Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций, рассматриваемых в § 10.5 (т.е. рационализировать интеграл).

Обозначим через R(u, v) функцию от переменных и, v и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления).

Например, R{u, v) = и2 + 2v5, R(u, v) = u + ^v и т.д.

2 2

Рассмотрим интегралы вида J/?(x, fx)dx. Такие интегралы рационализируются заменой переменной t — л[х .

[> Пример 10.16. Найти

JVx + л/х

Решение. Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция от радикалов степеней 2 и 3. Так как наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, то данный интеграл является интегралом типа ]я(х, fx)dx и может быть

рационализирован посредством замены переменной л[х = t. Тогда х = t6, dx= 6t5dt, л/х = t3 , yfx = t2. Следовательно,

Положим t + 1 = z. Тогда dz = d(t + 1) = dt и где Q = С— 11. ?

Интегралы вида J/?(x, [x)dx являются частным случаем интегралов от дробно-линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида Г/? х, и ах + Ь ^ где acj — cb Ф о, которые допускают J ^ v сх + d j

lax + b

рационализацию посредством замены переменной t = 77-.

cx + d t> Пример 10.17. Найти fJ-—

JV1 + a: 1 + л:

Решение. Положим t -J-—— . Тогда x = -——,

V 1 + x 1 + t2

, 4tdt , 2 1 1 + t2

dx =--—l+x =--, -=-.

(1 + t2)2 1 +t2 x + 1 2

Следовательно,

Рассмотрим интегралы вида Ji?(x, л1 ах2 +bx + c)dx.

В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным (см. (10.12), (10.15)). (Необходимая замена переменной усматривается после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене ах2 + Ьх + с .)

Пример 10.18. Найти интегралы:

Решение. Учитывая, что х2 +4х + 5 =(х + 2)2 +1, положим t = х + 2. Эта замена переменной позволяет свести искомый интеграл к табличному (см. (10.15)):

б) Так как 8 + 4х - 4х2 = 9~ (1 - 2х)2 , то положим 1 — 2х = /.

Тогда х = -—-, dx =-—dt и, следовательно,

2 2

Первый из интегралов данной суммы — табличный (см. (10.12)), второй сводится к табличному интегралу (10.7) заменой z = 9 — t2

В более сложных случаях для нахождения интегралов вида si ах2 +bx + c)dx используются подстановки Эйлера.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>