рационализирован произвольный интеграл вида p?(tgx)afc .

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>