Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод интегрирования по частям

Пусть и = и(х) и v = v(x) — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала (см. § 9.1)

или

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая (10.5) и (10.2), получаем

Формула (10.21) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя и dv). При переходе к правой части (10.21) первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: du = и'dx), второй интегрируется

(v = Jdv+C (см. (10.2)). Возможности применения (10.21) связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Е> Пример 10.10. Найти интегралы:

Р е ш е н и е. а) Так как х' = 1, а функция е~ при интегрировании практически не изменяется (согласно (10.20) появляется лишь постоянный множитель), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, полагая и = х, dv = е~ dx. Найдем необходимые для записи правой части (10.21) v и du.

Так как и = х, то du = dx. Согласно (10.3) и (10.20) при к = —2, b = 0, имеем

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям (10.21), получаем

Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл — сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении v. Таким образом, окончательно

Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении v (по заданному dv), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично в общем случае постоянная С, возникающая при нахождении v, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя v, будем полагать С = 0, что несколько упрощает запись решения.

б) Пусть 2 + 3х = и, ex/3dx = dv. Тогда

и

(см. (10.20)). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

О Пример 10.11. Найти интегралы:

а) Jxlnx3 + 1)1пхб/х.

P e ш e н и e. а) «Препятствием» к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя In х в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая и = In х. Тогда dv = х dx. (Существенно, что при интегрировании функции /(х) = х получается функция того же типа (степенная)). Так как du = d In

х =— и v = [dv= fxdx = — (C = 0, см. замечания в примере x j j 2

10.10), используем формулу интегрирования по частям; получаем

б) Пусть и = In х, dv = (x3 + )dx. Тогда du = —и v = dv =

x J

г x^

= (x3+l)dx =— + x. Применяя формулу интегрирования по J 4

частям, получаем

В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.

О Пример 10.12. Найти Jx2sinxdx.

Решение. Положим и = х2 , sin х dx = dv. Тогда du = dx2 = = 2xdx и v = jdv = Jsinx?/x =-cosx (см. формулу (10.10)). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Возникший интеграл не является табличным, однако видно, что мы на правильном пути: по сравнению с исходным интегралом степень переменной х в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу, при этом второй сомножитель cos х того же типа, что и в исходном интеграле. Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Действительно, положим теперь и = х, cosx dx = dv. Тогда du = dx,

Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

где а, т, к — действительные числа ф — 1), п — целое положительное число.

Для нахождения интегралов из первой группы формулу интегрирования по частям придется применить п раз (при первом применении полагают и = хп, остальные сомножители подынтегрального выражения задают dv), пока степень п переменной х не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным (см. примеры 10.10, 10.12). Для нахождения интегралов второй группы полагают xkdx = dv (оставшиеся сомножители подынтегрального выражения задают тогда выражение для и). Отметим, что для нахождения |хЛ In" xdx формулу интегрирования по частям придется применять п раз (при каждом применении степень функции In л: уменьшается на единицу, пока не станет равной нулю, а сам интеграл — табличным).

На практике метод интегрирования по частям часто комбинируется с другими методами интегрирования.

О Пример 10.13. Найти Jln2(2x + 3)dx.

Решение. Выполним сначала замену переменной: положим / = 2х + 3.

Тогда dt = d (2х + 3) = 2dx и dx = ^dt. Следовательно,

Пусть In21 = и, dt = dv. Тогда du = d 2t = 21n t -dt,

t

v = ^dv = jdt= t и, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Jln2(2.x + 3)2/- JV - 2In/ — dt) = ^t 21 - Jin/ dt.

Полагая в формуле интегрирования по частям и = In /, dv = dt, получаем Jlntaf/ = /1п/ -1 + С . Окончательно имеем

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>