Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что многочленом степени п называется выражение вида а0 + ахх +... + апхп , где а0, ах,..., ап действительные числа ап ф 0, п> 0. Например, 3 + 2х — многочлен первой степени, -х4 + + Зх + 2 — многочлен четвертой степени и т.д. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, Зх +1 2 + х2 + 4х3

-, -, ... — рациональные дроби.

х2+1 х + 1

Нас интересуют интегралы от рациональных дробей. В случае, когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю

(т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. Интеграл от многочлена находится с использованием метода разложения (см. § 10.2). Далее будем предполагать, что степень знаменателя дроби больше нуля. Примеры таких интегралов встречались нам выше (см., например, табличные интегралы (10.7) при целом отрицательном п, (10.8), (10.13), (10.14)). В этом параграфе мы наметим общий подход к интегрированию рациональных дробей.

Прежде всего отметим, что достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления многочленов «углом», известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется (с помощью метода разложения, см. § 10.2) к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1, то искомый интеграл

г dx

имеет вид -, и для его нахождения достаточно воспользо-

J kx + b

ваться формулой (10.19) (см. пример 10.66) или заменой переменной t = кх + b (см. пример 10.4).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

где а, Ь, с, е, / — действительные числа, а ф 0. Рассмотрим сначала один важный частный случай: интеграл вида

а затем укажем, как общий случай свести к данному. Если с = 0, то интеграл (10.23) представляет сумму двух табличных интегралов (с точностью до множителей; см. метод разложения). Пусть с* 0. Тогда для нахождения интеграла (10.23) достаточно найти интегралы

и

Интеграл (10.24) сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу (10.13), если ас > 0, либо к интегралу (10.14), если ас < 0 (см. пример 10.2в, г).

Для нахождения интеграла (10.25) используем замену переменной t =ах1 (подобно тому, как это было сделано в частном случае, см. пример 10.8в). Тогда dt = lax dx, х dx =—dt и

2a

Окончательно имеем где а ф 0.

Возвращаясь теперь к интегралу (10.22), заметим, что его можно привести к виду (10.23), если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую (линейную) замену переменной.

Е> Пример 10.14. Найти интегралы:

Р е ш е н и е. а) Поскольку х2 + +1 = (х +1)2 , то используем замену переменной t = х + 1. Тогда dt = dx, х = t — 1 и

б) Так как 4х2+4х-3 = (2х + 1)2-4, то положим t = 2х + 1.

Тогда *= — (/— 1), dx = — dt и 2 2

Для нахождения первого интеграла воспользуемся формулой (10.26) при а = 1 ,с = —4. Второй интеграл — табличный (см. (10.14)).

Теперь имеем f--dx=— In 112 -4| + — In -—- + C=

j4x2+4x-3 8 1 1 16 t + 2

=— In |4x2 + 4jc-3| + — In 8 1 1 16

в) Так как x2 - 4x +13 = (x - 2)2 + 9, то положим t = x — 2. Тогда

, , , ^ г 8-x , r 6-1 . . r dt r tdt

dt — cbc, x — t + 2 и [-dx = [-dt —6 [- — [- .

Jx2-4x + 13 Jt2+ 9 h2+9 h2 +9

Первый из интегралов — табличный (см. (10.13)), для нахождения второго воспользуемся формулой (10.26). Тогда получаем f--——-dx= 2 arctg--— ln(/2 +9) + C = 2 arctg^—— -

Jx2 -4x + 13 3 2 V 3

  • -- In lx2 -4x + 13| +C. ?
  • 2 1 1

Рассмотренный прием интегрирования правильных дробей, знаменатель которых имеет вторую степень (выделение полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной) имеет существенный недостаток: он не обобщается на случаи, когда степень знаменателя больше двух. Наметим поэтому также другой возможный подход.

Пусть требуется найти [———(получим другой вывод фор-

J х2 - а2

мулы (10.14)). Представим подынтегральную функцию искомого интеграла в виде:

Тогда, используя метод разложения и формулу (10.19), получаем:

Аналогично, в общем случае можно доказать, что если подынтегральная /(x)/g(x)— правильная дробь, знаменатель g(x) которой — многочлен степени п, имеющий п попарно различных действительных корней х,, х2,хп, то существует представление подынтегральной функции в виде

где А, А2, ..., Ап — некоторые числа. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных.

О Пример 10.15. Найти |—^ + ^

•* х3 + 2х2 - 8х

Решение. Так как х3 + 2 - 8х = х (х + 4)(х + 2), то

Из последнего равенства найдем постоянные А1, А2, А3. Приводя дроби правой части к общему знаменателю, приходим к равенству

Если х = 0, то имеем —8А1=2 и А] = —1/4. Если х = 2, то

  • 13
  • 12^= 2 и А2 = 1/6. Если х = -4, то 24 А3 = 26, т.е. А3 = —.
  • (Обратим внимание читателя, что прием нахождения постоянных А1, А2, ... нетрудно обобщить и использовать для доказательства существования указанного разложения в общем случае.) Тогда

(см. (10.19)). (Рассмотренный метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.) ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>